Sommaire Complément d`information concernant la fiche de
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PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX VENDREDI 1ER FÉVRIER 2013 Sommaire Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler pendant les regroupements : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 3 Un rappel de cours sur la notion de pourcentages ; Page 4 Un rappel sur l’étude du signe d’une expression ; Page 7 Un premier rappel de cours sur l’étude des fonctions numériques ; Page 8 Un rappel de cours sur les suites ; Page 15 Un premier rappel de cours sur les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances ; Page 16 Un rappel de cours sur les séries statistiques à deux variables ; Page 19 Un rappel de cours sur le calcul intégral ; Page 22 Un rappel de cours sur les probabilités ; Page 23 Un exercice intitulés: « Évolution des subventions » pour travailler la notion de pourcentage ; Page 31 Trois exercices intitulés « Élasticité des prix », « Du coût marginal au coût moyen » et Page 32 « Étude de fonction » pour travailler la notion d’étude d’une fonction. Deux exercices intitulés : « Association de gymnastique » et « Achat immobilier » pour Page 34 travailler la notion de suites ; Un QCM pour travailler les fonctions. Page 35 Deux exercices intitulés : « La part du nucléaire » et « Club de rugby » pour travailler la Page 36 notion de statistiques ; La suite du QCM donné précédemment, et deux exercices classiques pour poursuivre les Page 38 études de fonctions. Trois exercices intitulés : « Sexe et couleur des yeux », « Loterie » et « Tirs au but » pour Page 41 travailler la notion de probabilités ; Un problème d’étude de fonction. Page 42 Complément d’information concernant la fiche de concordance Vous devez avoir en votre possession la fiche de concordance « mathématiques » afin de savoir quels sont les chapitres à revoir. Je vous conseille par ailleurs de vous procurer un manuel de terminale ES si ce n’est pas déjà fait, je vous propose le suivant : « Hyperbole Terminale ES : enseignement obligatoire et de spécialité ». Vous ne devez revoir que les chapitres 1 à 10 ainsi que le chapitre 13 de ce manuel. Page 1 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX Pour les regroupements à venir Afin que chaque regroupement vous soit le plus utile possible, je vous invite à reprendre ce que nous aurons fait lors des séances précédentes afin de préparer des éventuelles questions. Par ailleurs, nul besoin d’attendre le prochain regroupement pour avancer dans les exercices. Chacun doit aller à son rythme de façon à avoir travaillé l’ensemble du programme avant l’épreuve du mois de juin. Je vous rappelle les dates des prochains regroupements : Samedi 23 février 2013 ; Samedi 23 mars 2013. Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : [email protected] Page 2 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX RENTRÉE 2012 MATIÈRE Mathématiques À ÉTUDIER DANS LES Les documents fournis par le CNED ont été entièrement DOCUMENTS FOURNIS PAR LE renouvelés il y a deux ans. CHAPITRES CNED Vous y trouverez l’intégralité du cours au programme du DAEU. Cependant, il est inutile de s’attarder sur le tome 1. Il faut le lire, puis y revenir en fonction des besoins. CONSEILS POUR LA PRÉPARATION DOCUMENTS UTILES DESCRIPTIF DE L’ÉPREUVE L’examen portera sur une partie du programme actuel de la classe de terminale ES (enseignement obligatoire et le complément sur les suites de l’enseignement de spécialité). Un manuel de terminale ES (obligatoire et spécialité) ou tout autre livre d’aide aux élèves de terminale ES (rappels de cours, fiches méthodes, exercices corrigés...) selon votre convenance. Des annales du baccalauréat de terminale ES (obligatoire et spécialité) http://euler.ac-versailles.fr/ Durée : 3 heures Matériel accepté : calculatrice Un formulaire pourra être fourni avec le sujet. Page 3 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX LA NOTION DE POURCENTAGE I. Définition : Un pourcentage est une façon d'exprimer un nombre comme une fraction de cent, généralement en utilisant le signe %. On utilise le pourcentage seulement lorsqu'un nombre représente une proportion ou une fraction d'un ensemble. Un pourcentage seul ne signifie rien. Il faut toujours préciser à quelle grandeur il se rapporte (15% de la population, 80% du temps, 10% de chances …). D'usage très fréquent dans le monde actuel puisqu'on le rencontre en statistique comme en économie, le pourcentage est une notion qui peut induire de nombreuses erreurs de raisonnement. II. Premier savoir-faire : Appliquer un pourcentage : Exemple : Dans un lycée, 500 élèves ont passé le bac. Le taux de réussite est égal à 75%. Combien d’élèves ont eu leur bac ? 75% de 500 se traduit mathématiquement par l’opération suivante : On effectue alors le calcul : 75 × 500 : 100 75 37500 × 500 = = 375. 100 100 375 élèves ont obtenu leur bac dans ce lycée. Remarque : Pour effectuer ce calcul, on peut aussi multiplier 500 par le nombre décimal : 75/100 = 0,75. 75 % de 500 s’écrit alors 0,75 × 500 = 375 III. Deuxième savoir-faire : Calculer un pourcentage : Exemple : Dans un établissement scolaire de 700 élèves, 175 sont des demi-pensionnaires. Quel est leur pourcentage ? On a le tableau de proportionnalité suivant : Demi-pensionnaires 175 x Nombre total d’élèves 700 100 175 x On cherche x tel que = 700 100 On peut par exemple utiliser la méthode du produit en croix. 175 × 100 On a : x = = 25 700 25% des élèves de cet établissement sont demi-pensionnaires. Page 4 On peut aussi signaler que 175 élèves sur 700 correspondent à 0,25 ou encore 175 soit 700 25 (on a mis la 100 fraction précédente sur 100). PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX IV. Troisième savoir-faire : Pourcentage d’augmentation ou de réduction : Exemple : Un commerçant vend une table 70 €. Pendant les soldes, il baisse son prix de 10%. Quel est son nouveau prix ? Calculons la remise : 10 × 70 = 0,1 × 70 = 7 donc la remise est de 7 € 100 Calculons le prix après la remise 70 – 7 = 63 donc le prix soldé est 63 € A la fin des soldes, il ré-augmente son prix de 10%. Combien vaut désormais la table ? Calculons l’augmentation : 10 × 63 = 0,1 × 63 = 6,3 donc l’augmentation est de 6,3 € 100 Calculons le prix après les soldes : 63 + 6,3 = 69,3 donc le prix après les soldes est de 69,3 € Attention !!! Réduire de 10% puis augmenter de 10% ne permet pas d’obtenir le même prix qu’au départ. On ne peut ni ajouter, ni soustraire des pourcentages puisqu’il s’agit de proportion sur des quantités différentes. Remarque et astuce importante : La méthode précédente fonctionne très bien lorsqu’il n’y a qu’une variation à utiliser et aucun « retour en arrière » à effectuer. Il existe une méthode plus efficace et qui permet d’effectuer des opérations successives. Si on diminue de 10% le prix de la table, on effectue le calcul suivant : 10 10 10 90 70 – × 70 = 1 × 70 − × 70 = (1 – ) × 70 = (1 – 0,1) × 70 = 0,9 × 70 = × 70 = 63 100 100 100 100 Autrement dit : Effectuer une réduction de 10 % revient à ne prendre que 90 % de la quantité de départ, c'est-à-dire à 10 90 multiplier par (1 – )= = 0,90 100 100 De même pour l’augmentation : 10 10 110 63 + × 63 = (1 + ) × 63 = 1,1 × 63 = × 63 = 69,3 100 100 100 Autrement dit : Effectuer une augmentation de 10 % revient à prendre 110 % de la quantité de départ, c’est-à-dire à 10 110 multiplier par (1 + )= = 1,10 100 100 Page 5 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX V. Composer des pourcentages : Exemple : Dans un collège, l’effectif a augmenté de 10% entre 2007 et 2008 puis de 20% entre 2008 et 2009. De quel pourcentage, l’effectif du collège a-t-il augmenté entre 2007 et 2009 ? Soit x l’effectif du collège en 2007. Lors de l’augmentation de 10 % entre 2007 et 2008, l’effectif est multiplié par (1 + l’effectif est 1,10x. Lors de l’augmentation de 20 % entre 2008 et 2009, l’effectif est multiplié par (1 + l’effectif est 1,20 × 1,10x = 1,32x. Entre 2007 et 2009, l’effectif du collège est passé de x à 1,32x. Il a été multiplié par 1,32. 32 Or 1,32 = 1 + 100 L’effectif a donc augmenté de 32%. Page 6 10 ) = 1,10 donc 100 20 ) = 1,20 donc 100 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX ÉTUDE DU SIGNE D’UNE EXPRESSION I. Signe de ax + b, a 0 : On détermine la valeur de x qui annule ax + b puis on applique la règle « signe de a après le 0 ». x − − II. 0 Signe de − a ax + b b a + Signe de a Signe de ax2 + bx + c , a 0 : On calcule le discriminant = b2 − 4ac (sauf cas évident) puis : Si < 0, on applique la règle « toujours du signe de a » : x − + ax2 + bx + c Signe de a Si = 0, on calcule la racine double : x1 = − b et on applique la règle « toujours du signe de a et s’annule 2a en x1 » : x − ax2 + bx + c + x1 0 Signe de a Si > 0, on calcule les deux racines : x1 = Signe de a −b− −b+ et x2 = et on applique la règle « du signe de 2a 2a a à l’extérieur des racines » : x ax2 + bx + c III. − Signe de a + x2 x1 0 Signe de − a 0 Signe de a Dans les autres cas : On peut utiliser les variations d’une fonction ou résoudre une inéquation pour déterminer le signe d’une expression. Page 7 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX FONCTIONS I. Généralités : a. Ensemble de définition : Définitions : Une fonction f définie sur Df associe à chaque réel x de Df un unique réel noté f( x ). Df est appelé l’ensemble de définition de f. f( x ) est l’image de x par f. Tout réel x de Df tel que f( x ) = y est dit antécédent de y par f. Principe général pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction : Si l’expression de f( x ) admet un quotient, alors x appartient à l’ensemble de définition Df si et seulement si le dénominateur est non nul. Si l’expression de f( x ) admet une racine carrée, alors x appartient à l’ensemble de définition D f si et seulement si l’expression sous la racine est positive. b. Courbe représentative Dans un repère donné, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points M de coordonnées ( x ; f( x ) ) où x décrit l’ensemble de définition de f. Une équation de la courbe est y = f( x ). Remarque : Recherche graphique de l’image d’un réel : Recherche graphique des antécédents d’un réel : L’image d’un réel a est l’ordonnée du point de la Les éventuels antécédents d’un réel b sont les courbe d’abscisse a : abscisses des points de la courbe d’ordonnée b : Page 8 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX c. Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle Soit I un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de la fonction f. f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f ( a ) < f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans le même ordre que les réels de départ. II. f est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f( a ) > f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans l’ordre contraire que les réels de départ. Continuité : a. Notion de continuité : On peut définir mathématiquement la notion de continuité d’une fonction mais cette définition relativement compliquée. Graphiquement, on peut reconnaître une fonction continue sur un intervalle par le fait que le tracé de la courbe représentative de la fonction sur cet intervalle peut se faire sans lever le crayon de la feuille. Théorème : Continuité des fonctions de références Toute fonction polynôme est continue sur . La fonction inverse est continue sur *- et sur +*. Elle n’est pas définie en 0. La fonction racine carrée est continue sur +. Théorème : Conservation de la continuité par les opérations usuelles Soient f et g deux fonctions continues sur I. Les fonctions f + g, f × g et k × f ( k ) sont continues sur I. f Si de plus g( x ) 0 pour tout x de I, le quotient est continu sur I. g Si f est continue sur I et si g est continue sur f( I ), la composée gof (f suivie de g) est continue sur I. Page 9 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX b. Théorème des valeurs intermédiaires et équation f( x ) = k : Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soient a I et b I. Pour tout réel k compris entre f( a ) et f( b ), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f( c ) = k. Autrement dit : l’équation f( x ) = k a au moins une solution c comprise entre a et b. Si de plus la fonction est strictement monotone sur l’intervalle I, alors le réel c est unique. On utilise la méthode du « balayage » pour en déterminer une valeur approchée. III. Limites : a. Définitions : Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant + comme borne supérieure. On dit que f a pour limite + en + ou que f( x ) tend vers + quand x tend vers + lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x + On peut définir de même lim f( x ) = + , lim f( x ) = x x + et lim f( x ) = x On dit qu’une fonction f a pour limite le réel l en + (ou que f( x ) tend vers l quand x tend vers + ) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x l On peut définir de même lim f( x ) = x l Page 10 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; b[. On dit que f a pour limite + en a (par valeurs supérieures) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f( x ) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x a x a On peut définir de même lim x et lim x a x a a x f( x ) = , lim a x a x a f( x ) = + f( x ) = Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a ou de borne a. On dit que f a pour limite le réel l en a lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a pour que f( x ) soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim f( x ) = l. x a Si f est définie en a alors lim f( x ) = f( a ) x a b. Limites des fonctions de référence : lim x2n = + x x x x x lim x2n = + + x lim x2n + 1 = x lim x2n + 1 = + + x lim 1 = 0- x x lim 0 1 = x lim 0 1 = x 0 x 0 x lim + lim + x = + 1 = 0+ x Propriété : En + et en , une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. En + et en , une fonction rationnelle (c’est à dire, un quotient de deux polynômes) a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. c. Opérations sur les limites : Limite d’une somme : Si f a pour limite l l l + + et si g a pour limite l’ + + Alors f + g a pour limite l + l’ + + Forme indéterminée Page 11 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX Limite d’un produit : Si f a pour limite l l0 l0 + + 0 et si g a pour limite l’ + + ± Alors f × g a pour limite l × l’ (signe de l) (signe de – l) + Forme indéterminée et si g a pour limite Alors Limite d’un quotient : Si f a pour limite l l’ 0 l l0 ± ± 0 ± ± l’ f a pour limite g l l’ 0 ± Forme indéterminée ± Forme indéterminée d. Asymptotes : Asymptotes verticales : o Elles n’existent que pour x tendant vers un nombre fini. o Si lim f( x ) = ± alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale x a à la courbe de f. Asymptotes horizontales : o Elles n’existent que pour x tendant vers un « infini » (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si lim f( x ) = l alors la droite d’équation y = l est asymptote horizontale x o ± à la courbe de f. Pour étudier la position relative entre l’asymptote et la courbe de f, il suffit d’étudier le signe de : f( x ) – l. Asymptotes obliques : o Elles n’existent que pour x tendant vers un « infini » (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si lim f( x ) – ( ax + b ) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est x o ± asymptote oblique à la courbe de f. Pour étudier la position relative entre l’asymptote et la courbe de f, il suffit d’étudier le signe de : f( x ) − ( ax + b ). Page 12 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX IV. Variation d’une fonction – Dérivation : a. Variations d’une fonction : Pour étudier les variations d’une fonction f sur un intervalle I : On dérive la fonction f ; On étudie le signe de la fonction dérivée f ’ sur l’intervalle I à l’aide d’un tableau de signes ; On dresse le tableau de variation de la fonction f sur I en utilisant la propriété suivante. Propriété : f étant une fonction dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I : Si f ’( x ) > 0 pour tout x de J alors f est strictement croissante sur J. Si f ’( x ) < 0 pour tout x de J alors f est strictement décroissante sur J. Si f ’( x ) = 0 pour tout x de J alors f est constante sur J. b. Dérivées des fonctions usuelles : Fonction f k ax + b xn ; n * 1 x 1 ; n * xn x Fonction dérivée f ’ 0 a n xn − 1 1 − 2 x n − n−1 x 1 2 x c. Opérations sur les dérivées : Fonction u+v ku ; k uv 1 u u v Fonction dérivée u’ + v’ ku’ u’v + uv’ u’ − 2 u u’v − uv’ v2 un ; n * n u’un − 1 d. Tangente à une courbe : Définition et propriété : Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point A ( a ; f( a ) ) et dont le coefficient directeur est égal à f ’( a ). Une équation de cette droite est y = f( a ) + f ’( a ) ( x – a ). Page 13 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX V. Primitive : a. Définition et propriétés : F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F’( x ) = f( x ). Si F0 est une primitive de f sur un intervalle I alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme : F( x ) = F0( x ) + C où C est une constante réelle. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. b. Primitives des fonctions usuelles : Fonction f a xn ; n * 1 ; n * xn 1 x Fonction primitive F ax xn + 1 n+1 1 − ( n − 1 )xn − 1 2 x c. Formules générales : Forme de f u’un ; n * u’ ;n>1 un u’ u une primitive de f un + 1 n+1 1 − ( n − 1 )un − 1 2 u Page 14 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX LES SUITES NUMÉRIQUES I. Suites arithmétiques : Une suite arithmétique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en ajoutant toujours un même nombre r appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : un+1 = un + r Pour tout n, on a : un = u0 + nr Pour tout n et tout p, on a : un = up + ( n - p )r Si pour tout n, on a : un+1 - un = constante; Alors (un) est une suite arithmétique de raison égale à cette constante. premier terme + dernier terme S = (nombre de termes) × 2 En particulier : u0 + u1 + ... + un = (n + 1) × II. Suites géométriques : Une suite géométrique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en multipliant toujours un même nombre q appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : un+1 = un × q Pour tout n, on a : un = qn × u0 Pour tout n et tout p, on a : un = qn - p × up Si pour tout n, on a : = constante; Alors (un) est une suite géométrique de raison égale à cette constante. Pour une raison différente de 1, S = En particulier : u0 + u1 + ... + un = Page 15 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX LES FONCTIONS LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE I. Fonction logarithme : 1. Définition : Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction qui s'annule en 1. Conséquences : ln (1) = 0 ln est dérivable sur ]0 ; + [ et on a : (ln x)' = 1 x 2. Propriétés : 3. Étude de la fonction logarithme : x (ln x)' 0 y + 1 1 + + ln x 0 0 - 1 2 3 4 5 6 7 x -1 4. Étude d'une fonction ln (u) : Si u est une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et ln (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction ln (u). u' Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction ln (u) est dérivable sur I et (ln (u))' = . u u' Une primitive de sur I est ln (u). u Page 16 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX II. Fonction exponentielle : 1. Définition : Définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur qui, à chaque réel x, associe le réel strictement positif dont le logarithme népérien est x. On convient d'écrire exp (x) = Conséquences : e0 = 1 et e1 = e Pour tout réel x, ex > 0 Pour tout réel x et pour tout y strictement positif, y = ex si et seulement si x = ln y Si x est strictement positif, e ln x = x ln (ex) = x 2. Propriétés : ea + b = ea eb 1 e -a = a e ea a-b e = b e na e = (ea)n 3. Étude de la fonction exponentielle : La fonction exponentielle est dérivable sur et (exp x)' = ex - x (exp x)' 0 1 3y + + 2 + e exp x 1 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 4. Étude d'une fonction exp (u) : Si u est une fonction définie sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et exp (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction exp (u). Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction exp (u) est dérivable sur I et (exp (u))' = u' exp (u). Une primitive de u' exp (u) sur I est exp (u). Page 17 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX III. Fonction puissance : 1. Définition : Définition : Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on note ab le réel tel que : ab = eb ln(a). Conséquences : ab > 0 ln (ab) = b ln (a) 2. Racine nième d'un réel positif : Pour tout entier n > 0 et pour tout réel a positif ou nul, l'équation x n = a admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; + [. Cette solution est appelée la racine nième de a et est notée ou On a : 3. Étude de la fonction puissance : Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction définie sur par f(x) = ax. Elle est dérivable et f '(x) = ax × ln a Si 0 < a < 1 x f ' (x) Si a > 1 - + - x f ' (x) - + + + + ax ax 0 -2 -1 0 3y 3y 2 2 1 1 0 1 2 3 -2 x -1 0 1 2 3 x 4. Croissances comparées : Pour n > 0 : lim x ln x = x 0 ex n = x + x ln x n = x + x lim lim x lim xn ex = - Autrement dit : à l'infini, les puissances de x l'emportent sur le logarithme népérien de x et l'exponentielle de x l'emporte sur les puissances de x. Page 18 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX LES SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES Le but des statistiques est d’induire des lois de comportement à partir d’un grand nombre d’observations. En particulier, un thème majeur d’étude est la recherche d’une corrélation entre deux caractères (ou grandeurs ou variables) x et y, partagés par les individus (ou éléments) d’une population (ou ensemble étudié). Il s’agit donc de détecter qu’un caractère varie en fonction de l’autre puis de trouver un modèle mathématique de cette dépendance, c’est-à-dire trouver une fonction f telle que l’on puisse écrire y f(x) On utilisera alors le modèle f, pour estimer la valeur de y associée à une valeur non observée de x. Quand la série est chronologique, cette approche permet de prédire des comportements futurs, à moyen terme, pour la variable y. I. Séries statistiques à deux variables : On appelle série statistique à deux variables, la donnée de n couples (xi ; yi) de valeurs réelles. A chaque couple (xi ; yi), on peut associer, dans un repère orthogonal, un point M i de coordonnées (xi ; yi). L’ensemble des points ainsi obtenus est appelé nuage de points associé à la série statistique. On appelle alors point moyen de cette série, le point G de coordonnées ( ; ) où respectives des séries x1 ; x2 ; ... ; xn et y1 ; y2 ; ... ; yn : On a : et et sont les moyennes II. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : Effectuer un ajustement, c’est chercher une fonction dont la représentation graphique décrive au mieux le nuage de point associé à la série statistique considérée. Si la fonction cherchée est affine, on parle d’ajustement affine. On peut décider, au vu du dessin, de choisir telle ou telle droite. En général on cherche à minimiser une certaine notion de distance entre la droite et le nuage. On parle alors d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Lors d’un ajustement affine de y par x par la méthode des moindres carrés, on cherche une fonction f de la forme f(x) = ax + b passant par le point moyen G. Dans ces conditions, on a : et La droite obtenue est appelée la droite de régression de y en x. Remarques : est la covariance des deux séries xi et yi, on la note cov(x ; y) ; est la variance de la série xi, on la note var(x). On peut donc écrire : Page 19 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX III. Exemple : Le tableau suivant représente l’évolution du chiffre d’affaires en milliers d’euros d’une entreprise pendant dix années, entre 1995 et 2004. Année Rang de l’année xi Chiffre d’affaires yi 1995 0 110 1996 1 130 1997 2 154 1998 3 180 1999 4 190 2000 5 210 2001 6 240 2002 7 245 2003 8 270 2004 9 295 1. 2. 3. 4. Représenter le nuage de points Mi (xi ; yi). Quel est en pourcentage, l’augmentation du chiffre d’affaires entre les années 1995 et 2004 ? Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point G et le placer sur le dessin. Justifier qu’il est judicieux de procéder pour cette série à un ajustement affine. Donner l’équation de la droite D d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. 5. Vérifier que G appartient à la droite D et tracer la droite D sur le dessin. 6. En admettant que l’évolution continue au même rythme et en utilisant l’ajustement affine, quel chiffre d’affaires peut-on attendre pour l’année 2010 ? 7. On suppose qu’à partir de l’année 2004, le chiffre d’affaires progresse de 8 % par an. Quel est alors le chiffre d’affaires prévisible en 2010 ? 1. Chiffre d'affaires 350 300 250 G 200 Chiffre d'affaires D 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Entre les années 1995 et 2004 le chiffre d’affaires est passé de 110 à 295 milliers d’euros. 295 On a : 2,69 donc entre les années 1995 et 2004 le chiffre d’affaires a été multiplié par 2,69. 110 169 2,69 = 1 + 1,69 = 1 + 100 Entre les années 1995 et 2004, le chiffre d’affaires a augmenté de 169 %. Page 20 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX 3. Le point G a pour coordonnées (4,5 ; 202,4). 4. Le nuage de point a une forme rectiligne, il est donc judicieux de procéder à un ajustement affine. On remplit le tableau suivant : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 110 130 154 180 190 210 240 245 270 295 - 4,5 - 3,5 - 2,5 - 1,5 - 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 20,25 12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25 20,25 - 92,4 - 72,4 - 48,4 - 22,4 - 12,4 7.6 37,6 42,6 67,6 92,6 415,8 253,4 121 100,8 6,2 3,8 56,4 106,5 236,6 416,7 Ainsi : et L’équation de la droite D est : y = 20,8x + 108,8. 5. Pour x = 4,5, on a : 20,8x + 108,8 = 93,6 + 108,8 = 202,4 Le point G appartient à la droite D. 6. L’année 2010 est l’année de rang 15. Pour x = 15, on a : 20,8x + 108,8 = 312 + 108,8 = 420,8 Le chiffre d’affaires attendu pour 2010 est de 420,8 milliers d’euros. Il s’agit d’une extrapolation (on parle d’interpolation pour des valeurs à l’intérieur de la plage des données et d’extrapolation pour des valeurs à l’extérieur de cette plage). 8 = 1,08. 100 Si on suppose une progression annuelle de 8 %, en 6 années (de 2004 à 2010) le chiffre d’affaires sera multiplié 6 fois par 1,08. 7. Une augmentation de 8 % correspond à une multiplication par 1 + Le chiffre d’affaires prévisible pour l’année 2010 est environ 468 milliers d’euros. Page 21 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX CALCUL INTÉGRAL I. Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I : où F est une primitive de f sur I. II. Propriétés : f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c sont des éléments de I et k est un réel. Propriétés de linéarité : Positivité et ordre : Pour , si Pour pour tout x de [a ; b] on a : , si pour tout x de [a ; b] on a : Relation de Chasles : III. Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I avec a < b, la valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel : IV. Aire sous la courbe : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. est l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b en unités d’aire. Page 22 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX PROBABILITÉS I. Vocabulaire : Ci-contre figure le tableau de distribution des fiches d'élèves d'un lycée susceptibles de présenter une épreuve au baccalauréat, selon deux critères le niveau et la section. Niveau ES 70 80 150 Première Terminale Total Section S 80 90 170 L 40 40 80 Total 190 210 400 On définit comme épreuve ou expérience aléatoire le fait de tirer une fiche au hasard. Le résultat de l'épreuve est l'ensemble des éléments que l'on peut observer sur cette fiche. L'obtention d'une ou plusieurs caractéristiques lors de l'examen des résultats est la réalisation d'un évènement. Exemple : on note T est l’évènement « Est élève de terminale » Des évènements peuvent être liés par « la relation logique et notée : » ou « la relation logique ou notée : ». A B désigne l’événement ( A et B ) qui est réalisé lorsque à la fois A et B sont réalisés. A B désigne l’événement ( A ou B ) qui est réalisé lorsque l’un au moins des deux événements est réalisé. Exemple : On note : T l’évènement «Est élève de terminale » et ES l’évènement «Est élève de ES ». L’évènement TES est l’évènement « Est en terminale ou en section ES ». L’évènement TEs est l’évènement « Est en terminale ES ». II. Probabilités : 1. Définition : À partir des données du tableau précédent et en considérant que le tirage au hasard ne permet pas de favoriser une fiche par rapport à une autre, on associe à un évènement E un nombre réel compris entre 0 et 1, appelé probabilité de l’évènement E. Par exemple à l’évènement T : « Est élève de terminale » il semble naturel d’associer le nombre . Ce nombre nous donne une indication sur la possibilité de réalisation de l’évènement T. La probabilité de l’évènement impossible est nulle : Si on note I l’évènement : « Est élève en S et ES » : . La probabilité de l’évènement certain est égale à 1 : La probabilité de l’évènement U: « Est un élève » est Page 23 . PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX La probabilité de l’évènement contraire d’un évènement E noté La probabilité de l’évènement : « Est élève de première » est est : . – . 2. Propriétés : La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Si A = { a1, a2, ... , ak} alors p(A) = p(a1) + p(a2) + ... + p(ak). p( A ) = 1 – p(A) p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) La probabilité p(AB) de l’union de deux événements incompatibles A et B est égale à la somme p(A) + p(B) des probabilités. Exemple : On note : T l’évènement « Est élève de terminale », Es l’évènement « Est élève de ES », S l’évènement « Est élève de S ». La probabilité de l’évènement « Est en terminale ou en section ES » est : ES et S sont deux évènements incompatibles, la probabilité de l’évènement ES S est : 3. Équiprobabilité : L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Il en résulte que : p1 = p2 = ....... = pn = 1 . n Dans le cas où tous les événements élémentaires sont équiprobables, la probabilité d’un événement A est : Exemple : Une roue est partagée en douze secteurs de même dimension : 3 sont rouges ; 4 sont verts et 5 sont bleus. Quand on fait tourner la roue elle s’arête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu’un seul secteur. On note B l’évènement « le secteur désigné est bleu », R l’évènement « le secteur désigné est rouge » et V l’évènement « le secteur désigné est vert » Si on s’interresse à la couleur du secteur du secteur désigné : Page 24 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX III. Probabilité conditionnelle : Reprenons le tableau de distribution des élèves. On tire la fiche d’un élève de terminale, la probabilité qu’il soit en section ES est : . La probabilité de l’évènement « est inscrit en section ES, sachant qu’il est élève de terminale » est dite probabilité conditionnelle. Si on note : T l’évènement « Est élève de terminale », et ES l’évènement « Est en section ES », la probabilité conditionnelle de l’évènement ES sachant T est notée p(EST) ou pT(ES). 1. Définition : Si p(A) 0, la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée pA(B) ou p(B A), est définie par : Dans le tableau suivant on a calculé les probabilités conditionnelles des différentes sections pour le niveau connu : Section ES S L Ensemble Tableau de distribution des probabilités conditionnelles des différentes sections Première 7/19 8/19 4/19 1 Niveau pour le niveau connu. Terminale 8/21 9/21 4/21 1 Rappel Ensemble 15/40 17/40 1/5 1 Remarque : La lecture du tableau de distribution des probabilités conditionnelles des différentes sections pour le niveau connu ne nous permet pas de trouver les probabilités des différents évènements ES, S ou L. Pour cela nous avons besoin de formules permettant de calculer la probabilité d’un évènement, à partir de la probabilité d’autres évènements. 2. Formule des probabilités composées : Cette formule permet de calculer la probabilité p(AB) de la réalisation simultanée des évènements A et B à partir de la réalisation de l’un des évènements et de la probabilité de réalisation conditionnelle de l’autre évènement sachant que le premier est réalisé. Elle se déduit de la définition de la probabilité conditionnelle. A et B sont deux événements, de probabilité non nulle. p( A B ) = p( A B ) p(B) = p( B A ) p(A) Exemple : On note : T l’évènement « Est élève de terminale », Es l’évènement « Est élève de ES » p( Es T ) = p( Es T ) p(T) = ce qui est bien ce que l’on avait d’après le premier tableau : Page 25 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX 3. Formule des probabilités totales : E est l’ensemble des évènements élémentaires d’une expérience aléatoire. Les évènements A 1, A2, ..., Am forment une partition de E lorsque E est la réunion des évènements Ai et que les évènements Ai sont deux à deux incompatibles. A1, A2, ..., Am forment une partition de E, la probabilité d’un évènement B est donnée par événements, de probabilité non nulle. p(B) = p( B A1 ) + p( B A2 ) + ... + p( B Am) Exemple : On note : T l’évènement « Est élève de terminale », Es l’évènement « Est élève de ES » T et forment une partition d’où p(Es) = p( Es T ) + p( Es )= . 4. Arbres pondérés : Arbre pondéré 8 21 T probabilités totales probabilités composées 9 Es 4 40 21 21 21 S 21 21 8 p( Es T ) = p( Es T ) p(T) = p( S T ) = p( S T ) p(T) = 9 40 21 21 L p( L T ) = p( L T ) p(T) = 4 5 9 40 40 21 21 1 1 40 p(Es)= 10 15 40 p(S)= 17 40 19 7 40 19 8 T Es 19 7 T ) = p( Es T ) p( T ) = 19 S 19 4 p( Es p( S 8 T ) = p( S T ) p( T ) = 19 L p( L T ) = p( L T ) p( T ) = 4 19 19 40 19 40 7 19 40 40 p(L)= 1 5 1 5 1 10 Règles d'utilisation : On admettra plus généralement que : La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1. Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. Page 26 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX IV. Indépendance de deux évènements : Définition : Dire que deux événements sont indépendants signifie que : p( A B ) = p(A) p(B) Remarques : Si p( A B ) = p(A) p(B) alors p( A B ) = p(A) et p( B A ) = p(B). Ainsi la probabilité d’obtenir A sachant que B est réalisé est égale à la probabilité d’obtenir A. intuitivement cela signifie que A ne dépend pas de B. Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles Exemple : Considérons le tirage au hasard d’une carte d’un jeu de 32 cartes. On note A l’événement « tirer un as », B l’événement « tirer un cœur » et C l’événement « tirer un as rouge ». donc A et B sont indépendants. donc B et C ne sont pas indépendants. V. Variable aléatoire : Une roue est partagée en quinze secteurs de même dimension. Trois secteurs sont de couleur rouge six de couleur verte, cinq sont bleu-clair et un de couleur bleu foncé. Quand on fait tourner la roue elle s’arête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu’un seul secteur. On complète la situation précédente par la règle suivante : « On mise d’abord 5€ pour une partie. Si la flèche désigne un secteur rouge on gagne 25 € ; Si la flèche désigne un secteur vert on ne gagne rien ; Si la flèche désigne un secteur bleu-clair on récupère sa mise ; Si la flèche désigne le secteur bleu foncé on perd 25 € » Lancer la roue Gain Total: -3090 Gain Moyen: -0,00309 À chacune des quatre couleurs on associe le gain algébrique obtenu à la fin de la partie. On dit que l’on définit ainsi une variable aléatoire notée X. Définir une variable aléatoire X, c’est associer à chaque évènement élémentaire {a i} d’une épreuve un nombre réel xi. Page 27 série 1 série 2 série 3 série 4 série 5 série 6 série 7 série 8 série 9 série 10 série 11 série 12 série 13 série 14 série 15 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX Quel est l’ensemble des gains possibles ? Si on tombe sur un secteur rouge, on gagne 20 €, cet évènement est noté (X = 20) Si on tombe sur un secteur vert, on perd 5 € (la mise) ; Si on tombe sur un secteur bleu clair, on ne gagne rien et on ne perd rien ; Si on tombe sur le secteur bleu foncé, on perd 30 €. La variable aléatoire peut donc prendre 4 valeurs : 20 ; – 5 ; 0 et – 30. Remarque : On peut définir plusieurs variables aléatoires sur un même ensemble ; il suffit, par exemple de définir de nouvelles règles de jeu). Pour un joueur il est préférable avant de jouer de connaître la probabilité de gagner ou de perdre plutôt que celle de tirer telle ou telle couleur. Gain xi 20 0 -5 - 30 p( X = xi ) On dit que l’on a ainsi définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Quelle est la probabilité de l’évènement G « avoir un gain positif » ? Quelle est la probabilité de l’évènement ? Quelle est la probabilité p(-25 X 25) ? L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre : Elle donne le gain moyen que l’on peut espérer. On dit qu’un jeu est équitable lorsque son espérance est nulle. La variance de la variable aléatoire X est le nombre : La variance mesure le risque de s’écarter de l’espérance. Quel est le gain moyen qu’un joueur obtiendrait s’il jouait un très grand nombre de fois ? Page 28 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX VI. Loi Binomiale : 1. Épreuve de Bernoulli : Considérons une expérience dont l'univers ne contient que deux événements élémentaires. On appelle SUCCÈS la réalisation de A et ÉCHEC la réalisation de son contraire . Posons P(A) = p la probabilité de l’événement A et P( ) = q la probabilité de l’événement . p et q sont liés par la relation p + q = 1 Exemple : Un joueur lance un dé non pipé et on s’intéresse à l’obtention du six. Soit A l'événement « on obtient un six ». Nous avons P(A) = 1/6 et P ( ) = 5/6. Lorsqu'on s'intéresse ainsi à un événement A ou à son contraire appelée épreuve de Bernoulli. Son espérance est p, sa variance est pq ou p(1 – p). , la réalisation de l'expérience est 2. Loi binomiale : Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité commune de succès. On dit alors qu’on est dans un schéma de Bernoulli caractérisé par p la probabilité de succès à chaque épreuve et n le nombre d’épreuves. Soit n un entier tel que n 1 et soit p [0, 1]. Par définition la variable aléatoire X qui désigne le nombre de succès de probabilité commune p dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B (n ; p). Son espérance est np, sa variance est npq ou np(1 – p). Exemple : On lance plusieurs fois un dé et on s’intéresse au nombre d’apparitions du six on lance le dé deux fois : Probabilités S (1/6) 2 S (1/6) (5/6) S (1/6) (5/6) 2 S (5/6) S S La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : xi p( X = xi ) 0 1 2 L’espérance mathématique est La variance est Page 29 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX on lance le dé trois fois : S S S S S S S S S S S S S S Probabilités (1/6) 3 (1/6) 2 (5/6) (1/6) 2 (5/6) (1/6) (5/6) 2 (1/6) 2 (5/6) (1/6) (5/6) 2 (1/6) (5/6) 2 (5/6) 3 La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : xi p( X = xi ) 0 1 2 3 L’espérance mathématique La variance est Page 30 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : ÉVOLUTION DES SUBVENTIONS La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3 000 € pour l’année 2002. Depuis 2002, l’évolution de la subvention en pourcentage d’une année sur l’autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année 2003 2004 2005 2006 2007 Évolution en + 17% + 15% + 10% + 9% + 6% pourcentage Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2004 à 2005 est une augmentation de 10% 1. a. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euros). Les résultats seront arrondis à l’unité. b. Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année 2003. Quelle confusion fait-il ? 2. On admet que le montant de la subvention en 2007 est de 5 130 €. a. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 2002 à 2007. b. Si le taux d’évolution de la subvention d’une année à l’autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie à 10− 3 près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 2002 et 2007 ? c. Avec ce même taux d’évolution t, quelle serait la subvention, arrondie à l’unité, en 2008 ? Page 31 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : ÉLASTICITÉ DES PRIX Pour un certain article, on a pu établir que sa demande est fonction du prix p, en euros, et vérifie : 100 f( p ) = , où p ]5 ; + [. p−5 f ’( p ) On appelle élasticité de la demande par rapport au prix p le réel : E( p ) = p × . f( p ) On admettra que ce réel, sans unité, indique le pourcentage de variation de la demande pour un accroissement de 1 % d’un prix p donné. L’élasticité E( p ) est négative quand une augmentation du prix entraîne une diminution de la demande. 1. Vérifier que la fonction de demande f est décroissante. 2. Déterminer la fonction élasticité pour la fonction de demande f. −p 3. Etudier les variations de la fonction E donnée par : E( p ) = sur ]5 ; + [. p−5 4. Etudier les limites de E aux bornes de ]5 ; + [. 5. Calculer l’élasticité de la demande pour un prix donné de 9 €. 6. Pour quel prix p0 une augmentation de 1 % du prix conduit-elle à une diminution de 1,5% de la demande ? EXERCICE : DU COÛT MARGINAL AU COÛT MOYEN Une entreprise fabrique q milliers d’objets, q appartenant à l’intervalle [0 ; 15]. Le coût marginal en euros de cette production est défini sur [0 ; 15] par : Cm( q ) = 3q2 − 36q + 750. 1. La fonction coût total C est une primitive sur [0 ; 15] de la fonction coût marginal Cm. On sait de plus que les coûts fixes s’élèvent à 200 €. Déterminer l’expression de C( q ). 2. La fonction coût moyen CM est définie par CM( q ) = C( q ) sur l’intervalle ]0 ; 15]. q a. Déterminer l’expression de CM( q ). b. Calculer CM’( q ) et vérifier que l’on a, pour tout q de ]0 ; 15] : 2( q − 10 )( q2 + q + 10 ) CM’( q ) = q2 c. Etudier le signe de CM’( q ) et dresser le tableau de variation de CM sur ]0 ; 15]. d. Combien d’objets faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? e. Calculer le coût moyen et le coût marginal correspondant. Que remarque-t-on ? Page 32 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : ÉTUDE DE FONCTION Soit f une fonction définie par : f( x ) = x3 − x2 + 3x + 5 x2 + 3 1. Quel est son ensemble de définition ? c . x2 + 3 En déduire les limites de f( x ) en + et en – . Montrer que la courbe de f admet la droite D d’équation y = x – 1 comme asymptote en + et en – . Calculer la dérivée de f. Montrer que f ’ s’écrit pour tout x : ( x − 1 )2 ( x2 + 2x + 9 ) f ’( x ) = 2 ( x2 + 3 ) En déduire les variations de f. Montrer qu’il existe un et un seul point A de la courbe de f notée C f tel que la tangente à C f en A soit parallèle à D. Tracer la courbe représentative de f dans le repère orthonormé suivant : 2. Mettre f sous la forme : f( x ) = ax + b + 3. 4. 5. 6. 7. 8. y 1 1 Page 33 x PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : ASSOCIATION DE GYMNASTIQUE Dans un village, l’association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000. Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année, elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. On note an le nombre d’adhérents pour l’année 2000 + n. 3. Déterminer a0 puis exprimer an+1 en fonction de an pour tout entier naturel n. 4. Soit (un) la suite définie par un = an – 120 pour tout entier naturel n. a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, an = 120 − 70 × 0,85n. c. Déterminer la limite de la suite (an) quand n tend vers l’infini. Interpréter ce résultat. 5. Chaque semaine, 60 % des adhérents s’inscrivent pour une heure de gymnastique et 40 % pour deux heures de gymnastique. a. Exprimer en fonction de n le nombre d’heure de gymnastique à prévoir par semaine pour l’an 2000 + n. b. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l’association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu’alors n doit vérifier l’inéquation 98 × 0,85n < 8. c. Résoudre cette inéquation et conclure. EXERCICE : ACHAT IMMOBILIER Pour un achat immobilier, lorsqu'une personne emprunte une somme de 50 000 euros, remboursables par n mensualités chacune égales à A euros, pour un intérêt mensuel de 0,4 %, le montant de cette mensualité est donné par : (on ne demande pas d'établir cette relation). 1. Calculer la mensualité A lorsque cette personne emprunte 50 000 euros remboursables par 120 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. On donnera une valeur arrondie au centième d'euro. Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt. 2. Mêmes questions avec un emprunt de 50 000 euros sur 8 ans à 0,4 % mensuel. 3. Afin de payer le moins d'intérêts possible, l'emprunteur doit augmenter le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il ne peut supporter au maximum que des remboursements de 950 euros par mois. a. Résoudre dans [0 ; + [ l'inéquation : 950 b. En déduire le nombre entier n minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité A est inférieur ou égal à 950 euros. Que vaut alors A arrondi au centime d'euro ? Calculer alors le montant total des intérêts. 4. Voici des extraits du tableau d'amortissement d'un prêt de 50 000 euros remboursable par 60 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. Calculer, en détaillant, les nombres a, b, c, d et e qui figurent dans le tableau. On donnera des valeurs arrondies au centime d'euro. N° de la mensualité 1 2 3 4 ... 59 60 Montant de la mensualité en euros 938,99 938,99 938,99 938,99 ... 938,99 938,99 Part des intérêts en euros pour cette mensualité 200 197,04 c 191,10 ... 7,47 3,74 Page 34 Capital amorti en euros 738,99 a d 747,89 ... 931,52 935,25 Capital restant à rembourser en euros 49 261,01 b e 47 026,26 ... 935,25 0 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX QCM Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ − 5 ; 5 ]. 2 Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (Cf) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (Cf). Le point de la courbe (Cf) d'abscisse − 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (Cf) passe par le point D (− 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (Cf) est parallèle à l'axe des abscisses. 1. On note f ’( 0 ) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur? a. f ’( 0 ) = 1 b. f ’( 0 ) = 2 c. f ’( 0 ) = 0 2. On note ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée ln( f ). Quel est l'ensemble de définition de la fonction g noté Dg ? 5 a. Dg = ] 0 ; [ b. Dg = [ − 5 ; 2 ] c. Dg = [ − 5 ; 2 [ 2 3. Quelle est la valeur de g( 0 ) ? a. g( 0 ) = 2 b. g( 0 ) = 0 c. g( 0 ) = ln (2) 4. On note g ' la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g ’( 1 ) ? a. g ’( 1 ) = e b. g ’( 1 ) = 0 5. Quelle est la limite de g( x ) quand x tend vers 2 ? b. lim g( x ) = 0 a. lim g( x ) = − x 2 x 2 Page 35 c. g ’( 1 ) = − 1 e2 c. lim g( x ) = + x 2 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : LA PART DU NUCLÉAIRE Le tableau suivant donne la production d’électricité d’origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kWh, entre 1979 et 2004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 1975. Année Rang de l’année xi Production yi 1979 4 37,9 1985 10 213,1 1990 15 297,9 1995 20 358,8 2000 25 395,2 2001 26 401,3 2002 27 416,5 2003 28 420,7 2004 29 427,7 Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous : 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Partie A : Recherche d’un ajustement affine 1. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième). 2. a. D’après cet ajustement, quelle serait la production d’électricité nucléaire en France en 2005 ? b. En réalité, en 2005, la production d’électricité nucléaire a été de 430 milliards de kWh. Calculer le pourcentage de l’erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,1 % près, lorsque l’on utilise la valeur fournie par l’ajustement affine. Partie B : Un autre modèle Compte tenu de l’allure du nuage de point, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d’électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de [4 ; + ∞[ par : f(x) = 197 ln x – 237. 1. Calculer la production d’électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l’année 2005. Quelle conclusion peut-on en tirer ? 2. a. Résoudre dans [4 ; + ∞[ l’inéquation f(x) ≥ 460. b. Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d’électricité dépassera 460 milliards de kWh ? Page 36 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : CLUB DE RUGBY Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de rugby de 2001 à 2006. Année Rang de l’année xi Nombre d’adhérents yi 2001 1 70 2002 2 90 2003 3 115 2004 4 140 2005 5 170 2006 6 220 On cherche à étudier l’évolution du nombre y d’adhérents en fonction du rang x de l’année. Partie A : Un ajustement affine 1. Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associés à la série (xi ; yi). 2. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (les coefficients seront arrondis à l’unité). 3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années à venir, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2007. Partie B : Un ajustement exponentiel On pose z = ln y. 1. Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième : xi zi 1 4,248 2 3 4 5 6 2. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. (les coefficients seront arrondis au millième). 3. En déduire une approximation du nombre d’adhérents y en fonction du rang x de l’année. 4. En prenant comme approximation et en supposant qu’elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2007. Partie C : Comparaison des ajustements En 2007, il y eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ? Justifier la réponse. Page 37 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX QCM (SUITE) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ − 5 ; 5 ]. 2 Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (Cf) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (Cf). Le point de la courbe (Cf) d'abscisse − 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (Cf) passe par le point D (− 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (Cf) est parallèle à l'axe des abscisses. 6. A quel intervalle appartient le réel I = a. [0 ; 3] b. [3 ; 6] ? c. [6 ; 9] 7. Parmi les trois courbes ci-après, l’une est la représentation graphique de la fonction dérivée f ’ de la fonction f. Laquelle ? a. La courbe (C1) b. La courbe (C2) c. La courbe (C3) 8. Parmi les trois courbes ci-après, l’une est la représentation graphique d’une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l’intervalle – . Laquelle ? a. La courbe (C1) b. La courbe (C2) c. La courbe (C3) Page 38 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : UNE PREMIÈRE ÉTUDE DE FONCTION On considère la fonction f définie sur ] − 1 ; + [ par : f( x ) = − 3x + 4 + 8 ln( x + 1 ) On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1. a. Calculer la limite de f en – 1. Donner l’interprétation graphique du résultat obtenu. b. Déterminer la limite de f en + . ln ( x + 1 ) (On pourra utiliser : lim = 0) x + x 2. a. On note f ’ la dérivée de f sur ] − 1 ; + [. 5 − 3x Démontrer que f ’( x ) = . x+1 b. Étudier le signe de f ’ et dresser le tableau de variation de f. On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de f sur ] − 1 ; + [. 5 ; + [. Démontrer que dans cet intervalle, l’équation f( x ) = 0 admet une 3 solution unique notée x0. Donner une valeur approchée de x0 à 10− 2 près. 3. On se place dans l’intervalle [ 4. a. Vérifier que la fonction F définie par : F( x ) = − 3 2 x − 4x + 8( x + 1 ) ln( x + 1 ) 2 est une primitive de f sur ] − 1 ; + [. b. Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 5 (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). Page 39 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : UNE DEUXIÈME ÉTUDE DE FONCTION Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ). 1. On considère la fonction g définie sur ] 0 ; + [ par : g( x ) = ln x + 2x2 − 3 Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous : x + + α 0 g(x) 0 − En utilisant une calculatrice, on a obtenu α 1,19. Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l’intervalle ] 0 ; + [. 2. On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : 2 ln x f( x ) = − + 2x − 5 x x On note C f la courbe représentative de f dans le repère (O ; i , j ). a. Déterminer la limite de la fonction f en 0. b. Déterminer la limite de la fonction f en + . 3. On note f ’ la dérivée de f sur ] 0 ; + [. a. Calculer f ’( x ) et montrer que pour tout réel x de l’intervalle ] 0 ; + [ on a : g( x ) f ’( x ) = 2 . x b. En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle ] 0 ; + [ et dresser son tableau de variation. c. Déterminer le signe de f( x ) pour tout réel x supérieur ou égal à e. 4. Soit h la fonction définie sur ] 0 ; + [ par h( x ) = (ln x)2. a. Calculer la dérivée h’ de h. b. En remarquant que pour tout x de l’intervalle ] 0 ; + [, on a : 2 1 f( x ) = − h’( x ) + 2x − 5 x 2 trouver une primitive F de la fonction f sur l’intervalle ] 0 ; + [. c. Déterminer l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = e et x = e2 (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). Page 40 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX EXERCICE : SEXE ET COULEUR DES YEUX Une population est constituée de 100 personnes (40 hommes et 60 femmes), telles que : 50 personnes ont les yeux bleus ; 60 % des hommes ont les yeux bleus. On choisit au hasard une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. Calculer, sous forme de fractions irréductibles, les probabilités des évènements suivants : A : « Avoir choisi un homme » ; B : « Avoir choisi un homme aux yeux bleus » ; C : « Avoir choisi une femme aux yeux bleus » ; D : « Avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c’est une femme » ; E : « Avoir choisi une femme, sachant que c’est une personne ayant les yeux bleus ». EXERCICE : LOTERIE Au cours d’une quinzaine commerciale, un magasin offre un billet de loterie à tout acheteur d’un appareil électroménager. Les 500 billets sont numérotés de 001 à 500 et ils sont tous distribués. A la fin de la quinzaine, on effectue un tirage au sort, à l’issue duquel : le numéro 397 gagne 10 000 € ; les autres numéros se terminant par 97 gagnent chacun 1 000 € ; les autres numéros se terminant par 7 gagnent chacun 100 €. Après l’achat d’un appareil, une personne tire un billet au hasard. 1. On s’intéresse à la loi de probabilité du gain. a. Combien de numéros sont-ils gagnants ? b. Préciser les valeurs possibles du gain. c. Déterminer la loi de probabilité du gain. d. Calculer le gain moyen qu’on puisse espérer à cette loterie. 2. Le magasin annonce dans sa publicité : « pour doubler vos chances d’avoir au moins un billet gagnant, achetez deux appareils ! ». Le premier client achète deux appareils et tire deux billets au hasard. a. On considère l’évènement C : « aucun des deux numéros n’est gagnant ». Calculer la probabilité p(C). b. En déduire la probabilité pour qu’un numéro au moins soit gagnant. c. Cette annonce publicitaire est-elle correcte ? Justifier la réponse par le calcul. EXERCICE : TIR AU BUT Jean s’amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but. Au vu des résultats obtenus au cours de l’année, on admet que : la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égale à 0,8 ; s’il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,7 ; s’il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,5. On note R1 l’évènement « le premier tir au but est réussi » et R2 l’évènement « le second tir au but est réussi ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré. 2. Calculer la probabilité que les deux tirs soient réussis. 3. a. Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi. b. Les évènements R1 et R2 sont-ils indépendants. Justifier la réponse. 4. On note A l’évènement « Jean a réussi exactement un tir au but ». Montrer que p(A)=0,34. Page 41 PRÉPARATION DU DAEU PAR LE CNED − MATHÉMATIQUES FACULTÉ JEAN MONNET DE SCEAUX PROBLÈME : UNE ÉTUDE DE FONCTION Les parties A et B sont indépendantes. PARTIE A On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + [ par : où a et b sont deux réels. On désigne par f ’ la fonction dérivée de f sur [ 0 ; + [ et on note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. 1. On sait que C passe par le point E(0 ; 1) et qu’elle admet au point d’abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f(0) et f ’(0). 2. Vérifier que . 3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b. PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur [ 0 ; + [ par : 1. a. Vérifier que pour tout x de [ 0 ; + [ , . b. Déterminer la limite de la fonction f en + c. En déduire que C possède une asymptote dont on précisera une équation. 2. a. Calculer f ’(x). b. Étudier le signe de f ’(x) sur [ 0 ; + [ puis dresser le tableau de variation complet de f. 3. a. Montrer que l’équation f(x) = 0,5 possède une unique solution dans l’intervalle [ 0 ; 4 ]. b. Déterminer un encadrement de à 10-3 près. 4. On considère la fonction g définie sur [ 0 ; + [ par : Montrer que g est une primitive de f sur [ 0 ; + [. 5. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [ 0 ; 4 ]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat. PARTIE C Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de [ 0 ; 4 ]. Le prix de revient d’une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l’expression : 1. Combien coûte, en moyenne, à l’euro près, la production de 4 000 pièces ? 2. A partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d’une pièce est-il inférieur à 0,5 euros ? Page 42
