1) Relations metriques et trigonometriques

Exposé 38 : Relations metriques et triginometriques dans un triangle quelconque.
Applications.
Niveau : 1
ere
S
Pre requis :
- Dans un triangle ABC,
ˆ ˆ
ˆ
A B C
π
+ + =
- Produit scalaire
- Relation trigonometrique
- Projection orthogonale
- Theoreme de l’angle inscrit
On se place dans un plan affine euclidien
℘
( pas neccessairement orienté)
Soit ABC un triangle non aplati.
ˆ ˆ
ˆ
, ,
A B C
les mesures dans
]
[
0,
π
des angles non orientés
opposés aux cotés
[
]
[
]
[
]
, , , , ,
B C A C A B
.
1) Relations metriques et trigonometriques
a) Formule d’AL-KASHI
Theoreme 1:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆ
2 .cos( )
ˆ
2 .cos( )
ˆ
2 .cos( )
a b c bc A
b c a ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
Preuve :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
ˆ
( ) ( ) 2 .
2 .cos( , )
A
a BC BA AC AC AB AC AB AB AC
a b c cb AB AC
= = + = − = + −
= + −
Une preuve similaire pour les autres egalités.
Theoreme : (de pythagore)
ABC est rectangle en A
⇔
2 2 2
a b c
= +
Remarque :
2 2 2
1
. ( )
2
AB AC b c a
= + −
B
A
C
a
c
b
Â
B
^
C
^

b) Inegalité triangulaire
Le theoreme 1 implique
2 2 2
ˆ
cos( )
2
b c a
A
bc
+ −
=
Or
]
[
ˆ
0,
A
π
∈ donc
2 2 2
1 1
2
b c a
bc
+ −
− < <
2 2 2
2 2
0 2 2
. ( ) ( )
bc bc b c a bc
i e b c a b c
> ⇒ − < + − <
− < < +
D’où
b c a b c
− < < +
Remarque : c’est une preuve que A,B,C aligné
⇔
ABC triangle aplati
c) Formule de la mediane
On note H le pied de la hauteur issue de M
On note I le milieu de [AB]
Theroeme de la mediane :
Soient
A
et
B
deux points distincts du plan.
Alors pour tout point M du plan, on a :
1)
2
2
.
4
AB
MA MB MI = −
2)
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MI + = +
3)
2 2
2 . 2 .
MA MB IM AB IH AB
− = =
Preuve :
1)
2
0
. ( ).( ) .( ) .
MA MB MI IA MI IB MI MI IA IB IA IB
= + + = + + +
2
2 2 2
.
4
AB
MA MB MI IA MI = − = −
2)
2 2 2 2
( ) ( )
MA MB MI IA MI IB
+ = + + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 .( ) 2 2
MA MB MI MI IA IB IA IB MI IA
+ = + + + + = +
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MI+ = +
3)
2 2 2 2
( ) ( )
MA MB MI IA MI IB
− = + − +
2 2 2 2 2 2
2 . 2 .
MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB
− = + + − − −
2 2
2 .( ) 2 . 2 . 2 .
MA MB MI IA IB MI BA IM AB IH AB
− = − = = =
M
B
H
A
I

Consequence :
a)
ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de
diametre [BC].
b)
ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la mediane issue de A
est la hauteur issue de A.
A
B C
I
A
BC
I=H
Demonstration :
a) ABC rectangle en A
⇔
2 2 2
AB AC BC
+ =
⇔
2 2
1
2
2
AI BC
= car
2
2 2 2
2
2
BC
AB AC AI+ = +
⇔
2 2
4 2
BC AI BC AI
= ⇔ =
⇔
( )
A C I
∈
de diametre [BC]
b)
ABC isocele en A
⇔
2 2
0
AB AC AB AC
= ⇔ − =
⇔
2 . 0 . 0
IH BC IH BC I H
= ⇔ = ⇔ =
d) Formule des sinus
Theoreme : Soit S la surface du triangle ABC. On a
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
sin( ) sin( ) sin( )
2 2 2
S bc A ac B ab C
= = =
Preuve : 1
er
cas : si
ˆ
C
est aigu
1
2
S BC AH
= ×
Or ˆ
sin( )
AH
C
AC
=d’où 1
ˆ
sin( )
2
S BC AC C
= × ×
2
e
cas : si
ˆ
C
est obtu
1
2
S BC AH
= ×
Or
ˆ
sin( ) sin( ) sin( )
AH
C HAC HAC
AC
π = − = =
D’où 1
ˆ
sin( )
2
S BC AC C
= × ×
De meme pour les autres angles.
A
B
H
C

Theoreme :
2
ˆ ˆ ˆ 2
sin( )
sin( ) sin( )
a b c abc
R
S
B
A C
= = = = où R est le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABC.
Preuve :
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
sin( ) sin( ) sin( )
2 2 2
S bc A ac B ab C
= = =
Donc
ˆ ˆ
ˆ
2 sin( ) sin( ) sin( )
S A B C
abc a b c
= = =
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
( ) 2 .
2 2 cos( , )
ˆ
² 2 (1 cos 2 ) ( ' )
² 4 sin
a BC BO OC BO OC BO OC
a R R OB OC
a R A theo de l angle inscrit
a R A
= = + = + +
= −
= −
=
D’où 2
ˆ
sin
a
R
A
=
Corollaire :
4
abc RS
=
e) Formule de Héron
Theoreme : Soit p le demi perimetre du troangle ABC i.e 2
p a b c
= + +
Alors
( )( )( )
S p p a p b p c
= − − −
Preuve :
2 2 2
ˆ
cos
2
b c a
A
bc
+ −
=
( )( )
ˆ
1 cos
2
b c a a b c
A
bc
+ − + −
+ =
( ( ))( )
ˆ
1 cos
2
a b c a b c
A
bc
− − + −
− =
Or 2 2
2 2
4 ( )( )( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
p p a p b p c
A A A A
b c
− − −
= − = + − =
Par la formule des sinus, on obtient
2
2
2 2
4
ˆ
sin
S
A
b c
=
D’où 2
( )( )( )
S p p a p b p c
= − − −
f) Cercle inscrit
Theoreme : Dans ABC, on a
S pr
=
où
r
est le rayon du cercle inscrit dans ABC

Consequence :
( )( )( )
p a p b p c
rp
− − −
=
2) Relations trigonometrique
Proprietes : Avec les notations precedentes :
1)
ˆ ˆ
ˆ
sin sin sin
2
a b c p
A B C
R R
+ +
+ + = =
2)
3 3
4
ˆ ˆ
ˆ
sin .sin .
8 8 2 ²
abc RS S
A B sinC
R R R
= = =
3)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
+ + =
Preuve
1)
Avec la formule des sinus
2)
3 3
4
ˆ ˆ
ˆ
sin .sin . . .
2 2 2 8 8 2 ²
or
a b c abc RS S
A B sinC
R R R R R R
= = = =
3)
ˆ ˆ
ˆ
A B C
π
+ + =
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
tan( ) tan( ) tan( )
ˆˆ
tan tan ˆ
tan( )
ˆˆ
1 tan tan
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
tan tan tan tan tan tan
A B C
A B C C
A B C
A B
A B C A B C
π
π
+ = −
+ = − = −
+= −
−
+ = − +
(pour les angles non plat non droit)
3) Applications
a) Puits de petrole
ON construit un puit de petrole
A 530m du coin A du champ, a 210 M du coin C opposé, a 105m du coin B
A quelle distance se trouve-t-il du 4
e
coin ?
PD= ?
Resolution :formule de la mediane,
b) Carrés autour d’un triangle
On considere un triangne ABC. On construit les carres ABEF et ACGH exterieurement au
triangle.(plutot dire comme sur la figure » sinon le jury va tiquer sur exterieur)
Montrer que FC=BH