VARIATION DE VITESSE DES MACHINES SYNCHRONES

VARIATION DE VITESSE DES MACHINES SYNCHRONES
Alain CUNIERE
Lycée Pierre de Coubertin
Chaussée de Paris
77100 Meaux
Gilles FELD
ENS de CACHAN
61 av. du Président Wilson
94235 Cachan
RESUME
Dans ce document, nous présentons:
• La modélisation de la machine en vue de sa commande.
• Les différentes stratégies de commande.
• L'alimentation de la machine à partir d'un onduleur de tension.
1 ) MODELE DE LA MACHINE SYNCHRONE A POLES LISSES
Exemples de représentation
Représentation schématique d'une machine
Représentation symbolique.
synchrone bipolaire équivalente (dans l'espace Le courant If représente :
électrique)
Un courant réel dans le cas d'une machine à
inducteur bobiné.
Un courant équivalent dans le cas d'une
machine à aimants permanents.
Sur cet exemple,
• l'enroulement induit est symboliquement constitué d'une spire diamétrale
représentant un bobinage équivalent.
• l'excitation est assurée par des aimants tuiles déposés à la périphérie d'un cylindre
ferromagnétique.
__________________________________________________________________________________________
VARIATION DE VITESSE DES MS
1
Notations
p : nombre de paires de pôles
R : rayon moyen de la machine au niveau de l'entrefer.
L : longueur utile de la machine.
e : entrefer.
j : indice des phases de la machine j = a ou b ou c.
f : indice de l'enroulement inducteur.
dθ m 1 dθ e
Ω : vitesse angulaire de rotation du rotor. Ω =
= .
dt
p dt
e : indice des angles dans l'espace électrique.
m : indice des angles dans l'espace mécanique.
θ : angle permettant de repérer la position du rotor par rapport au stator.
α : angle permettant de repérer un point X dans l'entrefer dans un repère lié à l'inducteur.
γ : angle permettant de repérer un point X dans l'entrefer dans un repère lié à l'induit.
Ls Inductance propre d'un enroulement statorique.
Ms Inductance mutuelle d'un enroulement statorique.
Hypothèses
On supposera que :
L'entrefer est constant (on ne prendra pas en compte la variation de réluctance due à la
présence des encoches du stator).
Les conducteurs statoriques sont parallèles à l'axe de la machine.
Les pôles inducteurs ne sont pas inclinés.
La perméabilité du fer est infinie.
La caractéristique du circuit magnétique est linéaire.
L'on peut négliger tous les courants induits (il n'existe pas de circuit amortisseur) autres que
dans les bobinages statoriques.
1.1 ) Expression des flux induits par l'inducteur sur les enroulements statoriques.
Exemple
La répartition spatiale de la composante normale du champ d'induction dans l'entrefer d'une
machine synchrone à aimants déposés peut en première approximation être représentée par les
graphes suivants.
On en déduit que le flux induit dans une spire diamétrale aa' au cours de la rotation est donné
par le graphe suivant:
La normale permettant de
calculer le flux est orientée
à partir du sens
conventionnel du courant.
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VARIATION DE VITESSE DES MS
2
Dans le cas général:
Les flux induits par l'inducteur dans les trois phases statoriques a ,b et c s'écriront:
2. π
2. π
Φ fb = Φ max . f (θ e −
)
Φ fc = Φ max . f (θ e +
)
Φ fa = Φ max . f (θ e )
3
3
Dans le cas particulier d'une répartition spatiale sinusoïdale du champ Bf.
2. π
2. π
Φ fb = Φ max .cos(θ e −
)
Φ fc = Φ max .cos(θ e +
)
Φ fa = Φ max .cos(θ e )
3
3
1.2 ) Expression des flux induits sur les enroulements statoriques.
Pour la phase aa', le flux totalisé Φa représente la somme de quatre termes:
Flux propre de a sur a :
Φaa = Ls.ia .
Flux mutuel de b sur a :
Φba = Ms.ib .
Flux mutuel de c sur a :
Φca = Ms.ic.
Flux mutuel de l'inducteur sur a :
Φfa
Φ a = Φ aa + Φ ba + Φ ca + Φ fa = L s . i a + M s (i b + i c ) + Φ fa
En supposant le neutre non relié.
( i b + i c = − i a ), cette dernière relation s'écrit:
Φ a = ( L s − M s ). i a + Φ fa = L c . i a + Φ fa
Lc Inductance cyclique d'un enroulement statorique. L c = L s − M s .
Remarque: Le terme Lc.ia représente le flux induit dans la phase a par le champ tournant créé
par les trois courants ia, ib et ic.
1.3 ) Expression des tensions sur les enroulements statoriques.
En convention récepteur la tension sur la phase a s'écrit:
dΦ a
di
di
di
dΦ fa
v a = R. i a +
= Ls . a + M s . b + M s . c +
dt
dt
dt
dt
dt
En supposant que le neutre soit non relié.
L'équation précédente devient:
v a = R. i a + L c .
avec
e a = v a ( i a = 0) =
La tension sur la phase a s'écrit:
v a = R. i a + L c .
di a dΦ fa
+
dt
dt
dΦ fa dΦ fa dθ e
dΦ
=
.
= p. Ω. fa
dt
dθ e dt
dθ e
di a
dΦ
di
+ p. Ω. fa = R. i a + L c . a + e a
dt
dθ e
dt
__________________________________________________________________________________________
VARIATION DE VITESSE DES MS
3
Sur les deux autres phases
di b
dΦ
di
+ p. Ω. fb = R. i b + L c . b + e b
dt
dθ e
dt
di
dΦ
di
v c = R. i c + L c . c + p. Ω. fc = R. i c + L c . c + e c
dt
dθ e
dt
v b = R. i b + L c .
Le schéma électrique d'une phase est donc le suivant:
Domaine de validité
Absence de saturation.
Neutre non relié.
Machine à pôles lisses
A vitesse constante et en régime sinusoïdal, on retrouve le diagramme de Behn Eschenburg
1.4 ) Expression du couple
La puissance électromagnétique instantanée s'écrit:
pe = ea . i a + e b . i b + ec . i c
d'où le couple électromagnétique
pe ea .ia + e b .i b + ec .ic
=
Ω
Ω
En remplaçant les fem par leurs expressions en fonction des flux, on obtient:
ce =
 dΦ fa
dΦ fb
dΦ fc 
c e = p i a .
+ ib.
+ ic .

dθ e
dθ e 
 dθ e
1.5 ) Equation mécanique
l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit:
J
d 2 θ m J d 2 θe
dΩ
= ce − c r = J
=
p dt 2
dt
dt 2
1.6 ) Modèle de la machine
Il est établi à partir des équations suivantes.
di a
dΦ
di
+ p. Ω. fa = R. i a + L c . a + e a
dt
dθ e
dt
di
dΦ
di
v b = R. i b + L c . b + p. Ω. fb = R. i b + L c . b + e b
dt
dθ e
dt
di
dΦ
di
v c = R. i c + L c . c + p. Ω. fc = R. i c + L c . c + e c
dt
dθ e
dt
v a = R. i a + L c .
 dΦ fa
dΦ fb
dΦ fc 
c e = p i a .
+ ib.
+ ic .

dθ e
dθ e 
 dθ e
J
d 2 θ m J d 2 θe
dΩ
= ce − c r = J
=
p dt 2
dt
dt 2
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VARIATION DE VITESSE DES MS
4
2 ) STRATEGIE DE COMMANDE
Dans ce chapitre, nous allons chercher quelles sont les conditions pour que la machine puisse
développer un couple de valeur moyenne non nulle et si possible exempt d'ondulation.
 dΦ fa
dΦ fb
dΦ fc 
L'expression du couple instantané c e = p i a .
+ ib.
+ ic .
 montre qu'une
dθ e
dθ e 
 dθ e
solution évidente consiste à injecter dans les trois enroulements des courants ia, ib et ic dont la
forme dépendra de l'expression des flux inducteurs induits dans les trois phases.
Nous allons envisager deux types de machine.
Machines à fem sinusoïdales
Machines à fem trapézoïdales
2.1) Machines à fem sinusoïdales
Expression des flux induits par l'inducteur sur les enroulements statoriques.
Dans le cas d'une répartition spatiale sinusoïdale de fmm, la composante normale du champ
dans l'entrefer en un point X s'écrit:
B f = B max (I f ).cos(θ e − γ e )
Par intégration, on détermine le flux dans une spire diamétrale. φ fa1 =
π
2
∫ B f . R. L. dγe
−
π
2
Les flux induits par l'inducteur sur les trois enroulements sont calculés en sommant les flux
sur les différentes spires. On obtient:
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VARIATION DE VITESSE DES MS
5
Φ fa = Φ max .cos(θ e )
Φ fb = Φ max .cos(θ e −
2. π
)
3
Φ fc = Φ max .cos(θ e +
2. π
)
3
On en déduit l'expression des fem induites
4. π π
2. π π
π
e c = E max .cos(θ e −
+ )
e a = E max .cos(θ e + )
e b = E max .cos(θ e −
+ )
3
2
3
2
2
avec Emax = p.Ω.Φmax
à vitesse constante: θ e = p. Ω. t + cons tan te = ω. t (en choisissant une origine des temps telle
que θe = 0 à t = 0), les fem sont des fonctions sinusoïdales du temps.
Détermination de la forme des courants.
On peut vérifier à partir de l'expression suivante
π
π 2. π
π 2. π 

c e = p. Φ max . i a .cos(θ e + ) + i b .cos(θ e + −
) + i c .cos(θ e + +
)
2
2
3
2
3 

qu'en injectant des courants de la forme:
π
π 2. π
π 2. π
i a = I max .cos(θ e + − ψ ) i b = I max .cos(θ e + −
− ψ ) i c = I max .cos(θ e + +
− ψ)
2
2
3
2
3
on obtient un couple instantané exempt d'ondulation donné par l'expression:
3
c e = . p. Φ max . I max .cos( ψ )
2
Les grandeurs de réglage du couple sont:
_Le flux inducteur (machines à inducteur bobiné).
_L'amplitude des courants injectés.
_L'angle ψ représentant le déphasage entre la f.e.m et le courant en régime permanent.
L'élaboration des courants instantanés demande la connaissance de la position angulaire stator
rotor (autopilotage).
Dans le cas d'une machine à aimants permanents un schéma de principe de la commande en
couple est donné par la figure suivante.
Champ créé par les courants induits.
En supposant les répartitions des f.m.m sinusoïdales (bobinage idéal), la fmm résultante
s'écrit:
2. π
4. π
ε RMI = ε a + ε b + ε c = k. i a .cos( γ e ) + k. i b .cos( γ e −
) + k. i c .cos( γ e −
)
3
3
où k représente un coefficient propre aux bobinages induits.
En remplaçant les courants par leurs expressions, on obtient :
3
π
ε RMI = . k. I max .cos(θ e + − ψ − γ e )
2
2
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VARIATION DE VITESSE DES MS
6
L'entrefer étant constant, le champ créé par les courants induits est donné par la relation
suivante:
µ
3 µ
π
B RMI = 0 . ε RMI = . k. 0 . I max .cos(θ e + − ψ − γ e )
e'
e'
2
2
e' représente la longueur d'un entrefer équivalent comprenant l'entrefer mécanique et
éventuellement l'épaisseur des aimants dans le cas d'une machine à aimants déposés.
Champ créé par l'inducteur.
B f = B max (I f ).cos(θ e − γ e )
Autopilotage
A partir des deux expressions précédentes, nous pouvons constater que le fait d'injecter des
courants fonction de la position angulaire θe revient à auto-piloter la position angulaire du
champ tournant statorique BRMI au champ tournant rotorique Bf.
A un instant t donné (θe donné), les répartitions spatiales sont décalées d'un angle π2 − ψ
Stratégies de commande.
Ces stratégies doivent permettre d'optimiser certains critères.
On peut envisager en régime permanent:
d'obtenir un couple maximum pour un échauffement donné.
Critère S1
de minimiser le dimensionnement du variateur.
Critère S2
de fonctionner au-delà de la vitesse nominale.
Critère S3
En régime permanent, le diagramme des tensions dans le plan complexe est donné par la
figure suivante:
Critère S1
Le couple sera maximum pour un échauffement donné donc pour un courant donné si l'on
maintient Ψ à zéro et le flux inducteur à sa valeur maximum.
Avec cette condition :(En négligeant la chute de tension dans la résistance R)
3
c e = . p. Φ max . I max
2
Remarque1
Lorsqu'on maintient Ψ àrzéro, les
r deux champs BRMI et Bf sont décalés spatialement de 90°
et le produit vectoriel k. B RMI ∧ B f représentant le couple est maximum pour BRMI et Bf
donnés.
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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Remarque2
On retrouve la même expression que dans le cas d'une machine à courant continu, mais une
MCC n'est autre qu'une machine synchrone autopilotée par l'intermédiaire du collecteur. Le
calage des balais permet de régler ψ (en général à la valeur 0)
Remarque3
Il est impossible de satisfaire simultanément les deux critères S1 et S2 car dans ce mode de
fonctionnement, le facteur de puissance (facteur de dimensionnement du variateur) est donné
par la relation suivante:
1
1
cos(ϕ ) =
=
L c . ω. I 2
L c . I max 2
1+ (
)
1+ (
)
Φ max
E
Par contre dans le cas des machines à aimants déposés, l'entrefer équivalent comprenant
l'entrefer réel plus l'épaisseur des aimants à prendre en compte pour la détermination de
l'inductance cyclique est tel que le flux de réaction magnétique d'induit est très faible devant
le flux inducteur. Lc.I << Φmax donc cos( ϕ ) ≈ 1.
Critère S2
Le facteur de puissance sera unitaire si:
ψ = arccos(
L c . ω. I
L .I
) = arccos( c max )
Φ max
E
Critère S3
Le fonctionnement en survitesse est obtenu par défluxage
Ce mode de fonctionnement est facilement réalisable sur une machine à inducteur bobiné.
Par contre dans le cas des machines à aimants permanents, le "défluxage" est obtenu en
injectant des courants générant un champ démagnétisant.
Dans ce dernier cas l'efficacité du défluxage ne pourra être obtenue que grâce à des
commandes sophistiquées et sur des machines spéciales.
2.2) Machines à f.e.m trapézoïdales
Nous venons de voir que dans le cas d'une machine à f.e.m sinusoïdales, il était nécessaire
d'injecter des courants fonction de la position angulaire θe ce qui nécessite un codeur de
position à haute résolution.
Dans ce chapitre , nous étudierons des machines permettant de délivrer un couple théorique
exempt d'ondulation en utilisant un codeur rudimentaire délivrant six informations par période
électrique.
Principe de construction
Considérons une phase constituée de deux bobines diamétrales décalées dans l'espace
électrique d'un angle θb et un inducteur à aimants déposés d'arc polaire θa .
On supposera que les aimants possèdent une aimantation radiale et créent dans l'entrefer une
composante normale de champ notée Bf en forme de créneaux de largeur θa .
Les courbes idéalisées sont données sur la figure suivante:
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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La machine possède deux autres phases
permettant de créer un système triphasé non
représenté sur la figure suivante.
A vitesse constante, la f.e.m induite dans les deux bobines en série présente un pallier de
largeur angulaire θa-θb.
La multiplication du nombre de bobines dans l'intervalle θb permet de se rapprocher de la
forme
trapézoïdale.
En pratique les machines sont construites pour que les f.e.m présentent des paliers de largeur
angulaire θa-θb = 2.π/3.
Détermination de la forme des courants.
On constate que dans le cas d'une machine à
f.e.m trapézoïdales, il suffit d'injecter des
courants en créneaux pour que le couple soit
constant en régime permanent.
Pour fabriquer ces courants, il suffit de six
informations par période électrique, fournies
par trois sondes à effet Hall décalées de 2π/3
dans l'espace électrique.
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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3 ) REALISATION DES GENERATEURS DE COURANT.
3.1) Réalisation à partir d'un commutateur de courant
Pour des machines de forte puissance, on utilise en général un commutateur constitué de
thyristors fonctionnant en commutation naturelle.(sujet non traité ici)
3.2) Réalisation à partir d'un onduleur de tension
Avec un découpage à fréquence suffisamment élevée, il est possible d'injecter dans les trois
phases de la machine des courants dont la composante basse fréquence suive une référence
fonction sinusoïdale de la position angulaire θe.
Elaboration des références ou des courants de consigne
Exemple de réalisation
π
− ψ)
2
π 2. π
= I max cons .cos(θ e + −
− ψ)
2
3
π 4. π
= I max cons .cos(θ e + −
− ψ)
2
3
i acons = I max cons .cos(θ e +
i bcons
i ccons
NB Il suffit d'élaborer deux courants de
consigne le troisième pouvant être calculée de
la façon suivante: iccons = - ( iacons + ibcons ) .
Loi de commande
Les lois de commande doivent être telles que sur chaque phase iBF = i cons .Pour cela il suffit
de comparer les courants mesurés aux courants de consigne et d'agir sur les commandes des
interrupteurs de façon à minimiser les erreurs entre les courants mesurés et les courants de
consigne.
Le contrôle des courants peut être assuré de deux façons différentes:
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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Contrôle par hystérésis
Ce type de contrôle, bien que de mise en œuvre simple est peu utilisé par les industriels car
cette méthode permet théoriquement de garantir une erreur maximum définie par ∆i. Par
contre la fréquence de commutation n'est pas imposée ce qui peut avoir comme conséquences
:
„ des pertes en commutation importantes.
„ une fréquence minimum dans l'audible.
„ des perturbations électromagnétiques importantes et difficiles à filtrer.
Contrôle par correcteur et MLI
Ce type de contrôle permet d'imposer la fréquence des commutations mais demande une
modélisation de l'ensemble machine convertisseur afin de déterminer le correcteur permettant
de répondre au cahier des charges.
3.2.1) Modélisation de l'onduleur
On modélisera l'onduleur en utilisant les notions de fonction de connexion et fonction de
conversion.
fonction de connexion
La fonction de connexion d'un interrupteur Kj fcj permet de définir l'état de celui-ci.
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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fcj = 1 si Kj est fermé.
fcj = 0 si Kj est ouvert.
fonction de conversion.
La fonction de conversion mcj d'un onduleur de tension permet d'exprimer la tension de sortie
en fonction de la tension d'entrée.
Pour un onduleur triphasé défini par la figure suivante, on peut définir trois fonctions de
conversion mca , mcb et mcc telles que
van = mca. Uo
vbn = mcb. Uo
vcn = mcc. Uo.
Il est à noter que sur un bras d'onduleur les fonctions de connexion vérifient la relation
arithmétique fcj + fcj' = 1 de façon à ne pas mettre en court-circuit la source de tension Uo et
ne pas mettre en circuit ouvert une source de courant.
On en déduit l'expression des tensions par rapport au point milieu fictif m.
Uo
Uo
v am = ( f ca − f ca ' ).
= (2 f ca − 1).
2
2
Uo
Uo
v bm = ( f cb − f cb' ).
= (2 f cb − 1).
2
2
Uo
Uo
v cm = ( f cc − f cc ' ).
= (2 f cc − 1).
2
2
La charge étant supposée équilibrée, deux cas sont à considérer:
• en l'absence d'une composante homopolaire de tension, la somme des tensions simples
est nulle, ce qui permet d'écrire:
1
Uo
Uo
v an + v an + v an = 0 ⇒ v mn = − ( v am + v bm + v cm ) =
− ( f ca + f cb + f cc )
3
2
3
donc
Uo
3
Uo
= ( − f ca + 2 f cb − f cc ).
3
Uo
= ( − f ca − f cb + 2 f cc ).
3
v an = ( +2 f ca − f cb − f cc ).
v bn
v cn
__________________________________________________________________________________________
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• en présence d'une composante homopolaire Eh de tension, due à la présence
d'harmoniques de rang multiple de trois dans les fem, la somme des tensions simples s'écrit
:
(cas des machines à fem trapézoïdales)
1
v an + v an + v an = 3. E h ⇒ v mn = E h − ( v am + v bm + v cm )
3
donc
Uo
+ Eh
3
Uo
= ( − f ca + 2 f cb − f cc ).
+ Eh
3
Uo
= ( − f ca − f cb + 2 f cc ).
+ Eh
3
v an = ( +2 f ca − f cb − f cc ).
v bn
v cn
En simulation, il sera plus simple d'ajouter la
composante homopolaire sur le modèle de la
machine plutôt que sur l'onduleur.
(Voir le modèle de la machine à fem
trapézoïdales)
3.2.2) Modélisation de la commande.
Les fonctions de connexion seront élaborées à partir de l'intersection entre la modulante
sinusoïdale en régime permanent et la porteuse triangulaire.
La modulante sera considérée constante sur
une période de la porteuse.
3.2.3) Détermination du correcteur.
En considérant la nature de la machine (filtre passe bas) et en supposant la fréquence de la mli
(fréquence de la porteuse) suffisamment élevée, on peut confondre la composante basse
fréquence (à la fréquence de la modulante en régime permanent) du courant et le courant.
Il reste donc à déterminer un modèle de l'ensemble onduleur commande pour la composante
basse fréquence.
La composante basse fréquence de la tension en sortie de l'onduleur représente la valeur
moyenne calculée sur une période de la porteuse.
vanbf = < van >Tp
vbnbf = < vbn >Tp
vcnbf = < vcn >Tp
Sur la phase a, cette tension s'écrit:
1 u mod j
Uo
+ 1)
⟨ v an ⟩ Tp = ( +2⟨ f ca ⟩ Tp − ⟨ f cb ⟩ Tp − ⟨ f cc ⟩ Tp ).
avec ⟨ f cj ⟩ Tp = (
3
2 U max p
en supposant que umodj est constant sur une période de la porteuse
Uo
donc
⟨ v an ⟩ Tp = ( +2. u mod a − u mod b − u mod c ).
6. U max p
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VARIATION DE VITESSE DES MS
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qui peut encore s'écrire:
⟨ v an ⟩ Tp = u mod a .
Uo
Uo
− ( u mod a + u mod b + u mod c ).
2. U max p
6. U max p
On supposera dans la suite que par
construction, la somme des trois modulantes
est nulle
⟨ v an ⟩ Tp = u mod a .
Uo
2. U max p
Quelque soit la phase considérée, l'ensemble
commande onduleur peut être modélisé par le
schéma ci-contre avec les notations suivantes:
umodj(t) → Umod(s)
< vjn(t) > → V(s)
On pourra affiner le modèle du convertisseur en prenant en compte le retard introduit par la
commande et écrire:
Uo
V(s) =
. e − tr .s . U mod (s) = Ho(s). U mod (s) avec tr = ∈ [0;Tp]
2. U max p
On en déduit le schéma bloc d'une boucle de courant:
En boucle fermée, la grandeur Iret est donnée par la relation:
Iret (s) = H 1 (s). Icons(s) + H 2 (s). E(s)
jϕ
jϕ
avec H 1 ( j. ω ) = H 1 (ω ). e 1( ω ) et H 2 ( j. ω ) = H 2 (ω ). e 2 ( ω )
En régime permanent, les courants de phase doivent suivre une consigne sinusoïdale dont la
fréquence est proportionnelle à la vitesse de rotation.
On doit donc choisir le correcteur pour qu'en boucle fermée, et sur toute la plage de
fréquence, (excursion de vitesse), on ait les relations suivantes:
pour
ϕ1(ω) → 0
H1(ω) → 1
0 ≤ ω ≤ ω max = p. Ω max
H2(ω) → 0
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