Fonction rationnelle
11
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Savoirs TS • Vol. 1
Nom :
Groupe : Date :
1.3
Manuel de l’élève, volume 1, p. 47
FONCTION RATIONNELLE
Une fonction dont la règle est de la forme f(x) , où le numérateur et le dénominateur
sont non nuls et a20, est appelée une fonction rationnelle. Une telle règle peut aussi s’exprimer
sous la forme f(x) k, où a 0, b 0 et xh. Pour passer de la première forme
d’écriture à la seconde, il suffit d’effectuer une division.
a1xb1
a2xb2
a
b(xh)
Ex. : Il est possible d’écrire la règle de la fonction f(x) sous la forme f(x) k
en effectuant (3x5) (x1).
a
b(xh)
3x5
x1
En effectuant une division, il est possible de transformer une règle de la forme f(x) k
et de l’écrire sous la forme canonique f(x) k.
a
xh
a
b(xh)
Ex. : f(x) 5
5
5
3,5
x10
7 2
x10
7
2(x10)
3x 5 x 1
3
(3x 3)
8
Dans la représentation graphique d’une fonction rationnelle dont la règle s’écrit f(x) k:
• la courbe, nommée hyperbole, est formée
de deux branches symétriques ;
• les droites d’équations xh et yk constituent
respectivement l’asymptote verticale et l’asymptote
horizontale de la courbe ;
• le point d’intersection des deux asymptotes
correspond au centre de l’hyperbole et ses
coordonnées sont (h, k).
a
xh
Une droite de laquelle une courbe
se rapproche de plus en plus sans
jamais y toucher s’appelle
une asymptote.
La règle de cette fonction peut donc aussi s’écrire f(x) 3.
8
x1
5375G_TS5_Vol1_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 19/05/10 14:23 Page 11
Nom :
Groupe : Date :
12 Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Savoirs TS • Vol. 1 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
1.3
Manuel de l’élève, volume 1, p. 48
RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION RATIONNELLE
Il est possible de déterminer la règle d’une fonction rationnelle, qui s’écrit f(x) k,
de la façon suivante.
a
xh
1. Trouver les coordonnées du centre de
l’hyperbole et celles d’un point de la courbe.
2. Substituer les coordonnées du centre de
l’hyperbole à h et à k ainsi que les coordonnées
d’un point de la courbe à xet à f(x) dans la
règle f(x) k.
3. Résoudre l’équation formée afin de déterminer
la valeur du paramètre a.
4. Écrire la règle de la fonction obtenue.
a
xh
Ex. :
Les coordonnées du centre de
l’hyperbole sont (2, 5) et la courbe
passe par le point (3,5, 6).
6 5
6 5
6 5
1
a 1,5
f(x) 5
1,5
x2
a
1,5
a
1,5
a
3,5 2
a
3,5 2
2
4
6
8
10
2
y
x
4 60
-2
y 5
x 2
(3,5, 6)
Ex. : Règle Table de valeurs Représentation graphique
f(x) 7
–10
x3
xy
–78
–29
3 Indéfinie
52
85
13 6
0
8
16
24
-8
-16
816
-8
-16
y
x
24
Branches
de l’hyperbole
Asymptote : x 3
Centre : (3, 7)
Asymptote : y 7
5375G_TS5_Vol1_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 19/05/10 14:23 Page 12
13
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Savoirs TS • Vol. 1
Nom :
Groupe : Date :
1.3
Manuel de l’élève, volume 1, p. 49
RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE
La résolution d’équations rationnelles s’effectue en tenant compte des règles habituelles
de transformation des équations.
1. Substituer un symbole
d’égalité au symbole
d’inégalité de l’inéquation.
2. Résoudre l’équation
en tenant compte
des restrictions.
3. Représenter les valeurs
critiques sur une droite
numérique par des points
pleins ou vides selon le cas.
4. Déduire l’ensemble-solution
de l’inéquation.
Ex. : Résoudre : 5
L’équation associée à l’inéquation 5 est 5.
5 (où x4)
6 5(4 x)
6 20 5x
5x14
x2,8
Sur la droite numérique, les nombres inférieurs ou égaux
à 2,8 et supérieurs à 4 vérifient l’inéquation. L’ensemble-
solution est :
x2,8 et x4
6
4 x
6
4 x
6
4 x
6
4 x
4
x
2,8
2,8 4
x
Ex. : 1) Résoudre : 4 1
41 (où x 0,5)
5
5(2x1) 3
10x5 3
10x8
x0,8
3
2x1
3
2x1
3
2x12) Déterminer le zéro de la fonction : f(x) 2
2 0
où x
–2
–4 –2(3x7)
2 3x7
9 3x
x3
–4
3x7
–4
3x7
–4
3x7
7
3
RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE
Il est possible de résoudre une inéquation rationnelle à une variable de la façon suivante.
Puisque
x
4.
5375G_TS5_Vol1_Savoirs_EP2.qx:Layout 1 19/05/10 14:23 Page 13
1
/
3
100%
