Seconde - Cours

Trigonométrie – Classe de Seconde
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Trigonométrie
1. Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
 Le cercle trigonométrique
Définition. Le plan est muni d’un repère orthonormé 
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre , de rayon
, orienté dans le sens indiqué par la flèche (appelé sens
direct), c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une
montre.
 Principe de l’enroulement
On trace la tangente en  au cercle trigonométrique  et on munit cette droite du repère 
avec      : elle représente la droite des réels.
On enroule cette droite des réels autour du cercle  : la demi-droite  s’enroule dans le
sens direct et la demi-droite   s’enroule dans le sens indirect.
Propriété. Tout point  d’abscisse  de la droite des réels vient se superposer à un point
 du cercle , et on associe ainsi à tout réel  un unique point  du cercle
trigonométrique appelé image de  sur .
Réciproquement, tout point  du cercle  est l’image d’un réel  ; il est alors aussi l’image
des réels  ,  , …,  ,  , … On dit que  est une abscisse curviligne
de  ou encore que  est associé à .
Le début de l’enroulement de la demi-droite 
Exemple
Le nombre
vient se superposer à . En effet puisque le cercle trigonométrique a pour
rayon 1, son périmètre vaut et la longueur de l’arc (un quart de cercle) vaut .
Les autres nombres venant se superposer à
sont
, , …, , , …

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Remarque. Lorsque l’abscisse  du point  appartient à l’intervalle , elle est égale à
la longueur de l’arc de cercle d’origine  et d’extrémité le point .
Définition. Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en
radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte
sur un cercle de rayon 1.
On a ainsi une nouvelle unité de mesure d’angle dans laquelle  !  "#$%
puisque la longueur du demi-cercle trigonométrique est .
Par proportionnalité, voici les valeurs à connaître.
Degré
!
&
!
'
!
(
!
)
!
!
Radians
"
#$%
*
"
#$%
"
#$%
"
#$%
"
#$%
"
#$%
Exemple
On considère le cercle trigonométrique. Les triangles
+
et
sont des triangles équilatéraux et
,-
est un carré. La
diagonale de ce carré coupe le cercle en ., la hauteur issue
de  dans le rectangle + coupe le cercle en /.
Trouver un réel associé à chacun des points +./ et  du
cercle par l’enroulement de la droite sur le cercle.
Réponse.
 Le triangle + est équilatéral, l’angle +
0 a une
mesure de (!. Or (! 
1
2 !, donc l’arc + a
pour longueur
1
2  (+
0
"#$%. Donc + a pour abscisse curviligne .
 On a .
0  0. 0 )!'!  &'!. Or &'! 
2 !, donc la longueur
de l’arc . est . Le point . a pour abscisse curviligne" .
 L’angle /
0 mesure &!, donc l’arc / a pour longueur la moitié de l’arc +. Le
point / a donc pour abscisse curviligne
1
2
*
.
 La longueur de l’arc est également mais puisqu’on tourne dans le sens indirect,
le point a pour abscisse curviligne , mais aussi .
2. Cosinus et sinus d’un nombre réel
On considère le cercle trigonométrique associé au repère  et la droite des réels,
tangente au cercle en .
Définition. On considère un réel  et  le point d’abscisse curviligne .
On appelle cosinus de  l’abscisse de 3 et sinus de  est l’ordonnée de M.

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Théorème.
1. Pour tout réel , on a
4
567
4
et
4
789
4
2. Pour tout réel , on a
567
789
.
Démonstration.
1. Cela provient simplement du fait que le cercle trigonométrique est de rayon  et que
par conséquent l’abscisse et l’ordonnées de tout point situé sur ce cercle est comprise
entre  et .
2. La distance  vaut 1 puisque c’est le rayon du cercle trigonométrique. D’autre part
les coordonnées de  sont (0 ;0) et celle de  sont 567789"Donc d’après la
formule qui donne la distance entre deux points dans un repère orthonormé, on a
567  789   , d’où le résultat. :
Exemple
On considère un réel
appartenant à l’intervalle
;
<
tel que
567
.
1. Placer le point d’abscisse curviligne sur le cercle trigonométrique.
2. Calculer la valeur exacte de 789.
Réponse.
1. Puisque  = ; <, le point  appartient au deuxième quadrant.
On place le point de coordonnées > ?
puis on construit la perpendiculaire à 
passant par ce point. L’intersection de cette
droite avec deuxième quadrant est .
2. D’après le théorème, on a
567
789
donc 789  567 puis
789
 @&
'A
(
'  @ 'A
d’où l’on déduit que
789
ou
789
Or comme est situé dans le deuxième quadrant, on a
789
B
, donc
789

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 Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle
Si  C  C , alors 567 B  et 789 B , donc -  567 et /  789 (avec les
notations de la figure précédente).
Or dans le triangle rectangle -, on a
567-
D-
 -  -  567
et
789-
D-
 /  /  /  789""
Donc 567
D 567 et 789 D 789.
Les définitions du cosinus et du sinus d’un réel quelconque données dans ce chapitre sont
cohérentes avec les définitions vues au collège du cosinus et du sinus d’un angle aigu dans un
triangle rectangle.
 Valeurs remarquables du sinus et cosinus
À partir des valeurs remarquables inscrites sur le premier quadrant ci-dessous, on peut
facilement calculer les valeurs cosinus et sinus des multiples de , et
*
par des
considérations géométriques.
E
(
&
FGH
"
E
I
&
I
HJK
"
E
I
I
&
Remarque. Les seules valeurs à retenir véritablement par cœur sont
1
I
et
I
. Tout le reste
se retrouve.