1) Relations metriques et trigonometriques

Exposé 38 : Relations metriques et triginometriques dans un triangle quelconque.
Applications.
Niveau : 1ere S
Pre requis :
- Dans un triangle ABC, Aˆ + Bˆ + Cˆ = π
- Produit scalaire
- Relation trigonometrique
- Projection orthogonale
- Theoreme de l’angle inscrit
On se place dans un plan affine euclidien ℘ ( pas neccessairement orienté)
Soit ABC un triangle non aplati. Aˆ , Bˆ , Cˆ les mesures dans ]0, π [ des angles non orientés
opposés aux cotés [ B, C ] , [ A, C ] , [ A, B ] .
1) Relations metriques et trigonometriques
a) Formule d’AL-KASHI
A
c
Theoreme 1:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos( Aˆ )
b 2 = c 2 + a 2 − 2ac.cos( Bˆ )
B
^
B
Â
b
^
C
a
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos(Cˆ )
Preuve :
a 2 = BC 2 = ( BA + AC ) 2 = ( AC − AB)2 = AC 2 + AB 2 − 2 AB. AC
a 2 = b 2 + c 2 − 2cb.cos( AB
, AC
)
Aˆ
Une preuve similaire pour les autres egalités.
Theoreme : (de pythagore)
ABC est rectangle en A ⇔ a 2 = b 2 + c 2
1
Remarque : AB. AC = (b 2 + c 2 − a 2 )
2
C
b) Inegalité triangulaire
b2 + c2 − a 2
ˆ
Le theoreme 1 implique cos( A) =
2bc
2
2
2
b +c −a
<1
Or Aˆ ∈ ]0, π [ donc −1 <
2bc
bc > 0 ⇒ −2bc < b 2 + c 2 − a 2 < 2bc
i.e (b − c) 2 < a < (b + c) 2
D’où
b−c < a < b+c
Remarque : c’est une preuve que A,B,C aligné ⇔ ABC triangle aplati
c) Formule de la mediane
M
On note H le pied de la hauteur issue de M
On note I le milieu de [AB]
Theroeme de la mediane :
Soient A et B deux points distincts du plan.
Alors pour tout point M du plan, on a :
AB 2
1) MA.MB = MI 2 −
4
AB 2
2) MA2 + MB 2 = 2 MI 2 +
2 2
2
3) MA − MB = 2 IM . AB = 2 IH . AB
B
A
H
I
Preuve :
1) MA.MB = ( MI + IA).( MI + IB ) = MI 2 + MI .( IA + IB ) + IA.IB
0
AB
MA.MB = MI 2 − IA2 = MI 2 −
4
2 2
2
2
2) MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB )
MA2 + MB 2 = 2 MI 2 + 2 MI .( IA + IB ) + IA2 + IB 2 = 2 MI 2 + 2 IA2
2
AB 2
MA2 + MB 2 = 2 MI 2 +
2
2 2
2
2
3) MA − MB = ( MI + IA) − ( MI + IB )
MA2 − MB 2 = MI 2 + IA2 + 2MI .IA − MI 2 − IB 2 − 2 MI .IB
MA2 − MB 2 = 2 MI .( IA − IB ) = 2 MI .BA = 2 IM . AB = 2 IH . AB
Consequence :
a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de
diametre [BC].
b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la mediane issue de A
est la hauteur issue de A.
A
A
B
C
I
B
C
I=H
Demonstration :
a) ABC rectangle en A ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2
1
BC 2
2
2
2
2
2
⇔ 2 AI = BC car AB + AC = 2 AI +
2
2
2
2
⇔ BC = 4 AI ⇔ BC = 2 AI
⇔ A ∈ C ( I ) de diametre [BC]
b) ABC isocele en A ⇔ AB = AC ⇔ AB 2 − AC 2 = 0
⇔ 2 IH .BC = 0 ⇔ IH .BC = 0 ⇔ I = H
d) Formule des sinus
Theoreme : Soit S la surface du triangle ABC. On a
1
1
1
S = bc sin( Aˆ ) = ac sin( Bˆ ) = ab sin(Cˆ )
2
2
2
Preuve : 1er cas : si Ĉ est aigu
A
1
BC × AH
2
AH
1
Or sin(Cˆ ) =
d’où S = BC × AC × sin(Cˆ )
AC
2
S=
B
C
H
2e cas : si Ĉ est obtu
S=
1
BC × AH
2
) = sin( HAC
) = AH
Or sin(Cˆ ) = sin(π − HAC
AC
1
D’où S = BC × AC × sin(Cˆ )
2
De meme pour les autres angles.
Theoreme :
a
b
c
abc
=
=
=
= 2 R où R est le rayon du cercle circonscrit au
sin( Aˆ ) sin( Bˆ ) sin(Cˆ ) 2 S
triangle ABC.
Preuve :
1
1
1
S = bc sin( Aˆ ) = ac sin( Bˆ ) = ab sin(Cˆ )
2
2
2
ˆ
2 S sin( A) sin( Bˆ ) sin(Cˆ )
Donc
=
=
=
abc
a
b
c
2
2
2
2
a = BC = ( BO + OC ) = BO + OC 2 + 2 BO.OC
a 2 = 2 R 2 − 2 R 2 cos(OB, OC )
a ² = 2 R 2 (1 − cos 2 Aˆ )
(theo de l ' angle inscrit )
a ² = 4 R 2 sin 2 A
a
D’où 2 R =
sin Aˆ
Corollaire :
abc = 4 RS
e) Formule de Héron
Theoreme : Soit p le demi perimetre du troangle ABC i.e 2 p = a + b + c
Alors S =
p ( p − a )( p − b)( p − c)
Preuve :
b2 + c2 − a 2
cos Aˆ =
2bc
(b + c − a )(a + b − c)
1 + cos Aˆ =
2bc
(
a
−
(
b
−
c))(a + b − c)
1 − cos Aˆ =
2bc
4 p ( p − a )( p − b)( p − c)
Or sin 2 Aˆ = 1 − cos 2 Aˆ = (1 + cos Aˆ )(1 − cos Aˆ ) =
b 2c 2
4S 2
Par la formule des sinus, on obtient sin 2 Aˆ = 2 2
bc
2
D’où S = p ( p − a )( p − b)( p − c)
f) Cercle inscrit
Theoreme : Dans ABC, on a S = pr où r est le rayon du cercle inscrit dans ABC
Consequence : r =
( p − a )( p − b)( p − c)
p
2) Relations trigonometrique
Proprietes : Avec les notations precedentes :
a+b+c p
=
1) sin Aˆ + sin Bˆ + sin Cˆ =
2R
R
abc 4 RS
S
=
2) sin Aˆ .sin Bˆ .sinCˆ = 3 =
3
8R
8R
2R²
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3) tan A + tan B + tan C = tan A.tan Bˆ .tan Cˆ
Preuve
1) Avec la formule des sinus
or
a b c
abc 4 RS
S
ˆ
ˆ
ˆ
= 3= 3 =
. .
2) sin A.sin B.sinC =
2 R 2 R 2 R 8R 8R
2 R²
ˆ
ˆ
ˆ
3) A + B + C = π
Aˆ + Bˆ = π − Cˆ
tan( Aˆ + Bˆ ) = tan(π − Cˆ ) = − tan(Cˆ )
(pour les angles non plat non droit)
tan Aˆ + tan Bˆ
ˆ
= − tan(C )
1 − tan Aˆ tan Bˆ
tan Aˆ + tan Bˆ = − tan Cˆ + tan Aˆ tan Bˆ tan Cˆ
3) Applications
a) Puits de petrole
ON construit un puit de petrole
A 530m du coin A du champ, a 210 M du coin C opposé, a 105m du coin B
A quelle distance se trouve-t-il du 4e coin ?
PD= ?
Resolution :formule de la mediane,
b) Carrés autour d’un triangle
On considere un triangne ABC. On construit les carres ABEF et ACGH exterieurement au
triangle.(plutot dire comme sur la figure » sinon le jury va tiquer sur exterieur)
Montrer que FC=BH