Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 Nom : __________________________ Leçon 1 Date : _________________________ b) 1.Indique le degré de chaque fonction polynomiale. Si la fonction n’est pas polynomiale, explique pourquoi. a) b) y 4x2 3x 8 c) g (x) 9x6 d) 2. Quels sont le coefficient dominant et le terme constant de chaque fonction polynomiale ? a) f (x) x3 2x 3 b) y 5 9x c) 4 c) g (x) 3x4 3x2 2x 1 d) k (x) 9 3x 2x2 3. Indique si chaque fonction polynomiale est de degré impair ou pair. Ensuite, indique si la fonction a un maximum, un minimum ou ni l’un ni l’autre. a) g (x) x3 8x2 7x 1 b) f (x) x4 x2 x 10 c) p (x) 2x 5x 11x 5 d) 2x2(x 3)(x 5)(x 7) 3 d) h (x) 3x2 6x 2 4. Indique le nombre d’abscisses à l’origine réelles, le domaine et l’image de chaque fonction polynomiale. a) 5. Indique le nombre possible d’abscisses à l’origine et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction polynomiale. a) f (x) x3 2x 3 b) y 5 9x4 c) g (x) 3x4 3x2 2x 1 d) k (x) 3x 2x2 6. Pour chaque fonction polynomiale, détermine : le type et le degré (pair ou impair) ; le comportement à l’infini du graphique de la fonction ; le nombre d’abscisses à l’origine possibles ; si la fonction a un maximum ou un minimum ; l’ordonnée à l’origine de son graphique. Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 a) g (x) x4 2x2 7x 5 b) f (x) 2x5 7x3 12 7. Soit la fonction y 2(x 1)2(x 2)(x 3)2. a) Sans tracer son graphique, détermine : I) II) III) le comportement à l’infini du graphique, le nombre possible d’abscisses à l’origine, l’ordonnée à l’origine. b) Représente graphiquement la fonction à l’aide de la technologie. 8. Chaque fonction est-elle quadratique, cubique, quartique ou quintique ? a) y x4 2x2 7x 5 b) f (x) 2x5 7x3 12 c) g (x) x3 2x 3 d) k (x) 9 3x 2x2 9. On laisse tomber un objet d’une hauteur de 60 m. Sa hauteur au-dessus du sol, h, en mètres, est liée au temps t, en secondes, depuis le début de sa chute par la formule h 4,9t2 60. a) Quel est le degré de cette fonction ? b) Quels sont le coefficient dominant et le terme constant de cette fonction ? Que représente le terme constant ? c) Quelles sont les restrictions sur le domaine de la fonction ? Explique ton choix de restrictions. d) Décris le comportement à l’infini du graphique de cette fonction. 10. À l’aide de la formule de la question 9, détermine le temps qu’un objet met à atteindre le sol quand on le laisse tomber d’une hauteur de 60 m. Donne ta réponse au dixième de seconde près. Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 5. Détermine chaque quotient à l’aide de la division synthétique. Leçon 2 : 1. À l’aide de l’algorithme de la division, divise x2 x 15 par x 4. a) Exprime le résultat sous la forme . b) Détermine toute restriction sur la variable. a) (4w4 3w3 7w2 2w 1) (w 2) b) c) (5y4 2y2 y 4) (y 1) 6. Détermine le reste dans chaque cas, à l’aide de la division synthétique. a) (3x2 16x 5) (x 5) c) Écris l’équation qui permet de vérifier la division. b) (2x4 3x3 5x2 6x 1) (x 3) d) Vérifie ta réponse. c) (4x3 5x2 7) (x 2) 2. Divise le polynôme P(x) x4 3x3 2x2 55x 11 par x 3. a) Exprime le résultat sous la forme . 7. À partir du théorème du reste, détermine le reste de la division de chaque polynôme par x 2. a) 4x4 3x3 2x2 x 5 b) 7x5 5x4 23x2 8 b) Détermine toute restriction sur les valeurs de la variable. c) Vérifie ta réponse. 3. Détermine chaque quotient à l’aide de l’algorithme de la division. a) (3x2 13x 2) (x 4) b) c) (2w4 3w3 5w2 2w 27) (w 3) 4. Détermine le reste dans chaque cas, à l’aide de l’algorithme de la division. a) (3w3 5w2 2w 27) (w 5) b) c) (3x2 13x 2) (w 2) c) 8x3 1 8. Détermine le reste de chaque division. a) (3x3 4x2 6x 9) (x 1) b) (3x2 8x 4) (x 2) c) (6x3 5x2 7x 9) (x 5) 9. Soit (2 x3 5x2 k x 9) (x 3). Détermine la valeur de k si le reste est 6. 10. Quand on divise 4x2 8x 20 par x k, le reste est 12. Détermine la ou les valeurs possibles de k. Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 6. Factorise complètement chaque polynôme. Leçon 3 : a) x3 2x2 13x 10 1. Quel facteur binomial d’un polynôme P(x) correspond à chaque zéro ? b) x4 7x3 3x2 63x 108 c) x3 x2 26x 24 d) x4 26x2 25 a) P(6) 0 b) P(7) 0 7. Factorise complètement chaque polynôme. c) P(2) 0 a) x3 x2 16x 16 d) P(5) 0 b) x3 2x2 6x 8 2. Détermine si x 1 est un facteur de chaque polynôme. a) 4x 3x 2x x 5 4 3 2 b) 7x5 5x4 23x2 8 c) 2x 3x 5x 6x 1 4 3 2 d) 2x 5x 7 3 c) k3 6k2 7k 60 d) x3 27x 10 8. Factorise complètement chaque polynôme. a) x4 4x3 7x2 34x 24 b) x5 3x4 5x3 15x2 4x 12 2 3. Indique si chaque polynôme a x 2 comme facteur. a) 3x 2x 10x 5 3 2 b) 5x 6x 8 2 c) 2x4 3x3 5x2 d) 3x3 12x 2 4. Quels sont les zéros entiers possibles de chaque fonction polynomiale ? a) P(n) n3 2n2 5n 12 b) P(p) p4 3p3 p2 7p 6 c) P(z) z4 4z3 3z2 8z 25 d) P(y) y4 11y3 2y2 2y 10 5. Les facteurs d’un polynôme sont x 3, x 4 et x 1. Décris comment les facteurs de l’expression polynomiale peuvent servir à déterminer les zéros de la fonction correspondante. 9. Détermine la ou les valeurs de k pour lesquelles le binôme est un facteur du polynôme. a) x2 8x 20, x k b) x2 3x k, x 7 10. Chaque polynôme a x 3 comme facteur. Quelle est la valeur de k dans chaque cas ? a) kx3 10x2 2x 3 b) 4x4 3x3 2x2 kx 9 Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 Leçon 4 : 1. Résous chaque équation. a) (x 5)(x 2)(x 3)(x 6) 0 b) x3 27 0 c) (3x 1)(x 4)(x 7) 0 d) x(x 4)3(x 2)2 0 2. À partir de ce graphique, détermine : c) les abscisses à l’origine du graphique et les facteurs de la fonction ; d) les intervalles sur lesquels la fonction est positive et les intervalles sur lesquels elle est négative. 4. Le graphique de y x3 subit des transformations et devient le graphique de y 2(4(x 1))3 5. Copie et remplis ce tableau. y x3 y (4x)3 y 2(4x)3 y 2(4(x 1))3 5 (, 8) (1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 8) 5. Le graphique de y x4 subit des transformations et devient le graphique de . Copie et remplis ce tableau. a) les zéros de la fonction ; b) les intervalles sur lesquels la fonction est positive ; y x4 c) les intervalles sur lesquels la fonction est négative. (2, 16) 3. À partir de ce graphique d’une fonction polynomiale, détermine : (1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 16) a) le plus petit degré possible de la fonction ; b) le signe de son coefficient dominant ; Mathématique Pré-Calcul 40S Chapitre 3 : Les fonctions polynomiales : Exercices supplémentaires Leçon 1 à 4 6.À partir de ce graphique d’une fonction polynomiale, détermine : 8. Esquisse le graphique de chaque fonction sans utiliser la technologie. Nomme tous les points associés aux coordonnées à l’origine. a) y x3 4x2 5x b) f (x) x4 19x2 6x 72 c) g (x) x5 14x4 69x3 140x2 100x 9. Détermine l’équation du plus petit degré qui correspond à chaque fonction polynomiale. a) Une fonction cubique dont les zéros sont 3 (multiplicité 2) et –1 et dont le graphique a l’ordonnée à l’origine 18. b) Une fonction quintique dont les zéros sont –2 (multiplicité 3) et 4 (multiplicité 2) et dont le graphique a l’ordonnée à l’origine – 32. c) Une fonction quartique dont les zéros sont –1 (multiplicité 2) et 5 (multiplicité 2) et dont le graphique a l’ordonnée à l’origine – 10. a) le plus petit degré possible de la fonction ; b) le signe de son coefficient dominant ; c) les abscisses à l’origine du graphique et les facteurs de la fonction ; d) les intervalles sur lesquels la fonction est positive et les intervalles sur lesquels elle est négative. 7. Sans utiliser ta calculatrice à affichage graphique, détermine les caractéristiques cidessous pour y x3 4x2 x 4 : a) les zéros de la fonction ; b) le degré de la fonction et le comportement à l’infini de son graphique ; c) l’ordonnée à l’origine de son graphique ; d) les intervalles sur lesquels la fonction est positive et les intervalles sur lesquels elle est négative. 10. Détermine trois nombres entiers consécutifs dont le produit est –504. 11. Une boîte d’un tube de dentifrice a des extrémités carrées. Sa longueur mesure 12 cm de plus que sa largeur. Son volume est de 135 cm3. Quelles sont les dimensions de la boîte ? 12. Un prisme à base rectangulaire mesure 10 cm sur 10 cm sur 5 cm. Quand on augmente chacune de ses dimensions de la même quantité, son volume est de 1 008 cm3. Quelles sont les dimensions du nouveau prisme ?