vecteurs repères cartésiens - XMaths

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Vecteurs
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VECTEURS
REPÈRES CARTÉSIENS
I Vecteurs du plan
Exercice 01 (voir réponses et correction)
Placer le point B tel que
→
AB =
→
u
Placer le point C tel que
→
AC =
→
u +
→
v
Placer les points D et E tels que
→
AD = 2
→
u +
→
v et
→
CE = -
→
u
Justifier que ACDB est un parallélogramme.
Exprimer en fonction des vecteurs
→
u et
→
v les
vecteurs
→
BC ;
→
BE ;
→
CA ;
→
EB ;
→
ED
Placer les points F, G et H tels que
→
CF =
→
v - 2
→
w
→
AG = 3
2
→
v + 1
2
→
w
→
BH = - 1
2
→
v + 3
2
→
w
Exercice 02 (voir réponses et correction)
Écrire en utilisant les vecteurs
→
u et
→
v
chacun des vecteurs
→
w
1
=
→
w
2
=
→
w
3
=
→
w
4
=
→
w
5
=
→
w
6
=
→
w
7
=
Propriétés (rappels)
●
Pour tous points A, B et C on a :
→
AA =
→
0 ;
→
BA = -
→
AB ;
→
AB +
→
BC =
→
AC (relation de Chasles)
●
ABCD est un parallélogramme ⇔
→
AB =
→
DC
●
I est milieu de [AB] ⇔
→
AI =
→
IB ⇔
→
AI = 1
2
→
AB
●
Si G est le centre de gravité d'un triangle ABC, on a
→
AG = 2
3
→
AI , I étant le milieu de [BC].
u
v
w
u
v
w
3
w
2
w
7
w
6
w
5
w
4
w
1

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u
v
=
λ
u
λ
> 0
i
j
u
x
y
O
M
λ < 0 v = λu
u
Exercice 03 (voir réponses et correction) ( voir animation )
1°) Soit ABC un triangle et soient I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [BC].
Justifier, en utilisant des égalités de vecteurs, que
→
IJ = 1
2
→
AC .
2°) Soit ABCD un quadrilatère et I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA].
En utilisant des égalités de vecteurs démontrer que IJKL est un parallélogramme.
Remarques
Les résultats de la première question de l'exercice 03 permettent d'affirmer que :
●
Si I est milieu de [AB] et J milieu de [AC], alors
→
IJ = 1
2
→
BC et la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).
●
Dans un triangle ABC, la droite parallèle à (BC) passant par I milieu de [AB] coupe [AC] en son milieu.
Exercice 04 (voir réponses et correction)
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC].
Placer les points D et E définis par :
→
BD =
→
BC + 2
→
BA et
→
BE = -2
→
BA .
Exprimer
→
ID et
→
IE en fonction des deux vecteurs
→
BC et
→
BA . En déduire que I est le milieu de [DE].
Définition
Deux vecteurs non nuls du plan,
→
u et
→
v , sont
colinéaires lorsqu'il existe un réel λ tel que
→
v = λ
→
u .
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Remarques
● Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction.
Si
→
v = λ
→
u avec λ > 0 alors
→
u et
→
v sont de même sens.
Si
→
v = λ
→
u avec λ < 0 alors
→
u et
→
v sont de sens contraire.
●
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs
→
AB et
→
AC sont colinéaires.
Exercice 05 (voir réponses et correction)
1°) Soit ABC un triangle. On considère les points K et L définis par
→
AK = 1
3
→
AB et
→
AL = 1
3
→
AC .
Démontrer que les vecteurs
→
KL et
→
BC sont colinéaires.
2°) Même question si K et L sont définis par
→
AK = k
→
AB et
→
AL = k
→
AC avec k ∈ IR .
II Repère cartésien du plan
Propriété (admise)
Dans le plan, on se donne un point O et deux vecteurs
→
i et
→
j non colinéaires.
Le triplet (O ;
→
i,
→
j) constitue un repère du plan. (Ce repère n'est pas
nécessairement orthonormé)
●
Pour tout point M du plan il existe un unique couple de réels (x ; y)
tel que
→
OM = x
→
i + y
→
j
●
Pour tout vecteur
→
u du plan il existe un unique couple de réels (x ; y)
tel que
→
u = x
→
i + y
→
j
●
(x ; y) est le couple des coordonnées du point M et du vecteur
→
u dans le repère (O ;
→
i,
→
j) .
A
B
C

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O xA
xB
yA
yB
A
B
I
i
j
Remarques
x est appelée abscisse, y est appelé ordonnée.
Deux points sont confondus si et seulement si ils ont le même couple de coordonnées.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même couple de coordonnées.
Si
→
i et
→
j forment un angle droit, on dit que
→
i et
→
j sont orthogonaux et que le repère est orthogonal.
Si
→
i et
→
j forment un angle droit et ont pour norme (longueur) 1, on dit que le repère est orthonormé.
Propriétés (voir démonstration 01)
Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x
A
; y
A
) et
(x
B
; y
B
) dans le repère (O ;
→
i,
→
j) .
●
Le vecteur
→
AB a pour coordonnées (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
●
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées x
A
+ x
B
2 ; y
A
+ y
B
2
●
Si le repère (O ;
→
i,
→
j) est orthonormé, on a :
AB = (x
B
- x
A
)
2
+ (y
B
- y
A
)
2
La distance AB correspond à la norme (longueur) du vecteur
→
AB on la note aussi ||
→
AB || .
Dans le repère (O ;
→
i,
→
j) soient
→
u (x ; y) et
→
v(x' ; y') deux vecteurs et soit λ un réel.
●
→
u +
→
v a pour coordonnées (x + x' ; y + y')
●
λ
→
u a pour coordonnées (λx ; λy)
●
Si le repère (O ;
→
i,
→
j) est orthonormé, la norme (longueur) du vecteur
→
u est ||
→
u || = x
2
+ y
2
.
Remarque
Pour tous vecteurs
→
u et
→
v et pour tous réels λ et λ', on peut démontrer en utilisant les coordonnées que :
λ(
→
u +
→
v ) = λ
→
u + λ
→
v (λ + λ')
→
u = λ
→
u + λ'
→
u λ(λ'
→
u ) = (λλ')
→
u
λ
→
u =
→
0 ⇔ λ = 0 ou
→
u =
→
0
Exercice 06 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j) . On considère les points A(-3 ; 5) ; B(-2 ; 1) ; C(3 ; 2).
1°) Faire un dessin pour illustrer les différentes questions. Calculer les coordonnées de milieu I de [AC].
2°) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
3°) Calculer les coordonnées du point M tel que
→
AM +
→
CM =
→
AB . Que peut-on dire du point M ?
Exercice 07 (voir réponses et correction)
Dans un triangle ABC, soit K le milieu de [BC] ; L et M les points définis par :
→
KL =
→
AB et
→
KM = 1
2
→
AK .
1°) Faire un dessin. Exprimer
→
CM en fonction des vecteurs
→
AC et
→
AK .
2°) Démontrer que
→
CK = -
→
AC +
→
AK et que
→
AB = -
→
AC + 2
→
AK . En déduire
→
CL en fonction de
→
AC et
→
AK .
3°) Justifier que M est milieu de [LC].
Propriétés (voir démonstration 02)
Soient
→
u et
→
v deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y') dans le repère (O ;
→
i,
→
j) .
→
u et
→
v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire si et
seulement si xy' - yx' = 0 .
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j) . On considère les vecteurs :
→
u (-1 ; 3) ;
→
v (3 ; 1 + 2 ) ;
→
w (3 + 3 2 ; 3 + 2 2 ) ;
→
s (11 2 ; 36)
1°) Étudier la colinéarité de
→
u et
→
v ; la colinéarité de
→
v et
→
w et la colinéarité de
→
v et
→
s .
2°) Montrer que l'on peut exprimer le vecteur
→
s sous la forme
→
s = a
→
u + b
→
v avec a et b réels.

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Exercice 09 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j) . On considère les points A(-3 ; 5) ; B(-2 ; 1) ; C(3 ; 2).
1°) Soit R le point de coordonnées (107 ; -50). Montrer que les vecteurs
→
AC et
→
AR sont colinéaires.
Que peut-on en déduire pour les points A, C et R ?
2°) Soit H le point de coordonnées (-2 ; a) , où a est un nombre réel.
Déterminer a pour que les vecteurs
→
OH et
→
AB soient colinéaires.
Exercice 10 (voir réponses et correction)
On considère un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [BC] et J le milieu de [CD].
Soit H défini par
→
AH = 1
3
→
AB et K défini par
→
AK = 2
3
→
AD . Faire un dessin.
Exprimer les vecteurs
→
HI et
→
KJ en fonction de
→
AB et
→
AD. Les droites (HI) et (KJ) sont-elles parallèles ?
Exercice 11 (voir réponses et correction)
On considère un triangle ABC.
Soient E, F et H les points définis par
→
EC = 3
5
→
AC ;
→
AF = 3
4
→
AB ;
→
CH = - 9
7
→
BC .
1°) Placer les points sur un dessin.
2°) Justifier que
→
EF = 3
4
→
AB - 2
5
→
AC
3°) Exprimer le vecteur
→
EH en fonction des vecteurs
→
AB et
→
AC .
En déduire que les points E, F et H sont alignés.
III Équation cartésienne d'une droite
Rappel
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs
→
AB et
→
CD sont colinéaires.
Définition
On appelle vecteur directeur d'une droite d tout vecteur
→
AB, A et B étant deux points distincts de d.
Propriété
Deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur
directeur de l'autre.
Exercice 12 (voir réponses et correction)
Dans le plan rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j) , on considère les points A(3 ; -2) ; B(1 ; 4) ; C(0 ; 2) et le
vecteur
→
v (1 ; -3).
Justifier que la droite (AB) est parallèle à la droite d passant par C et de vecteur directeur
→
v .
Rappel
Dans le plan rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j), on considère une droite d.
●
soit d a une équation de la forme x = c avec c ∈ IR.
(dans ce cas d est parallèle à l'axe Oy)
●
soit d a une équation de la forme y = mx + p avec m ∈ IR et p ∈ IR.
(dans ce cas d n'est pas parallèle à l'axe Oy)
m est le coefficient directeur, p est l'ordonnée à l'origine.
Ces équations sont appelées équations réduites.
A
B
C
D

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Exercice 13 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j) .
On considère les points A(-3 ; 5) ; B(-2 ; 1) et M un point de coordonnées (x ; y).
1°) Donner les coordonnées des vecteurs
→
AM ;
→
BM et
→
AB .
2°) Donner une condition portant sur des vecteurs pour que M soit sur la droite (AB).
3°) En déduire que tout point M de la droite (AB) a des coordonnées (x ; y) vérifiant l'équation 4x + y + 7 = 0
4°) En déduire l'équation réduite de la droite (AB).
Propriété (voir démonstration 03)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j). On considère une droite d.
d a une équation de la forme ax + by + c = 0 ; a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Cette équation est appelée équation cartésienne de d.
Exercice 14 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère (O ;
→
i,
→
j).
1°) On considère les points A(-1 ; 7) et B(3 ; 5). Déterminer, en utilisant la colinéarité de vecteurs, une
équation cartésienne de la droite (AB).
2°) On considère le point C(2 ; -1) et le vecteur
→
u (3 ; -5). Déterminer, en utilisant la colinéarité de
vecteurs, une équation cartésienne de la droite d passant par C et de vecteur directeur
→
u .
3°) Démontrer que les droites (AB) et d sont sécantes et donner les coordonnées de leur point d'intersection.
Propriété (voir démonstration 04)
Toute équation de la forme ax + by + c = 0 ; a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0)
est l'équation d'une droite d.
d a pour vecteur directeur le vecteur
→
v de coordonnées (-b ; a).
Si b ≠ 0, d a une équation de la forme y = mx + p et son coefficient directeur m est égal à - a
b .
Si b = 0, d a une équation de la forme x = k, d est une droite parallèle à l'axe Oy.
Rappel
Soient A(x
A
; y
A
) et B(x
B
; y
B
) deux points n'ayant pas la même abscisse, c'est-à-dire tels que x
A
≠ x
B
.
La droite (AB) a pour coefficient directeur m = y
B
- y
A
x
B
- x
A
.
Remarque
Si d a pour vecteur directeur
→
u (α ; β); avec α ≠ 0,
alors d a pour coefficient directeur β
α .
Si d a pour coefficient directeur m, alors d a pour vecteur directeur
→
u(1 ; m)
(ou tout vecteur non nul colinéaire à ce vecteur).
Exercice 15 (voir réponses et correction)
On considère les droites d
1
; d
2
; d
3
d'équations respectives 2x + 3y - 1 = 0 ; x - 5y = 4 ; x + 3 = 0.
Donner pour chacune de ces droites un vecteur directeur et éventuellement le coefficient directeur.
Soient A(1 ; 7) et B(10 ; 1). La droite (AB) est-elle parallèle à l'une des droites d
1
; d
2
; d
3
?
Exercice 16 (voir réponses et correction)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O
;
→
i,
→
j).
On considère les points A(3 ; 1) ; B(1 ; 2) ; C(2 ; -1) ; D(-4 ; 2). On pourra faire un dessin.
1°) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2°) Montrer que O appartient à la droite (CD).
3°) Soit M de coordonnées (x ; y). Déterminer les distances BM et CM en fonction de x et y .
En déduire l'équation de la droite δ, médiatrice de [BC]. Montrer que δ est la droite (OA).
u