Corrigé des exercices régimes transitoires

Corrigé des exercices régimes transitoires
Exercice 1
1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés ci-dessous :
Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0.
Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0.
L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 Ω
D'après la loi des mailles :
U=Ri tuCt
La loi d'Ohm pour la capacité s'écrit :
it=C
d uCt
dt
Finalement
U=R C
d uCt
dt uCt
L'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 Ω
D'après la loi des noeuds :
I=iCtiRt
D'après les lois d'Ohm pour la résistance et la
capacité :
iRt= uCt
R
et
iCt=C
d uCt
dt
Finalement
I=uCt
RC
d uCt
dt
L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 Ω
D'après la loi des mailles :
U=Ri tuLt
La loi d'Ohm pour l'inductance s'écrit :
uLt= Ld i t
dt
Finalement
U=R i tLd i t
dt
L'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 Ω
D'après la loi des noeuds :
I=iLtiRt
D'après les lois d'Ohm pour la résistance et
l'inductance :
iRt= uLt
R
et
uLt= L
d i Lt
dt
Finalement
I=iL(t)+ L
R
d i L(t)
dt
2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit.
La méthode consiste à « arranger » l'équation différentielle pour que le terme multipliant la fonction soit égal
à 1 : le terme multipliant la dérivée est alors égal à la constante de temps.
Équation initiale :
U=R C d uC(t)
dt +uC(t)
La forme de cette équation permet déjà de
déterminer la constante de temps :
τ=R C
Équation initiale :
I=uC(t)
R+Cd uC(t) dt
Toute l'équation doit être multipliée par R ce qui
donne
I=uCt RC
d uCt
dt
soit
= RC
Équation initiale :
U=R i (t)+Ld i (t)
dt
Toute l'équation doit être divisée par R ce qui donne
Équation initiale :
I=iLt L
R
d i Lt
dt
La forme de cette équation permet déjà de
Corrigé des exercices régimes transitoires Page 1 sur 12 TS2 ET 2014-2015

U
R=i(t)+ L R
d i (t)
dt
soit
= L
R
déterminer la constante de temps :
τ= L
R
3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs
proposées.
Cela revient à prévoir le comportement de chaque montage en continu.
Le condensateur se charge jusqu'à U soit uc(t) égal à
200 V en régime établi.
La capacité en continu se comporte comme un circuit
ouvert. En régime établi, tout le courant I passe dans
la résistance R, la tension aux bornes de la capacité
est donc égale à 200 V.
En continu, l'inductance se comporte comme un
court-circuit. Le courant en régime établi sera donc
égal à 5 A (loi d'Ohm pour la résistance).
L'inductance est un court-circuit en continu, tout le
courant I passera donc par L en régime établi ce qui
donne iL(t) = 15 A.
Remarque : dans tous les cas étudiés ci-dessus, la dérivée est nulle en régime établi (car la grandeur est
constante). Les équations différentielles se simplifient en :
U=uC(t)
I=uC(t)
R
U=R i (t)
I=iL(t)
Exercice 2
Déterminer graphiquement les constantes de temps
des dispositifs dont les réponses indicielles sont
représentées ci-contre et ci-dessous.
Il y a deux méthodes :
•la tangente à l'origine
•63 % du régime établi
t = 30 ms
t = 250 ms t = 50 s
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Régime établi
6,3
Tangente à l'origine
63% du régime établi 100% du régime
établi

Exercice 3
1. La constante de temps du circuit ci-contre s'écrit :
=R
C
=C
R
=RC
= 1
RC
2. La constante de temps du circuit ci-contre s'écrit :
= R
L
= L
R
=RL
= 1
RL
3. Pour le dispositif représenté ci-contre, l'intensité en régime
établi est égale à :
10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance
L'inductance se comporte comme un court-circuit en continu.
U = 200 V et R = 20 Ω
4. Pour le dispositif représenté ci-contre, l'intensité en régime
établi est égale à :
1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer
La capacité se comporte comme un circuit ouvert en continu.
U = 30 V et R = 1 Ω
5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes
ci-dessous et ceux de la page suivante, lequel peut
correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la
résistance ?
U = 20 V, R = 10 Ω et L = 100 mH.
La constante de temps est égale à
= L
R=0,1 10 =10 ms
En régime établi, le courant sera égal à 2 A, la tension aux bornes de la résistance sera donc égale à 20 V.
a.
Incompatible avec la constante de temps.
b.
Incompatible avec le régime établi.
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c.
Compatible avec la constante de temps et le régime
établi.
d.
Incompatible avec le régime établi.
Exercice 4
On considère le montage ci-contre.
1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t),
u(t), R et L.
D'après la loi des mailles et les lois d'Ohm pour la résistance et
l'inductance
ut=R i tLd i t
dt
2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction
de R et L.
En divisant l'équation par R, on obtient
ut
R=it L R
d i t
dt
donc
= L
R
La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif.
3. Quelle est la valeur de i(t) en régime établi ?
Sur le graphe ci-dessous à droite, le courant atteint 25 A en régime établi.
4. La solution de l'équation différentielle est de la forme
it=Ae
−t
B
a. Quelle est la valeur de B ?
Lorsque t tend vers l'infini alors i(t) tend vers B qui
correspond donc au régime établi : B = 25 (en ampères)
it=Ae
−t
25
b. Déterminer la constante A à partir des conditions
initiales.
Pour t = 0, i(0) = 0 d'après le graphique.
D'après l'équation
i0= Ae
−t
25=Ae
−0
=A25
donc
0=A25
soit A = - 25.
5. Le graphe ci-contre représente l'évolution de i(t).
Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L.
La constante de temps est égale à 10 ms en prenant l'instant pour lequel la réponse atteint 63% du régime
établi. Comme la tension aux bornes du circuit est égale à 100 V et que le courant en régime établi est égal à
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100%
63%

25 A alors la résistance est égale à 4 W.
La relation
= L
R
donne
L=R.=4.10. 10−3=40 mH
Exercice 5 Variation du couple résistant sur l’arbre d’un moteur à courant continu
Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale
à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l’arbre présente un couple résistant de moment noté Cr.
Caractéristiques du moteur :
Résistance de l’induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l’inductance de l’induit est négligée.
Le groupe tournant présente un moment d’inertie J = 0,28 kg.m².
1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation
entre I (intensité du courant dans l’induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W.
Relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation :
∑Cm∑Cr=Jd
dt
Ici
∑Cm=KI
et
∑Cr=Cr
donc
KICr=Jd
dt
2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W.
Le schéma équivalent fait apparaître la fém E = KFW en série avec la résistance R, d'après la loi des mailles :
U=K R I
3. Déduire des deux relations précédentes l’équation différentielle reliant W (et
dt
dt
) avec Cr et les
éléments caractéristiques du moteur et de la charge.
La deuxième équation permet d'écrire :
I=U−K
R
. En remplaçant I de la première équation par
cette expression, on obtient :
KU−K
RCr=Jd dt
4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m.
En régime établi, la vitesse de rotation est constante donc
d
dt =0
, l'équation précédente devient :
KU−K
RCr=0
d'où
= U
K−R Cr
K2
•pour Cr = Cr1 = 6 N.m :
= 220
1,6 −4.6
1,62=128 rad/s
•pour Cr = Cr2 = 10 N.m :
= 220
1,6 −4.10
1,62=122 rad/s
À l’instant t = 0, le moment du couple résistant passe de Cr1 à Cr2. La solution de l’équation différentielle de
la question 3 est de la forme
 t= Ae
−t
B
.
5. Déterminer la constante de temps t à partir de l’équation différentielle.
On développe l'équation
KU−K
RCr=Jd dt
ce qui donne
KU
R−K2 RCr=Jd dt
.
Le terme ne dépendant ni de W ni de sa dérivée est isolé :
KU
RCr=K2 RJd dt
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