2014 - MATH III - EDHEC ECE - Annale corrigée

Code sujet : 298
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IMPRIMERIE NATIONALE – 14 1242 – D’après documents fournis
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EDHEC VOIE E 2014 1
ANNALES DE MATHEMATIQUES 2014
Le langage turbo-Pascal n’´etant plus au programme, nous n’avons pas
trait´e les questions informatiques.
EXERCICE I
1−a)
Le r´eel λest valeur propre de Asi et seulement si la matrice A−λI n’est pas inversible
A−λI =
7−λ5 1
6−1−λ2
6 1 3 −λ
L1←→ L3
>
6 1 3 −λ
6−1−λ2
7−λ5 1
L2←− L1−L2
L3←− (7 −λ)L1−6L3
>
6 1 3 −λ
0 2 + λ1−λ
0−23 −λ λ2−10λ+ 15
L2←− L2+L3
>
6 1 3 −λ
0−21 λ2−11λ+ 16
0−23 −λ λ2−10λ+ 15
L3←− 21L3−(23 + λ)L2
>
6 1 3 −λ
0−21 λ2−11λ+ 16
0 0 −λ3+ 9λ2+ 27λ−53
La derni`ere matrice est triangulaire ; elle n’est pas inversible (donc A−λI non plus)
si et seulement si l’un des coefficients diagonaux est nul, autrement dit
λ∈Rest valeur propre de Asi et seulement si λ
est racine de l’´equation : λ3−9λ2−27λ+ 53 = 0
1−b)
La fonction fest d´erivable sur Rcomme fonction polynomiale.
∀x∈R, f′(x) = 3x2−18x−27 = 3(x2−6x−9)
f′(x) = 0 ⇐⇒ x∈ {3(1 −√2),3(1 + √2)}
En effet f′(x) = 0 ⇐⇒ x2−6x−9=0⇐⇒ (x−3)2−18 = 0 ⇐⇒ x−3 = ±√18 = ±3√2.
Le signe du trinˆome est celui de f′(x), donc il donne le sens de variations de f. Ce
trinˆome est positif `a l’ext´erieur de l’intervalle [3(1 −√2),3(1 + √2)].
page 1 Jean MALLET et Michel MITERNIQUE c ⃝EDUKLUB SA
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