Sommaire Complément d`information concernant la fiche de

PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX
SAMEDI 10 DÉCEMBRE 2011
Sommaire
Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd’hui :

La fiche de concordance pour le DAEU ;
Page 2

Un rappel de cours sur la notion de pourcentages ;
Page 3

Deux exercices intitulés : « Évolution des subventions » et « Crédit avec frais de report »
Page 6
pour travailler la notion de pourcentage ;

Un rappel sur l’étude du signe d’une expression ;
Page 8

Un premier rappel de cours sur l’étude des fonctions numériques ;
Page 9

Trois exercices intitulés « Élasticité des prix », « Du coût marginal au coût moyen » et
Page 16
« Étude de fonction » pour travailler la notion d’étude d’une fonction.
Complément d’information concernant la fiche de concordance
Vous devez avoir en votre possession la fiche de concordance « mathématiques » afin de savoir quels sont les chapitres à
revoir et les devoirs du CNED à rendre.
Je vous conseille par ailleurs de vous procurer un manuel de terminale ES si ce n’est pas déjà fait, je vous propose le suivant :
« Hyperbole Terminale ES : enseignement obligatoire et de spécialité ». Vous ne devez revoir que les chapitres 1 à 10 ainsi que
le chapitre 13 de ce manuel.
Pour les regroupements à venir
Afin que chaque regroupement vous soit le plus utile possible, je vous invite à reprendre et à terminer ce que nous aurons fait
lors des séances précédentes et à faire les devoirs que je vous ai conseillé d’envoyer pour correction au CNED.
De plus, vous pouvez commencer à revoir les différentes notions du programme avant chaque regroupement à l’aide du
planning suivant :

Samedi 10 décembre 2011 : les pourcentages (Tome 3, séquence 1, chapitre 1) et les fonctions (généralités) (Tome 2,
séquences 1 à 5) ;

Samedi 7 janvier 2012 : les suites (Tome 3, séquence 1, chapitre 2) et les fonctions (fonctions logarithme,
exponentielle et puissance) (Tome 2, séquences 7 et 8) ;

Samedi 28 janvier 2012 : les statistiques (Tome 3, séquence 2, chapitre 2) et les fonctions (calcul intégral) (Tome 2,
séquence 6) ;

Samedi 11 février 2012 : les probabilités (Tome 3, séquence 3) et les fonctions ;

Samedi 17 mars 2012 : à déterminer suivant vos besoins ;

Samedi 7 avril 2012 : à déterminer suivant vos besoins.
Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : [email protected]
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PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX
RENTRÉE 2011
MATIÈRE
Mathématiques
À ÉTUDIER DANS LES Les documents fournis par le CNED ont été entièrement
DOCUMENTS FOURNIS PAR LE renouvelés l’année dernière.
CHAPITRES
CNED
Vous y trouverez l’intégralité du cours au programme du
DAEU.
Cependant, il est inutile de s’attarder sur le tome 1. Il faut le
lire, puis y revenir en fonction des besoins.
DEVOIRS À RENDRE
Les chapitres à revoir au préalable sont indiqués sur chaque
sujet.
 Devoirs 1 et 2 (janvier)
 Devoirs 3 et 5 (février)
 Devoirs 4 et 6 (mars)
 Devoir 7 (avril)
CONSEILS POUR LA PRÉPARATION
L’examen portera sur une partie du programme actuel de la
classe de terminale ES (enseignement obligatoire et le
complément sur les suites de l’enseignement de spécialité).
DOCUMENTS UTILES
DESCRIPTIF DE L’ÉPREUVE

Un manuel de terminale ES (obligatoire et
spécialité) ou tout autre livre d’aide aux élèves de
terminale ES (rappels de cours, fiches méthodes,
exercices corrigés...) selon votre convenance.

Des annales du baccalauréat de terminale ES
(obligatoire et spécialité)

http://euler.ac-versailles.fr/
Durée : 3 heures
Matériel accepté : calculatrice
Un formulaire pourra être fourni avec le sujet.
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PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
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LA NOTION DE POURCENTAGE
I. Définition :
Un pourcentage est une façon d'exprimer un nombre comme une fraction de cent, généralement en utilisant le signe
%. On utilise le pourcentage seulement lorsqu'un nombre représente une proportion ou une fraction d'un ensemble.
Un pourcentage seul ne signifie rien. Il faut toujours préciser à quelle grandeur il se rapporte (15% de la population,
80% du temps, 10% de chances …).
D'usage très fréquent dans le monde actuel puisqu'on le rencontre en statistique comme en économie, le
pourcentage est une notion qui peut induire de nombreuses erreurs de raisonnement.
II. Premier savoir-faire : Appliquer un pourcentage :
Exemple : Dans un lycée, 500 élèves ont passé le bac. Le taux de réussite est égal à 75%. Combien d’élèves ont eu
leur bac ?
75% de 500 se traduit mathématiquement par l’opération suivante :
75
× 500 :
100
75
37500
× 500 =
= 375.
100
100
375 élèves ont obtenu leur bac dans ce lycée.
On effectue alors le calcul :
Remarque :
Pour effectuer ce calcul, on peut aussi multiplier 500 par le nombre décimal : 75/100 = 0,75.
75 % de 500 s’écrit alors 0,75 × 500 = 375
III. Deuxième savoir-faire : Calculer un pourcentage :
Exemple : Dans un établissement scolaire de 700 élèves, 175 sont des demi-pensionnaires. Quel est leur
pourcentage ?
On a le tableau de proportionnalité suivant :
Demi-pensionnaires
175
x
Nombre total d’élèves
700
100
175
x
On cherche x tel que
=
700 100
On peut par exemple utiliser la méthode du produit en croix.
175 × 100
On a : x =
= 25
700
25% des élèves de cet établissement sont demi-pensionnaires.
Page 3
On peut aussi signaler que 175 élèves
sur 700 correspondent à
0,25 ou encore
175
soit
700
25
(on a mis la
100
fraction précédente sur 100).
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IV. Troisième savoir-faire : Pourcentage d’augmentation ou de réduction :
Exemple : Un commerçant vend une table 70 €. Pendant les soldes, il baisse son prix de 10%. Quel est son nouveau
prix ?


Calculons la remise :
10
× 70 = 0,1 × 70 = 7 donc la remise est de 7 €
100
Calculons le prix après la remise
70 – 7 = 63 donc le prix soldé est 63 €
A la fin des soldes, il ré-augmente son prix de 10%. Combien vaut désormais la table ?


Calculons l’augmentation :
10
× 63 = 0,1 × 63 = 6,3 donc l’augmentation est de 6,3 €
100
Calculons le prix après les soldes :
63 + 6,3 = 69,3 donc le prix après les soldes est de 69,3 €
Attention !!!
Réduire de 10% puis augmenter de 10% ne permet pas d’obtenir le même prix qu’au départ. On ne peut ni
ajouter, ni soustraire des pourcentages puisqu’il s’agit de proportion sur des quantités différentes.
Remarque et astuce importante :
La méthode précédente fonctionne très bien lorsqu’il n’y a qu’une variation à utiliser et aucun « retour en
arrière » à effectuer. Il existe une méthode plus efficace et qui permet d’effectuer des opérations
successives.
Si on diminue de 10% le prix de la table, on effectue le calcul suivant :
10
10
10
90
70 –
× 70 = 1 × 70 −
× 70 = (1 –
) × 70 = (1 – 0,1) × 70 = 0,9 × 70 =
× 70 = 63
100
100
100
100
Autrement dit :
Effectuer une réduction de 10 % revient à ne prendre que 90 % de la quantité de départ, c'est-à-dire à
10
90
multiplier par (1 –
)=
= 0,90
100
100
De même pour l’augmentation :
10
10
110
63 +
× 63 = (1 +
) × 63 = 1,1 × 63 =
× 63 = 69,3
100
100
100
Autrement dit :
Effectuer une augmentation de 10 % revient à prendre 110 % de la quantité de départ, c’est-à-dire à
10
110
multiplier par (1 +
)=
= 1,10
100
100
Page 4
PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
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V. Composer des pourcentages :
Exemple : Dans un collège, l’effectif a augmenté de 10% entre 2007 et 2008 puis de 20% entre 2008 et 2009.
De quel pourcentage, l’effectif du collège a-t-il augmenté entre 2007 et 2009 ?
Soit x l’effectif du collège en 2007.
Lors de l’augmentation de 10 % entre 2007 et 2008, l’effectif est multiplié par (1 +
l’effectif est 1,10x.
Lors de l’augmentation de 20 % entre 2008 et 2009, l’effectif est multiplié par (1 +
l’effectif est 1,20 × 1,10x = 1,32x.
Entre 2007 et 2009, l’effectif du collège est passé de x à 1,32x. Il a été multiplié par 1,32.
32
Or 1,32 = 1 +
100
L’effectif a donc augmenté de 32%.
Page 5
10
) = 1,10 donc
100
20
) = 1,20 donc
100
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EXERCICE : ÉVOLUTION DES SUBVENTIONS
La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3 000 € pour l’année 2002.
Depuis 2002, l’évolution de la subvention en pourcentage d’une année sur l’autre est celle décrite dans le tableau
ci-dessous :
Année
2003
2004
2005
2006
2007
Évolution en
+ 17%
+ 15%
+ 10%
+ 9%
+ 6%
pourcentage
Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2004 à 2005 est une augmentation de 10%
1. a. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euros).
Les résultats seront arrondis à l’unité.
b. Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année 2003.
Quelle confusion fait-il ?
2. On admet que le montant de la subvention en 2007 est de 5 130 €.
a. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 2002 à 2007.
b. Si le taux d’évolution de la subvention d’une année à l’autre était fixe et égal à t %, quelle serait la
valeur de t arrondie à 10− 3 près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 2002 et 2007 ?
c. Avec ce même taux d’évolution t, quelle serait la subvention, arrondie à l’unité, en 2008 ?
EXERCICE : CRÉDIT AVEC FRAIS DE REPORT
Publicité :
Vous utilisez aujourd’hui 760 € de votre réserve de crédit disponible.
3 mois plus tard vous pouvez :
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
Soit rembourser ces 760 € en une seule fois, en plus un forfait de 21,17 € de frais
de report.
Taux mensuel de 0,92 %.
Soit rembourser ces 760 € en douceur sur 10 mois !
Votre premier versement au bout de trois mois est de 21,17 € (frais de report),
suivi de 10 mensualités.
A partir de la fin du 4è mois : 9 mensualités de 82,32 € et une 10è ajustée (solde).
Taux mensuel de 1,33 % (hors assurance facultative).
1. Quel est le coût du crédit lorsque l’on choisit le premier type de remboursement, sachant que les intérêts
des trois premiers mois correspondent aux frais de report ?
2. On choisit le deuxième type de remboursement :
a. Calculer les intérêts versés le 4è mois.
b. Quel est le capital restant dû avant le remboursement de la première mensualité de 82,32 € ?
c. Quel est le capital restant dû une fois la première mensualité remboursée de 82,32 € ?
3. Reprendre la question précédente pour le 5è mois.
4. Ecrire une formule permettant de calculer le capital S restant dû à partir du capital du mois précédent.
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5. Remplir le tableau d’amortissement suivant afin de trouver la dernière mensualité ajustée (les résultats
seront arrondis à 10− 2 près).
Échéances
Mois
Mensualité en €
1
0
2
0
3
21,17
4
82,32
5
82,32
6
82,32
7
82,32
8
82,32
9
82,32
10
82,32
11
82,32
12
82,32
Intérêts du mois en €
Capital restant dû en €
13
6. Quel est le coût total du crédit ?
7. Quel pourcentage par rapport à la somme empruntée représente le coût du crédit ?
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ÉTUDE DU SIGNE D’UNE EXPRESSION
I.
Signe de ax + b, a  0 :
On détermine la valeur de x qui annule ax + b puis on applique la règle « signe de a après le 0 ».
x
−
−
II.
0
Signe de − a
ax + b
b
a
+
Signe de a
Signe de ax2 + bx + c , a  0 :
On calcule le discriminant  = b2 − 4ac (sauf cas évident) puis :

Si  < 0, on applique la règle « toujours du signe de a » :
x
−
+
ax2 + bx + c

Signe de a
Si  = 0, on calcule la racine double : x1 = −
b
et on applique la règle « toujours du signe de a et s’annule
2a
en x1 » :
x
−
ax2 + bx + c

+
x1
0
Signe de a
Si  > 0, on calcule les deux racines : x1 =
Signe de a
−b− 
−b+ 
et x2 =
et on applique la règle « du signe de
2a
2a
a à l’extérieur des racines » :
x
ax2 + bx + c
III.
−
Signe de a
+
x2
x1
Signe de − a
0
0
Signe de a
Dans les autres cas :
On peut utiliser les variations d’une fonction ou résoudre une inéquation pour déterminer le signe d’une expression.
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FONCTIONS
I.
Généralités :
a. Ensemble de définition :
Définitions :
Une fonction f définie sur Df associe à chaque réel x de Df un unique réel noté f( x ).
Df est appelé l’ensemble de définition de f.
f( x ) est l’image de x par f.
Tout réel x de Df tel que f( x ) = y est dit antécédent de y par f.
Principe général pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction :
 Si l’expression de f( x ) admet un quotient, alors x appartient à l’ensemble de définition Df si et seulement
si le dénominateur est non nul.
 Si l’expression de f( x ) admet une racine carrée, alors x appartient à l’ensemble de définition Df si et
seulement si l’expression sous la racine est positive.
b. Courbe représentative
Dans un repère donné, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points M de coordonnées ( x ; f(
x ) ) où x décrit l’ensemble de définition de f.
Une équation de la courbe est y = f( x ).
Remarque :
Recherche graphique de l’image d’un réel :
Recherche graphique des antécédents d’un réel :
L’image d’un réel a est l’ordonnée du point de la Les éventuels antécédents d’un réel b sont les
courbe d’abscisse a :
abscisses des points de la courbe d’ordonnée b :
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c. Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle
Soit I un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de la fonction f.
 f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f ( a ) < f( b ).
Autrement dit, les images sont rangées dans le même ordre que les réels de départ.

II.
f est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f( a ) > f( b ).
Autrement dit, les images sont rangées dans l’ordre contraire que les réels de départ.
Continuité :
a. Notion de continuité :
On peut définir mathématiquement la notion de continuité d’une fonction mais cette définition relativement
compliquée. Graphiquement, on peut reconnaître une fonction continue sur un intervalle par le fait que le tracé de
la courbe représentative de la fonction sur cet intervalle peut se faire sans lever le crayon de la feuille.
Théorème : Continuité des fonctions de références

Toute fonction polynôme est continue sur .

La fonction inverse est continue sur *- et sur  +* . Elle n’est pas définie en 0.

La fonction racine carrée est continue sur  +.
Théorème : Conservation de la continuité par les opérations usuelles
Soient f et g deux fonctions continues sur I.



Les fonctions f + g, f × g et k × f ( k   ) sont continues sur I.
f
Si de plus g( x )  0 pour tout x de I, le quotient est continu sur I.
g
Si f est continue sur I et si g est continue sur f( I ), la composée gof (f suivie de g) est continue sur I.
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b. Théorème des valeurs intermédiaires et équation f( x ) = k :
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soient a  I et b  I.
Pour tout réel k compris entre f( a ) et f( b ), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f( c ) = k.
Autrement dit : l’équation f( x ) = k a au moins une solution c comprise entre a et b.
Si de plus la fonction est strictement monotone sur l’intervalle I, alors le réel c est unique. On utilise la méthode
du « balayage » pour en déterminer une valeur approchée.
III.
Limites :
a. Définitions :
Définitions :
 Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant +  comme borne supérieure.
On dit que f a pour limite +  en +  ou que f( x ) tend vers +  quand x tend vers +
 lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi grand que
l’on veut.
On écrit alors que lim f( x ) = + 
x

+
On peut définir de même lim f( x ) = + , lim f( x ) =  
x


x

+
et lim f( x ) =  
x



On dit qu’une fonction f a pour limite le réel l en +  (ou que f( x ) tend vers l quand
x tend vers + ) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit
aussi proche de l que l’on veut.
On écrit alors que lim f( x ) = + 
x

l
On peut définir de même lim f( x ) =  
x

l
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
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; b[. On dit que f a pour
limite +  en a (par valeurs supérieures) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez
proche de a (x > a) pour que f( x ) soit aussi grand que l’on veut.
On écrit alors que lim
f( x ) = + 
x

a x

a
On peut définir de même lim
x
et lim
x


a x

a

a x

f( x ) =  , lim
a
x

a x

a
f( x ) = + 
f( x ) =  
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a ou de borne a. On dit que f a
pour limite le réel l en a lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a pour
que f( x ) soit aussi proche de l que l’on veut.
On écrit alors que lim f( x ) = l.
x

a
Si f est définie en a alors lim f( x ) = f( a )
x

a
b. Limites des fonctions de référence :
lim x2n = + 
x

x

x

x


x
lim x2n = + 
+
x
lim x2n + 1 =  


lim

0 x
1
= 0-
x

0
x
lim

+
x = + 
1
=  
x
1
=  
x 0 x 0 x
lim
lim x2n + 1 = + 
+
lim

x
lim

+
1
= 0+
x
Propriété :
 En +  et en  , une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
 En +  et en  , une fonction rationnelle (c’est à dire, un quotient de deux polynômes) a la même limite
que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
c. Opérations sur les limites :
Limite d’une somme :
Si f a pour limite
l
l
l
+

+
et si g a pour limite
l’
+

+


Alors f + g a pour limite
l + l’
+

+

Forme indéterminée
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Limite d’un produit :
Si f a pour limite
l
l0
l0
+

+
0
et si g a pour limite
l’
+

+


± 
Alors f × g a pour limite
l × l’
(signe de l) 
(signe de – l) 
+

 
Forme indéterminée
Limite d’un quotient :
Si f a pour limite
et si g a pour limite
l
l’  0
l
l0
±
±
0
±

±
l’

f
Alors a pour limite
g
l
l’
0
±
Forme indéterminée
±
Forme indéterminée
d. Asymptotes :

Asymptotes verticales :
o Elles n’existent que pour x tendant vers un nombre fini.
o Si lim f( x ) = ±  alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale
x

a
à la courbe de f.

Asymptotes horizontales :
o Elles n’existent que pour x tendant vers un « infini » (elles peuvent être
asymptotes en un infini, ou aux deux infinis).
o Si lim f( x ) = l alors la droite d’équation y = l est asymptote horizontale
x
o


±
à la courbe de f.
Pour étudier la position relative entre l’asymptote et la courbe de f, il suffit
d’étudier le signe de : f( x ) – l.
Asymptotes obliques :
o Elles n’existent que pour x tendant vers un « infini » (elles peuvent être
asymptotes en un infini, ou aux deux infinis).
o Si lim f( x ) – ( ax + b ) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est
x
o

±
asymptote oblique à la courbe de f.
Pour étudier la position relative entre l’asymptote et la courbe de f, il suffit
d’étudier le signe de : f( x ) − ( ax + b ).
Page 13
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IV.
Variation d’une fonction – Dérivation :
a. Variations d’une fonction :
Pour étudier les variations d’une fonction f sur un intervalle I :
 On dérive la fonction f ;
 On étudie le signe de la fonction dérivée f ’ sur l’intervalle I à l’aide d’un tableau de signes ;
 On dresse le tableau de variation de la fonction f sur I en utilisant la propriété suivante.
Propriété :
f étant une fonction dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I :
 Si f ’( x ) > 0 pour tout x de J alors f est strictement croissante sur J.
 Si f ’( x ) < 0 pour tout x de J alors f est strictement décroissante sur J.
 Si f ’( x ) = 0 pour tout x de J alors f est constante sur J.
b. Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction f
k
ax + b
xn ; n  *
1
x
1
; n  *
xn
x
Fonction dérivée f ’
0
a
n xn − 1
1
− 2
x
n
− n−1
x
1
2 x
c. Opérations sur les dérivées :
Fonction
u+v
ku ; k  
uv
1
u
u
v
Fonction dérivée
u’ + v’
ku’
u’v + uv’
u’
− 2
u
u’v − uv’
v2
un ; n  *
n u’un − 1
d. Tangente à une courbe :
Définition et propriété :
Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de f au
point d’abscisse a est la droite passant par le point A ( a ; f( a ) ) et dont le coefficient directeur est égal à f ’( a ).
Une équation de cette droite est y = f( a ) + f ’( a ) ( x – a ).
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V.
Primitive :
a. Définition et propriétés :

F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F’( x ) = f( x ).

Si F0 est une primitive de f sur un intervalle I alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme :
F( x ) = F0( x ) + C où C est une constante réelle.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
b. Primitives des fonctions usuelles :
Fonction f
a
xn ; n  *
1
; n  *
xn
1
x
Fonction primitive F
ax
xn + 1
n+1
1
−
( n − 1 )xn − 1
2 x
c. Formules générales :
Forme de f
u’un ; n  *
u’
;n>1
un
u’
u
une primitive de f
un + 1
n+1
1
−
( n − 1 )un − 1
2 u
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PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX
EXERCICE : ÉLASTICITÉ DES PRIX
Pour un certain article, on a pu établir que sa demande est fonction du prix p, en euros, et vérifie :
100
f( p ) =
, où p  ]5 ; + [.
p−5
f ’( p )
On appelle élasticité de la demande par rapport au prix p le réel : E( p ) = p ×
.
f( p )
On admettra que ce réel, sans unité, indique le pourcentage de variation de la demande pour un accroissement de 1
% d’un prix p donné.
L’élasticité E( p ) est négative quand une augmentation du prix entraîne une diminution de la demande.
1. Vérifier que la fonction de demande f est décroissante.
2. Déterminer la fonction élasticité pour la fonction de demande f.
−p
3. Etudier les variations de la fonction E donnée par : E( p ) =
sur ]5 ; + [.
p−5
4. Etudier les limites de E aux bornes de ]5 ; + [.
5. Calculer l’élasticité de la demande pour un prix donné de 9 €.
6. Pour quel prix p0 une augmentation de 1 % du prix conduit-elle à une diminution de 1,5% de la demande ?
EXERCICE : DU COÛT MARGINAL AU COÛT MOYEN
Une entreprise fabrique q milliers d’objets, q appartenant à l’intervalle [0 ; 15].
Le coût marginal en euros de cette production est défini sur [0 ; 15] par :
Cm( q ) = 3q2 − 36q + 750.
1. La fonction coût total C est une primitive sur [0 ; 15] de la fonction coût marginal Cm. On sait de plus que
les coûts fixes s’élèvent à 200 €. Déterminer l’expression de C( q ).
2. La fonction coût moyen CM est définie par CM( q ) =
C( q )
sur l’intervalle ]0 ; 15].
q
a. Déterminer l’expression de CM( q ).
b. Calculer CM’( q ) et vérifier que l’on a, pour tout q de ]0 ; 15] :
2( q − 10 )( q2 + q + 10 )
CM’( q ) =
q2
c. Etudier le signe de CM’( q ) et dresser le tableau de variation de CM sur ]0 ; 15].
d. Combien d’objets faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ?
e. Calculer le coût moyen et le coût marginal correspondant. Que remarque-t-on ?
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PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES
FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX
EXERCICE : ÉTUDE DE FONCTION
Soit f une fonction définie par : f( x ) =
x3 − x2 + 3x + 5
x2 + 3
1. Quel est son ensemble de définition ?
c
.
x2 + 3
En déduire les limites de f( x ) en +  et en – .
Montrer que la courbe de f admet la droite D d’équation y = x – 1 comme asymptote en +  et en – .
Calculer la dérivée de f. Montrer que f ’ s’écrit pour tout x :
( x − 1 )2 ( x2 + 2x + 9 )
f ’( x ) =
2
( x2 + 3 )
En déduire les variations de f.
Montrer qu’il existe un et un seul point A de la courbe de f notée C f tel que la tangente à C f en A soit
parallèle à D.
Tracer la courbe représentative de f dans le repère orthonormé suivant :
2. Mettre f sous la forme : f( x ) = ax + b +
3.
4.
5.
6.
7.
8.
y
1
1
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x