Seconde - Cours

Trigonométrie
1.
Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique
Définition. Le plan est muni d’un repère orthonormé ; , .
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre , de rayon
1, orienté dans le sens indiqué par la flèche (appelé sens
direct), c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une
montre.
Principe de l’enroulement
On trace la tangente en au cercle trigonométrique et on munit cette droite du repère ,
avec
=
= 1 : elle représente la droite des réels.
On enroule cette droite des réels autour du cercle : la demi-droite [
s’enroule dans le
s’enroule dans le sens indirect.
sens direct et la demi-droite [
Propriété. Tout point
d’abscisse de la droite des réels vient se superposer à un point
du cercle , et on associe ainsi à tout réel
un unique point
du cercle
trigonométrique appelé image de sur .
Réciproquement, tout point du cercle est l’image d’un réel ′ ; il est alors aussi l’image
des réels + 2 , + 4 , …, − 2 , − 4 , … On dit que ′ est une abscisse curviligne
de ou encore que est associé à .
Le début de l’enroulement de la demi-droite [
Exemple
Le nombre
vient se superposer à . En effet puisque le cercle trigonométrique a pour
rayon 1, son périmètre vaut 2 et la longueur de l’arc (un quart de cercle) vaut
Les autres nombres venant se superposer à sont
+ 2 = , + 4 = , …, − 2 = − , − 4 = − , …
Trigonométrie – Classe de Seconde
= .
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Remarque. Lorsque l’abscisse du point appartient à l’intervalle [0; 2 [, elle est égale à
la longueur de l’arc de cercle d’origine et d’extrémité le point
.
Définition. Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en
radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte
sur un cercle de rayon 1.
On a ainsi une nouvelle unité de mesure d’angle dans laquelle 180° =
puisque la longueur du demi-cercle trigonométrique est .
rad
Par proportionnalité, voici les valeurs à connaître.
0°
0 rad
Degré
Radians
30°
rad
*
45°
rad
60°
rad
90°
rad
180°
rad
Exemple
On considère le cercle trigonométrique. Les triangles + et
sont des triangles équilatéraux et ,- est un carré. La
diagonale de ce carré coupe le cercle en ., la hauteur issue
de dans le rectangle + coupe le cercle en /.
Trouver un réel associé à chacun des points +, ., / et du
cercle par l’enroulement de la droite sur le cercle.
Réponse.
Le triangle
+ est équilatéral, l’angle 0+ a une
1
mesure de 60°. Or 60° = × 180°, donc l’arc + a
1
pour longueur × = ( 0+ = rad . Donc + a pour abscisse curviligne .
On a 0. = 0 + 0. = 90° + 45° = 135°. Or 135° = × 180°, donc la longueur
de l’arc . est . Le point . a pour abscisse curviligne .
L’angle 0/ mesure 30°, donc l’arc / a pour longueur la moitié de l’arc +. Le
1
point / a donc pour abscisse curviligne × = * .
La longueur de l’arc
le point
2.
est également
mais puisqu’on tourne dans le sens indirect,
a pour abscisse curviligne − , mais aussi − + 2 =
.
Cosinus et sinus d’un nombre réel
On considère le cercle trigonométrique associé au repère
tangente au cercle en .
; ,
et la droite des réels,
Définition. On considère un réel et le point d’abscisse curviligne .
On appelle cosinus de l’abscisse de M et sinus de est l’ordonnée de M.
Trigonométrie – Classe de Seconde
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Théorème.
1. Pour tout réel , on a −1 ≤ cos ≤ 1 et −1 ≤ sin
2. Pour tout réel , on a cos
+ sin
= 1.
≤ 1.
Démonstration.
1. Cela provient simplement du fait que le cercle trigonométrique est de rayon 1 et que
par conséquent l’abscisse et l’ordonnées de tout point situé sur ce cercle est comprise
entre −1 et 1.
vaut 1 puisque c’est le rayon du cercle trigonométrique. D’autre part
2. La distance
les coordonnées de
sont (0 ;0) et celle de
sont cos ; sin . Donc d’après la
formule qui donne la distance entre deux points dans un repère orthonormé, on a
= cos − 0 + sin − 0 , d’où le résultat. ∎
Exemple
On considère un réel appartenant à l’intervalle ; ; < tel que cos = − .
1. Placer le point d’abscisse curviligne sur le cercle trigonométrique.
2. Calculer la valeur exacte de sin .
Réponse.
1. Puisque
∈ ; ; <, le point
appartient au deuxième quadrant.
On place le point de coordonnées >− ; 0?
puis on construit la perpendiculaire à
passant par ce point. L’intersection de cette
droite avec deuxième quadrant est .
2. D’après le théorème, on a
cos
+ sin
= 1,
donc sin
= 1 − cos
puis
3
16
4
sin
= 1 − @− A =
=@ A ,
5
25
5
d’où l’on déduit que
sin = ou sin = − .
Or comme
est situé dans le deuxième quadrant, on a sin
Trigonométrie – Classe de Seconde
> 0, donc sin
= .
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Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle
Si 0 < < , alors cos > 0 et sin
notations de la figure précédente).
Or dans le triangle rectangle - , on a
cos -D =
> 0, donc
-
=
et
- = cos
et
/ = sin
(avec les
= - = cos
1
/
/
sin -D =
=
=
= / = sin .
1
Donc cos D = cos et sin D = sin .
Les définitions du cosinus et du sinus d’un réel quelconque données dans ce chapitre sont
cohérentes avec les définitions vues au collège du cosinus et du sinus d’un angle aigu dans un
triangle rectangle.
Valeurs remarquables du sinus et cosinus
À partir des valeurs remarquables inscrites sur le premier quadrant ci-dessous, on peut
facilement calculer les valeurs cosinus et sinus des multiples de , , et * par des
considérations géométriques.
E
0
FGH E
1
HJK E
0
6
√3
2
1
2
4
√2
2
√2
2
3
1
2
√3
2
2
0
1
1 √
Remarque. Les seules valeurs à retenir véritablement par cœur sont ,
se retrouve.
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et
√
. Tout le reste
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