Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

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Laréq
Jean – Paul Tsasa/ Chercheur co – accompli
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Août 2012
Vol. 3 – Num. 003
http://www.lareq.com
Paradigme Bayésien et Principe de Révision Bayésienne
Jean – Paul Tsasa V. Kimbambu
*
La controverse philosophique école classique versus école bayésienne
est finalement peu intéressante. Il faut faire un choix et le nôtre
est clair : c’est le paradigme bayésien.
Boreux – Parent – Bernier, 2010
Introduction
dynamique stochastique (DSGE) de la RD. Congo. Il présente dans un langage approprié les principaux
    A ce titre, il faut noter que l
bayésienne a considérablem
de prévision de la politique macroéconomique. Elle propose un cadre rigoureux pour formaliser les
croyances a priori (paradigme bayésien) et déterminer comment celles  ci doivent être mises à jour
une fois que les données sont observées (révision bayésienne). Aussi, il convient de préciser que cette
approche est généralement opposée à une autre dite classique        
Dans la dernière section, nous allons rappeler, par un exemple, le processus de révision bayésienne.
I. Paradigme classique
reprenons dans les deux premières sections les caractéristiques qui marquent la différence entre les
deux grandes écoles.
Considérons une observable Y, di 
 la seule inconnue est
le paramètre . Ce paramètre appartient à un espace (ensemble des états de la nature)  de
 est la distribution de la variable aléatoire Y conditionnellement à ses
paramètres    à 
(fonction des données ou estimateur) dont les paramètres dépendent de 
moyenne arithmétique n variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées (iid) :
*
Master en cours Economie  NPTCI 2010  2012 ; Assistant CCAM  UPC et Chercheur co  accompli au Laboratoire
 Recherche en Economie Quantitative [LAREQ] ; [e-mail] BP 16 626 Kinshasa I.
Un paramètre est souvent multidimensionnel, 

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Pour n assez grand (théorème central limite
 a une distribution normale, de moyenne  et
de variance
 sachant . En considérant un
risque  il devient aisé de calculer les valeurs critiques :
intervalle de tolérance que si  et 
sont connus. Or en réalité, ces paramètres sont inconnus. Ainsi, le statisticien classique, en refusant de
considérer  comme une variable aléatoire, procède en trois temps et comme suit :
- En un premier temps       et de ce fait, renverse la perspective en
écrivant un intervalle de confiance
*
:
contrairement au paramètre  qui est inconnu mais certain
les données réellement observées sont aléatoires      
jugement probabiliste sur           
statistique, autrement la probabilité de recouvrement de  par un intervalle aléatoire
 ;
-           type inconnu     type
estimé :
     z,        , par le
percentile de Student t. Ainsi, il obtient :
- Sachant que rien ne garantit que le paramètre       
entourloupette en réalisant un véritable tout de passe  passe : (i) il imagine une collection
ii) pour chaque échantillon généré, il obtient
*
Nous verrons plus loin que contrairement au statisticien classique qui considère la probabilité comme une fréquence
                entendu
       statisticien bayésien conçoit la probabilité comme le

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quasi  inévitablement un nouvel intervalle de confiance  et (iii) il conclut que  pour cent
de ces intervalles contiendraient  dans ce cas, la valeur inconnue et certaine 
que le paramètre du modèle statistique paramétrique  
 est incertain. Dès lors, la préoccupation
change ; on cherchera plutôt à quantifier cette incertitude en mobilisant toutes les informations
disponibles.
II. Paradigme bayésien
Le statisticien bayésien, contraire au classique, confère au paramètre  le statut de variable aléatoire.
Ainsi, il lui attribue une distribution de probabilité a priori (prior
paramètre en cause. On la note : 
Le prior 
    éré. Comme le notent Boreux, Parent et Bernier (2010),
distribution
de probabilité.
Considérons la règle de Bayès :
Pour passer des informations a priori aux lois (distribution) a priori, la théorie bayésienne de la décision
statistique affecte des indices de crédibilité (élicitationmble des valeurs possibles
du paramètrea priori (Robert,
2006 ; Parent et Bernier, 2007 ; Boreux, Parent et Bernier, 2010).
a) Prendre un prior non informatif
Le prior non informatif, appelé également prior vague ou prior peu informatif   
s de lier les paramètres :

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que toutes les plages de valeurs  sont, à ses yeux, équiprobables
*
pariera pas davantage sur une valeur que sur une autre.
néchantillon iid :
Cette matrice intervient dans la construction de priors non informatifs
raisonnement mathématique, Jeffrey (1939      prior vague à partir du
déterminant de  : 
Ce prior impropre a comme propriété de fournir une référence insensible à une reparamétrisation du
modèle de vraisemblance.
b) Choisir un prior conjugué à la vraisemblance
prior. Ainsi, on obtient de modèles en
juxtaposant le nom du modèle de prior     hantillonnage (Par exemple, gamma
normalnormal ; gammaPoisson ; bêtabinomial).
En considérant respectivement un modèle gammanormalnormal :
où les paramètres du prior (hyperparamètres)    sont connus,
ainsi, on a :
Pour   tendant vers zéro, on a :
§
Les priors non informatifs peuvent être obtenu en donnant des valeurs extrêmes aux hyperparamètres
du prior conjugué.
*
Le modèle        
 et le prior conjugé est un mélange gamma
normal.
§

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c) Procéder par analogie
provenant des observations.
d) Mobiliser la méthode par introspections successives
 qui ont un sens à ses yeux. Ensuite, il tente de caler une
          phares    
prior conjugué à partir de la connaissance de certains quantiles ou de leurs écarts.
(composante objective) et sur les idées du chercheur (composante subjective). Elle vise à déterminer les
causes à partir des effets. Les causes sont réduites aux paramètres du mécanisme probabiliste
disponibles. Ainsi, les observations apparaissent comme une série des tirages dans une loi statistique
contrôlée par le paramètre inconnu.
 :
- il applique une méthode statistique afin de déduire des observations une inférence sur  ;
- il quantifie, incertitude sur  (connaissance de la cause) ;
- il recourt au mécanisme générateur de données conditionnellement à     
observations futures.
        ayésienne, la règle de Bayès peut être dérivée en
considérant le théorème des probabilités conditionnelles :
Figure 1. : Principe de l’analyse statistique bayésienne