Mathématiques du signal déterministe

Conservatoire National
des Arts et Métiers
MAA107
Mathématiques du signal déterministe
Nelly POINT
11 octobre 2011
0
Table des matières
1 Intégration
1.1 Méthodes d’intégration : rappels . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Utilisation de la linéarité . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Généralisation de la notion d’intégrale . . . . . . . . . . .
1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Intégrale généralisée : cas d’un domaine non borné .
1.2.3 Intégrale généralisée : cas d’une fonction non bornée
1.3 Intégrales double ou triple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Les espaces L1 (I) et L2 (I)
2.1 Espace L1 (I) des fonctions sommables sur I
2.2 Espace L2 (I) des fonctions
de carré sommable sur I . . . . . . . . . . .
2.3 Relation entre L1 (I) et L2 (I) . . . . . . . .
2.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Rappels sur les espaces vectoriels . . . . . .
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3 Les
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
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3
3
3
3
3
4
4
5
6
8
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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séries de Fourier
Introduction et rappels . . . . . . . . . . . . . .
Série de Fourier trigonométrique . . . . . . . . .
Série de Fourier complexe . . . . . . . . . . . .
Convergence des sommes partielles de la série de
Convergence ponctuelle des sommes
partielles de la série de Fourier . . . . . . . . . .
3.6 Dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . . .
3.7 Vérification des résultats, erreurs usuelles . . . .
3.8 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . .
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13
14
15
16
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Fourier dans L2 (0, T )
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19
19
20
21
23
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24
24
25
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4 Le produit de convolution
27
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Propriétés du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
2
4.3
4.4
4.5
Le produit de convolution régularise
Utilité du produit de convolution .
Intercorrélation, autocorrélation . .
4.5.1 Cas d’un signal réel . . . . .
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31
32
33
5 La transformation de Laplace
5.1 Définition de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Utilisation de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
37
39
6 La transformée de Fourier
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Transformée de Fourier dans L1 (IR) . . . . . .
6.3 Propriétés de la transformée de Fourier . . . .
6.4 Transformée de Fourier dans L2 (IR) . . . . . .
6.5 Transformée de Fourier des fonctions usuelles .
6.6 Autocorrélation temporelle et Fourier . . . . .
41
41
41
43
46
48
48
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7 Fonctions définies par une intégrale
51
7.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapitre 1
Intégration
Ce chapitre contient un rappel des méthodes d’intégration, une présentation des intégrales
généralisées, et les propriétés élémentaires des intégrales doubles.
1.1
Méthodes d’intégration : rappels
1.1.1
Utilisation de la linéarité
1. transformation de produits en sommes
(par exemple à l’aide de formules de trigonométrie)
2. décomposition des fractions rationnelles en sommes de fonctions simples
1.1.2
Changement de variables
Si on pose x = ϕ(t) où ϕ est une fonction définie sur [α, β], telle que ϕ(α) = a et ϕ(β) = b
et dérivable et bijective de [α, β] sur [a, b] alors on a
Z
b
Z
β
f (x) dx =
avec α = ϕ−1 (a) et β = ϕ−1 (b)
α
a
1.1.3
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt
Intégration par parties
Formule qui découle de la formule bien connue de dérivation d’un produit :
(uv)0 = u0 v + u v 0
Elle peut s’écrire :
Z
b
0
u(x) v (x) dx = [u(x) v(x)
a
]ba
Z
−
a
3
b
u0 (x) v(x) dx
(1.1)
4
Analyse
La notation différentielle du = u0 (x)dx et dv = v 0 (x)dx permet une écriture plus
synthétique pour les primitives :
Z
Z
udv = uv −
vdu
L’intégration par parties s’utilise dans des cas bien spécifiques :
1. Pour intégrer le produit d’un polynôme par une exponentielle, par un cosinus, ou
par un sinus.
On pose alors u(x) = P (x) pour avoir de proche en proche des polynômes de degré
de plus en plus petit dans l’intégrale à calculer, jusqu’à obtenir un polynôme de
degré zéro donc constant.
2. Pour se débarrasser des fonctions transcendantes qui ont des dérivées de type
fractions rationnelles comme ln(x), tan(x), et plus généralement ln(F (x)) où F
est une fraction rationnelle etc ..
On pose alors u(x) = f (x) où f est la fonction transcendante.
1.2
1.2.1
Généralisation de la notion d’intégrale
Introduction
On sait que si la fonction f est continue sur l’intervalle fermé borné [a, b] alors elle est
Rb
bornée sur [a, b] et de plus a f (x) dx est définie (définie signifiant que si a, b sont des
Rb
nombres connus et si f est connue alors a f (x) dx est un nombre fini). On peut encore
Rb
définir a f (x) dx si la fonction f est continue par morceaux et si elle reste bornée sur
l’intervalle [a, b] borné.
Par contre si l’intervalle d’intégration est non borné ( ] − ∞, b], [a, +∞[ , ] − ∞, +∞[ )
ou si la fonction est non bornée sur l’intervalle , l’intégrale est parfois définie et parfois
elle ne l’est pas :
Z
0
+∞
π
π
dx
= [arctan x]+∞
= −0=
définie
0
2
1+x
2
2
Z +∞
dx
= [ln |x|]+∞
= +∞ − 0 pas définie
1
x
1
Z 1
dx
= [ln |x|]10 = 0 − (−∞) = +∞ pas définie
x
0
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Dans ce chapitre on va essayer de préciser des règles pour savoir a priori, sans calculer de
primitive, dans quel cas on se trouve.
Intégration
1.2.2
5
Intégrale généralisée : cas d’un domaine non borné
Définition 1.1 Soit f une fonction définie et continue sur [a, +∞[ ,on dit que l’intégrale
R +∞
RX
f (x) dx converge au voisinage de +∞ ssi la limite de a f (x) dx existe et est finie
a
lorsque X → +∞.
Bien sur il y a une définition similaire dans le cas où a = −∞.
Exemple 1 :
X
Z
cos(x) dx = [sin(x)]X
0 = sin X − 0
0
Cette quantité n’a pas de limite quand X tend vers 0 , d’où la divergente de l’intégrale
Z +∞
cos(x) dx
0
Exemple 2 : La convergence de l’intégrale
X
Z
Si a 6= 0 ,
0
R +∞
0
exp(ax) dx dépend de a . En effet
exp(ax)
exp(ax) dx =
a
X
=
0
1
(exp(aX) − 1)
a
Or eaX tend vers l’infiniR si a > 0 et vers 0 si a < 0 .
X
De plus si a = 0 , on a 0 dx = X → +∞ , donc
X→+∞
Z
+∞
exp(ax) dx diverge pour a ≥ 0
0
Z
+∞
exp(ax) dx converge et vaut
0
Z
Exemple fondamental :
1
+∞
−1
a
pour a < 0
dx
xα
D’après (1.3) l’intégrale diverge pour α = 1 . Pour α 6= 1 une primitive est F (X) =
or si α > 1 alors X −α+1 → 0 et si α < 1 alors X −α+1 → +∞ . On a donc
X→+∞
Z
1
+∞
X −α+1
−α+1
X→+∞
dx
xα
converge ssi
diverge ssi
α>1
(1.5)
α≤1
Théorème de comparaison : Soient f et g deux fonctions positives telles que pour tout
x ∈ [a, +∞[ , 0 ≤ f (x) ≤ g(x) alors :
6
Analyse
R +∞
R +∞
- si a f (x) dx diverge alors a g(x) dx diverge aussi.
R +∞
R +∞
- si a g(x) dx converge alors a f (x) dx converge aussi.
Pour lever une indétermination il est commode d’utiliser la notion de fonctions équivalentes pour comparer le comportement de deux fonctions aux voisinage d’un point.
Définition 1.2 f et g sont deux fonctions équivalentes au voisinage de a (a fini
f (x)
=1
ou infini) si f (x) ∼ g(x) ⇐⇒ lim
a
x→a g(x)
Proposition 1.1 Soient deux fonctions f et g continues sur [a, +∞[ et équivalentes
au voisinage de +∞, alors
Z +∞
Z +∞
f (x) dx et
g(x) dx sont de même nature
a
a
Théorème 1.1 Critère de Riemann.
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[ :
Z +∞
cste
f (x) dx
f (x) ∼ α
alors l’intégrale
+∞ x
a
α>1
converge ssi
Quand on peut l’utiliser, ce critère permet d’éviter de calculer inutilement une primitive
dans le cas où une intégrale généralisée diverge.
Parfois ce critère n’est pas utilisable et dans ce cas on utilise soit la définition, soit une
majoration ( si l’on veut prouver la convergence de l’intégrale) ou une minoration (dans
le cas contraire).
1.2.3
Intégrale généralisée : cas d’une fonction non bornée
Définition 1.3 Soit une fonction f définie et continue sur ]a, b] et telle que f (x) → +∞
x→a
Rb
, alors on dit que l’intégrale a f (x) dx converge au voisinage de a ssi la limite de
Rb
f (x) dx existe et est finie lorsque ε → 0
a+ε
Z b
dx
Exemple fondamental en a :
α
a (x − a)
Comme en (1.4), la primitive est en logarithme et l’intégrale diverge pour α = 1. Pour
−α+1
α 6= 1 , la fonction n’est pas définie pour x = a et la primitive est F (X) = (X−a)
or
−α+1
−α+1
−α+1
si α > 1 alors (X − a)
→ +∞ et si α < 1 alors (X − a)
→ 0 . Donc on a :
X→a
Z
a
b
dx
(x − a)α
X→a
converge ssi
α<1
diverge ssi
α≥1
(1.6)
Intégration
7
Proposition 1.2 Comparaison : Soient 2 fonctions f et g continues sur ]a, b] alors
Z
si ∀x ∈]a, b]
on a
0 ≤ f (x) ≤ g(x)
alors
b
Z
b
f (x) dx ≤
0≤
a
Théorème 1.2 Critère de Riemann.
Soit f une fonction continue sur ]a, b] avec b fini
Z b
cste
f (x) dx converge ssi
f (x) ∼
alors l’intégrale
a (x − a)α
a
g(x) dx.
a
α<1
Attention : On ne peux pas écrire y α pour y < 0 , car si α est non entier on ne peux pas
dire que cela signifie le produit de y par lui même α fois ! Pour un réel quelconque α, on
défini y α par :
y α = exp(α ln y)
Il faut donc impérativement que y soit positif ( ou éventuellement nul).
Donc pour a < x < b on ne peut pas écrire (x − b)α mais plutôt (b − x)α . En suivant la
même démarche que ci-dessus on vérifie que :
Z b
dx
converge ssi
α<1
(1.7)
α
a (b − x)
diverge ssi
α≥1
Théorème 1.3 Critère de Riemann.
Soit f une fonction continue sur [a, b[ avec a fini
Z b
cste
alors l’intégrale
f (x) dx converge ssi
f (x) ∼
b (b − x)α
a
Z
+∞
f (x) dx avec f (x) =
Exemple 1 : Convergence de
0
α<1
2x
.
(x + 2)(x2 + 2x + 2)
La fonction f est définie et continue sur IR \{−2} donc sur [0, +∞[ . On a
f (x) ∼
+∞
2
x2
A priori l’intégrale converge. Une primitive est F (x) = ln(x2 + 2x + 2) − 2 ln |x + 2|, à
l’infini ceci donne une forme indéterminée +∞ − ∞ . Appliquons la définition en essayant
de lever cette indétermination
2
Z X
X + 2X + 2 − (ln 2 − 2 ln 2)
f (x) dx = F (X) − F (0) = ln 2
(X
+
2)
0
R +∞
2
or F (X) ∼ ln X
→
ln
1
=
0
donc
f (x) dx converge et vaut ln 2.
2
X
0
+∞
X→+∞
8
Analyse
RX
S’il n’y a pas de fonction équivalente mais si f est positive alors F (X) = a f (x) dx est
une croissante de X. On peut alors utiliser une majoration pour montrer la convergence
de l’intégrale ou une minoration par une intégrale divergente pour montrer la divergence
grâce à la proposition
R +∞ suivante.
Exemple 2 : 0 exp(−x2 ) dx
R +∞
Sur [1, +∞[ on a 0 ≤ x ≤ x2 donc −x2 ≤ −x et 0 ≤ x ≤ x2 donc 0 ≤ 1 exp(−x2 ) dx ≤
R +∞
R +∞
R1
+∞
1
2
exp(−x)
dx
=
[−
exp(−x)]
=
donc
exp(−x
)
dx
=
exp(−x2 ) dx +
1
e
0
0
R1+∞
exp(−x2 ) dx converge car sur [0, 1] la fonction est continue et sur [1, +∞[ grace à la
1
majoration on a la convergence.
Si f n’est pas positive ou de signe constant, pour montrer la convergence de l’intégrale,
on essaye de majorer |f (x)| et on utilise le théorème suivant.
Théorème
1.4 Convergence
absolue
Rb
Rb
|f (x)| dx converge =⇒ a f (x)dx converge absoluement donc converge
a
Démonstration. Si f + est la partie positive de f et f − l’opposé de la partie
R b négative
alors |f | = f + + f − et f = f + − f − et la proposition ci-dessus entraine que a f + (x) dx
Rb
Rb
Rb
Rb
et a f − (x) dx convergent, ce qui entraine que a f (x) dx = a f + (x) dx − a f − (x) dx
converge aussi
Z +∞
sin x
√
Exemple :
dx . Le domaine de f est ]0, +∞[ .
x(1 + x)
0
Il y a Z2 problèmes
fonction n’est pas définie en 0 et le domaine est non borné.
Z 1 : Zla +∞
+∞
On a
=
+
.
0
0
1
Pour x → 0 la fonction est prolongeable
par continuité et reste bornée car
Z 1
sin x
x
sin x
√
√
∼ √ → 0 donc
dx est définie.
x(1 + x) 0 x x→0
x(1 + x)
0
sin x
Comme √
ne garde pas un signe constant quand x → +∞, on cherche à majorer
x(1 + x)
la valeur absolue sur [1, +∞[.
sin x 1
1
√
x(1 + x) ≤ √x(1 + x) ≤ x3/2
R +∞
comme α = 3/2 > 1, on en déduit que l’intégrale 0 |f (x)| dx converge et donc
R +∞
f (x) dx est absolument convergente.
0
1.3
Intégrales double ou triple
Les sections précédentes ne concernent que les intégrales d’une fonction d’une seule
variable réelle. Dans ce cours il sera, de temps en temps, nécessaire de considérer des
intégrales portant sur des fonctions de plusieurs variables réelles.
Intégration
9
Commençons par un exemple.
Soit f (x, y) la fonction nulle sur IR2 sauf pour (x, y) ∈ D = [a, b] × [c, d] ⊂ IR2 , avec f
continue sur D , nous pouvons definir
Z Z
Z b Z d
f (x, y) dy dx
f (x, y) dxdy =
D
a
c
On verifie que on trouve le même resultat en intégrant d’abord en x puis en y :
Z Z
Z d Z b
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy
D
c
a
Remarque 1.1 Si f (x, y) = u(x)v(y) alors
Z b
Z
Z Z
f (x, y) dxdy ==
u(x)dx
D
a
d
v(y) dy
c
Dans le cas d’intégrales généralisées, on a le théorème suivant :
Théorème 1.5 de Fubini : Une fonction f (x, y) est sommable sur IR2 ssi |f (x, y)| est
sommable sur IR2 et alors
Z Z
Z Z
f (x, y) dx dy
f (x, y) dxdy =
IR
IR
IR2
Z
Z
f (x, y) dy dx
=
IR
IR
10
Analyse
Chapitre 2
Les espaces L1(I) et L2(I)
L’ensemble des fonctions est muni d’une structure d’espace vectoriel (on peut additionner
deux fonctions et on peut multiplier une fonction par un scalaire réel ou complexe).
Pour pouvoir évaluer la précision d’une proximation d’une fonction (ou d’un signal) par
une autre fonction, il faut disposer d’une notion de distance entre deux fonctions.
En fait de nombreux choix sont possibles, mais nous ne présenterons ici que les 2 notions
les plus utiles en ce qui concerne les mathématiques pour l’ingénieur.
Dans la suite I désigne un intervalle, ce peut être IR, ]0, +∞[, ]a, b[ , il peut donc être
borné ou non borné.
Nous allons introduire pour les fonctions définies sur un intervalle I (borné ou non) deux
normes différentes.
La première, assez naturelle, consiste à mesurer l’écart entre 2 fonctions f et g par l’aire
qui sépare leur courbe représentative. Si cette aire est nulle on dit que la norme est nulle.
La seconde norme considérée ici consiste à mesurer l’aire sous le carré de f − g. Elle est
plus intéressante pour l’ingénieur car que ce soit en traitement du signal, en électricité
ou en mécanique le carré de cette norme permet de calculer l’énergie d’un signal ou une
puissance électrique ou une énergie cinétique ou encore une énergie de déformation, etc .
2.1
Espace L1(I) des fonctions sommables sur I
On considère l’espace vectoriel sur IR des fonctions définies sur I et à valeurs réelles (I
borné ou non).
Définition 2.1 Une fonction est dite sommable sur I si et seulement si
Z
|f (x)| dx < +∞
I
11
12
Analyse
L’ensemble des fonctions sommables forme un sous espace vectoriel.
Si deux fonctions sommables f et g sont continues sur I alors
Z
|f (x) − g(x)| dx
=0⇒
∀x ∈ I,
f (x) = g(x).
I
Mais si f et g sont discontinues sur I , par exemple si ce sont 2 fonctions portes légèrement
différentes :
1 si − 1 ≤ x ≤ 1
1 si − 1 < x < 1
f (x) =
g(x) =
0
sinon
0
sinon
on voit que f (x) − g(x) = 0 sauf pour x = −1 ou pour x = 1 et que
Z
|f (x) − g(x)| dx = 0.
IR
cela signifie que si f et g sont seulement continues par morceaux, on peut seulement dire
que :
Z
|f (x) − g(x)| dx = 0 ⇒ f (x) = g(x) sauf pour x = −1 et x = 1
I
Les fonctions f et g sont donc égales sauf en ces points. On introduit la notion commode
de "presque partout" notée pp.
Définition 2.2 Si deux fonctions sont égales sauf en un nombre finis de points ou même
sur un ensemble dénombrable de points alors on dit que ces fonctions sont égales presque
partout.
On peut alors dire que :
Z
|f (x) − g(x)| dx = 0
pp
⇒
f =g
I
On peut alors définir une norme sur le sous espace vectoriel des fonctions sommables sur
I par :
Z
kf kL1 = |f (x)| dx
I
et on a la propriété
kf kL1 = 0
⇒
pp
f =0
Définition 2.3 On note L1 (I) l’ensemble des fonctions sommables sur I où on confond
les fonctions égales presque partout. L1 (I) est muni de la norme :
Z
kf kL1 = |f (x)| dx
I
Espaces L1 et L2
13
pp
Ainsi on peut écrire que kf kL1 = 0 ⇐⇒ f = 0 .
Remarque 2.1 Dans l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes
Z
kf kL1 = |f (x)| dx
I
avec |f (x)| égal au module du nombre complexe f (x) .
2.2
Espace L2(I) des fonctions
de carré sommable sur I
On considère d’abord l’espace vectoriel sur IR des fonctions définies sur I et à valeurs
réelles.
Définition 2.4 Une fonction est dite de carré sommable sur I si et seulement si
Z
f (x)2 dx < +∞
I
Définition 2.5 On note L2 (I) l’ensemble des fonctions de carré sommable sur I où on
confond les fonctions égales presque partout.
L2 (I) est muni du produit scalaire :
Z
(f, g) = f (x)g(x) dx
I
et de la norme correspondante : kf kL2 =
qR
I
f (x)2 dx
L’espace L2 (I) est plus intéressant que l’espace L1 (I) pour 2 raisons :
1. la première d’ordre physique car souvent l’énergie dissipée sur un intervalle de
temps I = [0, T ] peut s’exprimer comme l’intégrale du carré d’une fonction (énergie
electrique, énergie cinétique, etc ), et la textbfpuissance dissipée est définie par
RT
1
|f (x)|2 dx.
T 0
2. la seconde raison est d’ordre mathématique car l’existence d’un produit scalaire
va permettre d’utiliser les notions bien connues de géométrie, comme la projection
orthogonale, pour trouver la meilleure approximation d’une fonction sous certaines
conditions.
Comme on sera amené à considérer des fonctions à valeurs complexes, on utilisera une
généralisation de la notion de produit scalaire, on définira dans ce cas le produit scalaire
généralisé (appelé aussi produit hermitien) (f, g) par :
Z
(f, g) = f (x)g(x) dx
I
14
Analyse
où g(x) représente la valeur complexe conjuguée de g(x).
On vérifie bien alors la positivité du produit scalaire d’une fonction par elle même :
Z
Z
(f, f ) = f (x)f (x) dx = |f (x)|2 dx
I
I
Remarque 2.2 Si f est continue, bornée et à support borné (c’est à dire nulle hors de
ce support) alors f ∈ L1 (IR) ∩ L2 (IR).
Si I est un intervalle borné et si f est bornée et continue par morceaux sur I alors
f ∈ L1 (I) ∩ L2 (I).
Exemples : On peut vérifier que les fonctions e−|ax| ,
2
x2
1
, et la fonction gaussienne
+1
e−x , sont dans L1 (IR) ∩ L2 (IR)
On peut aussi facilement montrer que la fonction sinus cardinal
on montre aussi (plus difficilement !) que
sin(x)
∈
/ L1 (IR).
x
sin(x)
appartient à L2 (IR),
x
1
Le domaine de définition de f (x) = p
est IR∗ . En appliquant le critère de
2
|x|(x + 1)
1
Riemann en 0, on montre que p
∈
/ L2 (IR) ( la fonction se comporte comme
|x|(x2 + 1)
1
au voisinage de 0). Mais en appliquant le critère de Riemann en 0 et à l’infini, on
|x|
montre que f ∈ L1 (IR).
1
On a p ∈
/ L1 (IR) d’après le critère de Riemann à l’infini, mais sur l’intervalle borné
|x|
1
[−1, 1] on a p ∈ L(−1, 1) .
|x|
2.3
Relation entre L1(I) et L2(I)
Si l’intervalle I est non borné, il n’y a pas de relation d’inclusion entre L1 (I) et L2 (I) ,
comme le montre les exemples ci-dessus.
Par contre dans le cas où l’intervalle I = [a, b] est borné, alors l’inégalité de Schwarz
permet de prouver que L2 (a, b) est inclus dans L1 (a, b).
Espaces L1 et L2
15
Inégalité de Schwarz
s
sZ b
Z b
Z b
2
f (x)g(x) dx ≤
|f (x)| dx
|g(x)|2 dx
a
a
(2.1)
a
Cette inégalité est seulement l’interprétation dans l’espace L2 (a, b) de la propriété générale
concernant les produits scalaires et les normes associées.
Le produit scalaire de deux vecteurs est majoré en module par le produit des normes de
chacun des vecteurs
|(f, g)| ≤ kf k kgk
En choisissant pour g la fonction constante égale à 1 sur [a, b], et pour f une fonction
égale à son module, on obtient
Z b
sZ b
√
2
≤
|f
(x)|
dx
|f
(x)|
dx
b−a
a
a
et donc si la fonction f est dans L2 (a, b) elle est aussi forcément dans L1 (a, b).
2.4
Compléments
L’intérêt des espaces vectoriels en dimension finie, c’est que, pour définir une transformation linéaire, il suffit de la définir sur la base considérée. Mais l’ensemble des fonctions de
la variable réelle x est de dimension infini (puisqu’il contient l’ensemble de toutes les fonctions polynômiales, etc ...). La dimension infinie complique la situation. Mais on montre
que l’espace L2 (I) est ce qu’on appelle un espace de Hilbert séparable , c’est à dire
qu’il existe un ensemble infini mais dénombrable de fonctions en , n ∈ N , orthogonales
2 à 2, et telles que toute fonction de l’espace soit une combinaison linéaire infinie unique
des éléments de cette base :
f=
∞
X
an e n
avec an = (f, en )
n=1
Cette décomposition est unique et on a
∀n ∈ N
pp
an = 0 ⇐⇒ f = 0.
L’exemple le plus important en mathématiques du signal est la décomposition en série
de Fourier qui n’est rien d’autre que la décomposition d’une fonction de l’espace L2 (0, T )
16
Analyse
par rapport à la base orthogonale formée par les fonctions
u0 (x) = 1
u1 (x) = cos(
2π
x)
T
v1 (x) = sin(
2π
x)
T
.......
uk (x) = cos(k
2π
x)
T
vk (x) = sin(k
2π
x)
T
.......
Les séries de Fourier font l’objet de l’étude de chapitre suivant.
2.5
Rappels sur les espaces vectoriels
Un des exemples les plus élémentaires d’espaces vectoriels est l’espace IR3 .
−
−
−
Si →
e1 , →
e2 , →
e3 est une base de IR3 alors il existe un triplet de nombres réels (x, y, z) tel
que :
→
−
−
−
−
V =x→
e1 + y →
e2 + z →
e3
(2.2)
→
−
−
−
−
Les nombres x, y, z sont les composantes du vecteur V par rapport à la base (→
e1 , →
e2, →
e3).
→
−
→
−
→
−
3
Dans IR on définit un produit scalaire noté ( V , U ) et la norme associée, notée V ,
→
→
− →
−
− 2
est définie par V = ( V , V ).
Si deux vecteurs ont un produit scalaire nul, ces vecteurs sont dits orthogonaux.
Si un vecteur a une norme égale à 1 , on dit qu’il est normé.
Un sous espace vectoriel est un sous ensemble stable par l’addition des vecteurs et par
la multiplication par un nombre réel.
Pour trouver la meilleure approximation d’un vecteur par un vecteur appartenant à un
sous espace vectoriel on projette orthogonalement le vecteur sur le sous espace vectoriel.
Pour faire de la géométrie, on choisit une base orthonormée.
→
−
Pour déterminer la composante x du vecteur V par rapport à la base orthonormée
→
−
−
−
−
−
(→
e1 , →
e2 , →
e3 ), il suffit de faire le produit scalaire de V par le vecteur →
e1 :
→
− −
−
−
−
−
(V , →
e1 ) = (x →
e1 + y →
e2 + z →
e3 , →
e1 )
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
= x ( e1 , e1 ) + y ( e2 , e1 ) + z (→
e3 , →
e1 ) linéarité du produit scalaire
=x+0+0
puisque la base est orthonormée
→
− −
d’où
x = (V , →
e1 ) .
→
−
En faisant de même pour i = 2 et 3, on trouve les composantes du vecteur V par rapport
−→ →
−
à la base orthonormée {e1 , −
e2 , →
e3 } :
→
− −
x = (V , →
e1 ),
→
− −
y = (V , →
e2 ),
→
− −
z = (V , →
e3 ).
(2.3)
Espaces L1 et L2
17
→
−
−
−
−
Si U est un vecteur de composantes (x0 , y 0 , z 0 ) dans la base {→
e1 , →
e2 , →
e3 } alors, en utilisant
la linéarité du produit scalaire et l’orthogonalité de la base, on obtient :
→
− →
−
( V , U ) = (x
= (x
→
−
e1 + y
→
−
e +y
→
−
−
−
−
−
e2 + z →
e3 , x0 →
e1 + y 0 →
e2 + z 0 →
e3 )
→
−
→
−
−
→
−
−
−
−
0 →
e2 + z e3 , x e1 ) + (x e1 + y →
e2 + z →
e3 , y 0 →
e2 )
1
→
−
→
−
→
−
−
0 →
+ (x e1 + y e2 + z e3 , z e3 )
−
−
−
−
−
−
= xx0 (→
e1 , →
e1 ) + yy 0 (→
e2 , →
e2 ) + zz 0 (→
e3 , →
e3 ) orthogonalité de la base
Si de plus la base est normée, le produit scalaire est égal à :
→
− →
−
( V , U ) = xx0 + yy 0 + zz 0
(2.4)
→
−
Et donc la norme au carré de V s’exprime en fonction de ses composantes par :
→
→
− →
−
− 2
V = ( V , V ) = x2 + y 2 + z 2
(2.5)
Si la base est seulement orthogonale sans être normée, on a alors :
→
− −
2
−
−
−
−
−
−
−
(V , →
e1 ) = x (→
e1 , →
e1 ) + y (→
e2 , →
e1 ) + z (→
e3 , →
e1 ) = x k→
e1 k + 0 + 0
Donc :
→
− −
(V , →
e1 )
x= →
2 ,
−
ke k
→
− −
(V , →
e3 )
z= →
2 .
−
ke k
(2.6)
→
→
− →
−
− 2
2
2
2
−
−
−
e1 k + y 2 k→
e2 k + z 2 k→
e3 k
V = ( V , V ) = x2 k→
(2.7)
1
et
→
− −
(V , →
e2 )
y= →
2 ,
−
ke k
2
3
Pour que l’expression de la norme en fonction des composantes soit simple, il est essentiel
que la base soit au moins orthogonale.
Ces propriétés bien connues dans l’espace IR3 , peuvent être étendues à des espaces
vectoriels plus généraux.
Pour pouvoir parler d’espace vectoriel il faut avoir un ensemble d’éléments que l’on peut
additionner et que l’on peut multiplier par un nombre (ici réel ou complexe) . Un élément
de l’espace vectoriel est appelé vecteur par opposition au mot scalaire qui désigne un
nombre de IR ou C .
Exemples :
1. L’ensemble des fonctions réelles de la variable réelle x forme un espace vectoriel sur
IR car on peut additionner 2 fonctions et on peut multiplier une fonction par un
nombre réel et ces 2 opérations vérifient les propriétés qui donnent à l’ensemble une
structure d’espace vectoriel sur IR .
2. De même l’ensemble des fonctions à valeurs complexes de la variable réelle x forme
un espace vectoriel sur C .
18
Analyse
3. L’ensemble des fonctions polynômiales de degré n forment un sous espace vectoriel.
4. Les matrices à m lignes et n colonnes forment un espace vectoriel sur C .
Les notions bien connues dans IR3 de norme de vecteur et de produit scalaire de 2 vecteurs
s’étendent aux espaces vectoriels abstraits.
Comme les espaces vectoriels qui vont nous intéresser dans ce cours sont des espaces dont
les vecteurs sont des fonctions. Nous noterons f ou g deux élements quelconque d’un
espace vectoriel E .
Définition 2.6 Une norme sur un espace vectoriel E réel ou complexe (i.e. les scalaires
sont dans IR ou C) est une application de E dans IR+
f → kf k
telle que :
kf k = 0 ⇐⇒ f = 0
kλf k = |λ| kf k
λ∈K
kf + gk ≤ kf k + kgk
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Définition 2.7 Un produit scalaire dans un espace vectoriel E réel est une application
de E × E dans l’ensemble des scalaires IR. (d’où le nom !) Si on note (f, g) le produit
scalaire de f et g, on doit avoir :
(f, g) = (g, f )
symétrie
(λf + µg, h) = λ(f, h) + µ(g, h)
(f, f ) ≥ 0
positivité
(f, f ) = 0 ⇐⇒ f = 0
linéarité
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Remarque
2.3 Connaissant le produit scalaire, la norme associée est définie par kf k =
p
(f, f ) .
Chapitre 3
Les séries de Fourier
3.1
Introduction et rappels
L’idée fondamentale de Leonhard Euler (1707-1783) , utilisée avec brio par Joseph Fourier
(1768-1830) pour résoudre le problème de la diffusion de la chaleur, a été de décomposer
toute fonction périodique en une somme infinie d’harmoniques. Une série trigonométrique
S(x) s’écrit formellement :
2πx
2πx
n2πx
n2πx
S(x) = a0 + a1 cos(
) + b1 sin(
) + ... + an cos(
) + bn sin(
) + ...
T
T
T
T
X
n2πx
n2πx
= a0 +
an cos(
) + bn sin(
)
T
T
n∈N ∗
Les coefficients an et bn sont des nombres réels et T est un nombre réel positif, qui
représente la période de la somme S(x), si cette somme est définie. Cette série admet
une formulation complexe équivalente :
X
in2πx
S(x) =
cn exp(
)
T
n∈Z
avec
an − ibn
an + ibn
et
c−n =
2
2
Une série trigonométrique quelconque ne converge pas nécessairement vers une fonction.
Les séries trigonométriques ont la particularité de pouvoir converger vers des fonctions
discontinues (ce qui n’est pas le cas pour les séries entières).
Une fonction de période T est parfaitement définie par son comportement sur un intervalle
de longueur T .
En traitement du signal
RT
1. l’énergie totale sur un intervalle [0, T ] est , à une constante près, 0 |f (t)|2 dt
RT
2. la puissance d’un signal périodique est T1 0 |f (t)|2 dt.
c 0 = a0
et pour
n ∈ N∗
cn =
19
20
Analyse
Ces deux notions font intervenir la norme dans L2 (0, T ). Si on considère la somme de 2
signaux f et g alors l’énergie de la somme est
kf + gk2 = (f + g, f + g) = kf k2 + 2 (f, g) + kgk2 .
Pour que l’énergie de la somme soit la somme des énergies, il faut que le produit scalaire
(f, g) soit nul, donc que les signaux f et g soient orthogonaux.
L’importance des séries trigonométrique provient de ce que les fonctions
1, cos(
2πx
n2πx
n2πx
2πx
), sin(
), ... , cos(
), sin(
), ...
T
T
T
T
sont 2 à 2 orthogonales et que, de plus, elles forment une base de l’espace L2 (0, T ).
3.2
Série de Fourier trigonométrique
L’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle [0, T ] et de carré
sommable forme un espace vectoriel sur IR . Si on convient de confondre les fonctions qui
sont égales presque partout, alors on peut munir cet espace, noté L2 (0, T ), d’une norme
définie par :
s
Z T
kf kL2 (0,T ) =
f (x)2 dx
0
et d’un produit scalaire :
Z
(f, g) =
T
f (x)g(x) dx
0
Théorème 3.1 Les fonctions 1, cos( 2πx
), sin( 2πx
), ..., cos( n2πx
), sin( n2πx
) , ... forment
T
T
T
T
2
une base orthogonale de l’espace de Hilbert L (0, T ) . C’est-à-dire que toute fonction de
carré sommable sur [0,T], peut s’écrire comme une combinaison linéaire infinie de ces
fonctions de base :
2πx
2πx
n2πx
n2πx
pp
f (x) = a0 + a1 cos(
) + b1 sin(
) + ... + an cos(
) + bn sin(
) + ...
T
T
T
T
L’égalité n’a lieu que presque partout puisque c’est une égalité dans L2 (0, T ).
On peut aisément vérifier que les fonctions 1, cos( 2πx
), sin( 2πx
), ..., cos( n2πx
), sin( n2πx
),
T
T
T
T
... sont deux à deux orthogonales.
On peut démontrer, et nous l’admettrons, que ces fonctions forment ce qu’on appelle une
base de l’espace L2 (0, T ) .
Les coefficients de la série de Fourier Sf de la fonction f dépendent bien sûr de f . Pour
les définir, on utilise les propriétés vues au chapitre 1.
Théorème 3.2 Les coefficients de la série de Fourier Sf de la fonction f sont définis
par :
Séries de Fourier
21
T
1
a0 =
T
Z
2
an =
T
Z
f (x) dx
(3.1)
0
T
n2πx
f (x) cos(
) dx
T
0
2
bn =
T
et
T
Z
f (x) sin(
0
n2πx
) dx
T
(3.2)
Et on a l’identité de Parseval :
Z
∞
T
|f (t)|2 dt = kf k2L2 (0,T ) = T
0
1X 2
an + b2n
a20 +
2 n=1
!
(3.3)
Démonstration : La base ci-dessus est orthogonale mais pas normée. En introduisant la
on a :
pulsation ω = 2π
T
k1k2L2 (0,T ) = T ,
kcos(nωx)k2L2 (0,T ) = ksin(nωx)k2L2 (0,T ) =
T
2
Grâce à l’orthogonalité de la base, on déduit que :
a0 =
(f, 1)
,
(1, 1)
an =
(f, cos(nωx))
,
kcos(nωx)k2L2
an =
(f, sin(nωx))
.
ksin(nωx)k2L2
En utilisant (3.2) on obtient les formules donnant les coefficients de la série de Fourier de
f (3.1), (3.2).
La généralisation de la formule de Pythagore donne :
kf k2L2 (0,T )
=
a20
k1k2L2
+
∞
X
a2n kcos(nωx)k2L2 + b2n ksin(nωx)k2L2
n=1
ce qui entraîne l’identité de Parseval (3.3).
Cette identité de Parseval exprime que l’énergie totale sur une période est égale à la
somme des énergies de chaque harmonique ou que la puissance est la somme
des puissances de chaque harmonique :
1
T
3.3
Z
∞
T
2
|f (t)| dt =
0
a20
1X 2
+
an + b2n
2 n=1
Série de Fourier complexe
L’ensemble des fonctions à valeurs complexes, définies sur un intervalle [0, T ] et de module
au carré sommable forme un espace vectoriel sur C . Si on convient de confondre les
22
Analyse
fonctions qui sont égales presque partout, alors on peut munir cet espace, noté L2 (0, T ),
d’une norme définie par :
s
Z T
|f (x)|2 dx
kf kL2 (0,T ) =
0
et d’un produit scalaire généralisé :
Z
(f, g) =
T
f (x)g(x) dx
0
Théorème 3.3 Les fonctions exponentielles complexes exp(inωx), où n ∈ Z et où ω = 2π
T
est la pulsation, forment une base orthogonale de l’espace de Hilbert L2 (0, T ) sur C. C’està-dire que toute fonction de module au carré sommable sur [0,T], peut s’écrire comme une
combinaison linéaire infinie de ces fonctions de base :
pp
f (x) =
X
cn exp(
n∈Z
in2πx
).
T
Encore un fois l’égalité n’a lieu que presque partout puisque c’est une égalité dans L2 (0, T ).
On peut aisément vérifier que les fonctions exp(inωx) où n ∈ Z sont deux à deux
orthogonales dans L2 (0, T ).
On peut démontrer, et nous l’admettrons encore, que ces fonctions forment une base de
l’espace L2 (0, T ) sur C.
Théorème 3.4 Les coefficients de la série de Fourier complexe Sf de la fonction f sont
définis par :
Z
1 T
−in2πx
cn =
f (x) exp(
) dx
T 0
T
Et on a l’identité de Parseval :
Z
T
2
|f (t)| dt =
0
kf k2L2 (0,T )
=T
∞
X
|cn |2
n=−∞
Démonstration : La base ci-dessus est orthogonale mais pas normée. On a :
Z T
Z T
2
2
kexp(inωx)kL2 (0,T ) =
|exp(inωx)| dx =
1 dx = T
0
0
Grâce à l’orthogonalité de la base, on déduit que :
Z
Z T
(f, exp(inωx))
1 T
1
f (x)exp(inωx) dx =
f (x) exp(−inωx) dx
cn = =
exp( in2πx )2 2
T 0
T
0
T
L
(3.4)
Séries de Fourier
23
D’où les formules donnant les coefficients de la série de Fourier de f .
L’identité de Parseval (3.4) signifie que le carré de la norme du vecteur f est au coefficient
T près la somme des carrés des modules des composantes cn de ce vecteur :
kf k2L2 (0,T )
=T
∞
X
cn cn = T
n=−∞
3.4
∞
X
|cn |2
n=−∞
Convergence des sommes partielles de la série de
Fourier dans L2(0, T )
Soit f une fonction de L2 (0, T ) .
Définition 3.1 La somme de la valeur moyenne et des harmoniques d’ordre inférieur ou
égal à n, s’appelle la somme partielle d’ordre n de la série de Fourier Sf de f et se note
Sn :
Sn (x) = a0 + a1 cos(
2πx
2πx
n2πx
n2πx
) + b1 sin(
) + ... + an cos(
) + bn sin(
).
T
T
T
T
Remarque 3.1 Cette somme partielle peut aussi s’exprimer à l’aide des cn :
Sn (x) =
k=n
X
ck exp(
k=−n
ik2πx
).
T
Théorème 3.5 Les sommes partielles Sn convergent au sens de la norme L2 (0, T ) vers
la fonction f c’est à dire que :
kSn − f kL2 → 0
n→∞
De plus on peut calculer l’erreur commise en approximant f par Sn car on a :
kSn − f k2L2 = kf k2L2 − kSn k2L2
Lorsque n → ∞ le rapport de l’énergie du signal approché sur l’énergie du signal initial f
, tend vers 100% :
kSn k2L2
→ 100%
kf k2L2 n→∞
Démonstration : Comme les fonctions Sn − f et Sn sont orthogonales et que l’on a
f = (f − Sn ) + Sn , on en déduit par Pythagore que :
kf k2L2 = kSn − f k2L2 + kSn k2L2
24
Analyse
3.5
Convergence ponctuelle des sommes
partielles de la série de Fourier
Théorème 3.6 (de Dirichlet) Soit f une fonction continue et dérivable par morceaux
sur [0, T ], telle qu’en tout point de discontinuité x0 il y aît une limite finie à gauche
+
f (x−
0 ) et une limite finie à droite f (x0 ), alors la suite de fonctions formée par les sommes
partielles Sn (x) converge ponctuellement sur [0, T ] et on a :
Sn (x) → Sf (x) = f (x)
pour tout x où f est continue
n→∞
Sn (x0 ) → Sf (x0 ) =
n→∞
+
f (x−
0 ) + f (x0 )
2
pour tout x0 où f est discontinue
La suite des sommes partielles Sn (x) converge presque partout vers la fonction f (x) .
Remarque 3.2 Il est clair que sous les hypothèses du théorème ci-dessus la fonction f
est aussi une fonction de L2 (0, T ) .
3.6
Dérivation terme à terme
Théorème 3.7 Si la série de Fourier Sf de f est absolument convergente, c-à-d si :
|a0 | +
∞
X
(|an | + |bn |) < ∞
n=1
ousi
∞
X
|cn | < ∞
n=−∞
alors on peut dériver cette série terme à terme et la série dérivée converge presque partout
vers la fonction dérivée f 0 .
3.7
Vérification des résultats, erreurs usuelles
Tout d’abord, il est important de noter que si une fonction g est périodique de période T ,
son intégrale sur [0, T ] est égale à son intégrale sur n’importe quel intervalle de longueur
T :
Z T
Z α+T
∀α
g(x) dx =
g(x) dx
0
α
En particulier si f est de période T et paire (resp. impaire) alors il sera judicieux d’intégrer
sur [− T2 , T2 ] pour calculer ses coefficients de Fourier plutôt que sur [0, T ]. Il est alors facile
Séries de Fourier
25
de vérifier que :
si f est paire,
si f est impaire,
alors
alors
bn = 0
an = 0
pour n ≥ 1
pour n ≥ 0
Il est facile de vérifier sur un graphe que les valeurs calculées sont raisonnables.
- a0 doit être le valeur moyenne de la fonction
- la parité de la série doit être celle de la fonction
- si T est la période alors ω =
2π
.
T
Les erreurs les plus usuelles sont les suivantes :
- si en intégrant on doit, par exemple, diviser par n − 1, (resp. n − k ), alors il faut traiter
à part le cas n = 1 (resp. n = k ).
- si par exemple la fonction est définie par f (x) = x3 pour x ∈ [0, T /2], et est paire et
de période T , alors il est faux d’écrire :
Z
2 T 3
n2πx
an =
x cos(
) dx
T 0
T
car la fonction n’est plus égale à x3 sur [T /2, T ] . Il faut utiliser la périodicité et
intégrer sur [−T /2, T /2] , puis utiliser la parité de f et du cosinus.
- il est faux ensuite de dire que la série de Fourier converge pp vers x3 .
En fait, elle ne converge vers x3 que sur [0, T /2[, sur ] − T /2, 0] c’est vers −x3 et sur
]T /2, T ] c’est vers −(x − T )3 .
3.8
Remarques générales
Toute fonction f définie sur un intervalle borné peut être prolongée sur IR par une fonction
périodique fe, mais il y a une infinité de façon de faire ce prolongement. Dans le cas d’une
fonction définie sur [0, a] , on peut par exemple :
- la prolonger par périodicité de période T = a
- la rendre paire puis la prolonger par périodicité de période T = 2a
- la rendre impaire puis la prolonger par périodicité de période T = 2a
Il y a bien d’autres choix possibles. Mais il est important de noter que si on veut que
la somme partielle converge le plus rapidement possible vers f , il vaut mieux, si on le
peut, choisir le prolongement sur IR qui est le plus régulier (c’est-à-dire continu et le plus
dérivable possible sur IR ).
La question qui se pose naturellement est de savoir si on ne pourrait pas obtenir un outil
similaire à la décomposition en série de Fourier pour des fonctions définie sur IR et non
périodiques. L’outil correspondant est la transformation de Fourier.
26
Analyse
Chapitre 4
Le produit de convolution
4.1
Définitions
Le produit de convolution de deux fonctions f et g , est une fonction notée h =
f ∗ g avec
h(x) =
R +∞
−∞
(4.1)
f (y)g(x − y) dy
Le produit de convolution n’est défini que si cette intégrale généralisée est convergente.
L’intégrale ci-dessus fait intervenir 2 variables : la variable d’intégration ou variable muette
(ici y ) et une autre qui permet de décrire la fonction h produit de convolution des 2
fonctions f et g.
Une fonction est dite causale si elle est définie sur [0, ∞[ et prolongée par 0 sur ] − ∞, 0[.
Si les fonctions f et g sont causales alors (4.1) peut être simplifié.
Comme f et g sont nulles sur ] − ∞, 0[, on a f (y) = 0 sur ] − ∞, 0[ et g(x − y) = 0 pour
x − y < 0. Ici il est très important de comprendre que l’on veut calculer la valeur de h en
x et donc x est imposé, par contre ici la variable d’intégration (muette) est y et elle doit
parcourir IR . Donc on a g(x − y) = 0 pour x < y c.a.d. pour y ∈]x, +∞[ .
Si x ≤ 0, comme l’intégrale porte sur les y > 0, on a x ≤ 0 < y donc g(x − y) = 0 et
h(x) = 0 .
Z +∞
Z +∞
h(x) =
f (y)g(x − y) dy = 0 +
f (y)g(x − y) dy
−∞
0
Si x > 0 , on peut écrire
Z
0
Z
x
f (y)g(x − y) dy +
h(x) =
−∞
Z
f (y)g(x − y) dy +
0
Z
f (y)g(x − y) dy + 0
=0+
f (y)g(x − y) dy
x
x
0
27
+∞
28
Analyse
Proposition 4.1 Si les fonctions f et g sont causales alors le produit de convolution h =
f ∗ g est aussi causal et il est défini par :
si x > 0
si x ≤ 0
4.2
h(x) =
Rx
0
f (y)g(x − y) dy
(4.2)
h(x) = 0
Propriétés du produit de convolution
Proposition 4.2 Le produit de convolution est commutatif :
f ∗g =g∗f
(4.3)
Démonstration. En faisant dans (4.1) le changement de variable z = x − y où x est
un paramètre fixé, on obtient dz = −dy et donc :
Z −∞
Z +∞
f (x − z)g(z) (−dz)
f (y)g(x − y) dy =
(f ∗ g)(x) =
−∞
+∞
or d’après la définition du produit de convolution (4.1) ceci est bien le produit de
convolution g ∗ f :
Z +∞
g(z)f (x − z) dz
(g ∗ f )(x) =
−∞
Proposition 4.3 Si f et g ont même parité alors la fonction f ∗ g est paire.
Si f et g ont des parités différentes alors la fonction f ∗ g est impaire.
Démonstration. Selon que, pour tout x, f (−x) = f (x) ou que f (−x) = −f (x) on
dit que f est paire ou impaire.
Pour étudier la parité du produit de convolution, calculons (f ∗ g)(−x) ,
Z
+∞
(f ∗ g)(−x) =
f (y)g(−x − y) dy
−∞
si f et g ont même parité, on a f (y)g(−x − y) = f (−y)g(x + y), or en posant z = −y :
Z
+∞
Z
−∞
f (z)g(x − z) (−dz)
f (−y)g(x + y) dy =
−∞
+∞
Comme z est une variable muette, cette dernière intégrale vaut (f ∗ g)(x) .
Si f et g ont des parités différentes alors on a f (y)g(−x − y) = −f (−y)g(x + y)
On obtient alors (f ∗ g)(−x) = −(f ∗ g)(x) .
Le produit de convolution
29
Proposition 4.4 Si f est nulle en dehors de [a, b] et si g est nulle en dehors de [c, d] ,
alors f ∗ g est nulle en dehors de [a + c, b + d] .
/ [a + c, b + d] alors en ce point (f ∗ g)(x) =
R +∞Démonstration. Montrons que si x ∈
f
(y)g(x
−
y)
dy
est
nul.
En
fait
il
suffit de vérifier que pour un x de ce type le
−∞
produit f (y)g(x − y) est nul quelle que soit la valeur de y .
a) si y ∈
/ [a, b] , f (y) = 0 car f est nulle en dehors de [a, b] ,
b) si y ∈ [a, b], il suffit de voir si g(x − y) est nulle quand x ∈
/ [a + c, b + d]. Par hypothèse
g(x − y) est nulle si (x − y) n’est pas dans [c, d] c’est à dire si x ∈
/ [y + c, y + d] mais
comme y ∈ [a, b] , si on a x ∈
/ [a + c, b + d] alors on a forcément x ∈
/ [y + c, y + d] et donc
g(x − y) = 0.
Corollaire 4.1 Si f et g sont nulles hors de IR+ alors f ∗ g est aussi nulle hors de IR+ .
L’ensemble des y tels que f (y) 6= 0 permet de définir le support de la fonction f
(c’est le plus petit fermée de IR contenant ces y tels que f (y) 6= 0).
4.3
Le produit de convolution régularise
Définition 4.1 La fonction f est dite de classe C n sur IR si elle appartient à C n (IR)
c.à d. si f est n fois dérivable et si la dérivée nième , notée f (n) , est continue sur IR.
Une fonction de classe C n+1 est plus régulière qu’une fonction de classe C n .
Proposition 4.5 Si f est continue, bornée sur IR , et si g est dans L1 (IR) alors f ∗ g est
continue sur IR
Si de plus la dérivée f 0 existe sur IR tout entier et est bornée alors f ∗ g est dérivable
sur IR tout entier et :
(f ∗ g)0 = f 0 ∗ g
(4.4)
Démonstration. On est dans le cadre d’application du théorème de convergence
dominée vu dans le chapitre précédant. En effet
Z +∞
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y) dy
−∞
et puisque f est bornée, on a la majoration :
|f (x − y)g(y)| ≤ M |g(y)|
or g est sommable donc le théorème s’applique. Si f est continue, f (x−y)g(y) est continue
par rapport à x et donc l’intégrale aussi.
Même démarche pour la dérivation. La dérivée de f (x − y)g(y) par rapport à x est
f 0 (x − y)g(y) donc comme
|f 0 (x − y)g(y)| ≤ N |g(y)|
30
Analyse
et que g est dans L1 (IR), on en déduit que
0
∀x ∈ IR
Z
+∞
(f ∗ g) (x) =
f 0 (x − y)g(y) dy = (f 0 ∗ g)(x)
−∞
Attention si les hypothèses de la proposition ne sont pas vérifiées.
Exemple : Produit de convolution d’une fonction porte par elle même : h = P1 ∗ P1
Z +1/2
Z +∞
P1 (y)P1 (x − y) dy =
1.P1 (x − y) dy
h(x) =
−∞
−1/2
Or P1 (x − y) = 1 ssi x − y ∈ [−1/2, 1/2] c’est à dire −1/2 ≤ x − y ≤ 1/2 ou encore
x − 1/2 ≤ y ≤ x + 1/2
et P1 (y) = 1 ssi y ∈ [−1/2, 1/2]
donc le produit vaut 1 ssi y ∈ [−1/2, 1/2]∩ [x − 1/2, x + 1/2] et zéro sinon.
Toute la question est d’étudier l’intersection de ces 2 intervalles selon la valeur donnée à
la variable x où on veut calculer la fonction produit de convolution.
Il y a en général 5 cas : l’intervalle mobile peut être soit à gauche de l’intervalle fixe, soit à
gauche mais avec une intersection, soit l’un des intervalle contient l’autre, soit l’intervalle
mobile a une intersection avec le fixe mais il est à droite du fixe et enfin il peut aussi être
complètement à droite.
1) [x − 1/2, x + 1/2] est à gauche et extérieur à [−1/2, 1/2]
alors x + 1/2 < −1/2 ⇐⇒ x < −1 et h(x) = 0.
2) [x − 1/2, x + 1/2] est à gauche et a une intersection non vide avec [−1/2, 1/2]
alors x − 1/2 ≤ −1/2 ≤ x + 1/2 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 0 et
Z x+1/2
1 dy = x + 1/2 − (−1/2) = x + 1
h(x) =
−1/2
3) [x − 1/2, x + 1/2] est dans [−1/2, 1/2] ici comme les deux intervalles ont la même
longueur cela correspond seulement à x = 0 et alors
Z 1/2
1 dy = 1/2 − (−1/2) = 1
h(x) =
−1/2
4) [x − 1/2, x + 1/2] est à droite et a une intersection non vide avec [−1/2, 1/2]
alors x − 1/2 ≤ 1/2 ≤ x − 1/2 < ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1 et
Z +1/2
h(x) =
1 dy = 1/2 − (x − 1/2) = 1 − x
x−1/2
5) [x − 1/2, x + 1/2] est à droite et extérieur à [−1/2, 1/2]
alors 1/2 < x − 1/2 < ⇐⇒ 1 < x et h(x) = 0.
Le graphe de la fonction h, produit de convolution de P1 par P1 est :
Le produit de convolution
31
On peut calculer la dérivée de la fonction h en tout point x 6= −1, 0, 1 et on a :

pour x ∈] − 1, 0[
 1
0
−1
pour x ∈]0, +1[
h (x) =

0
pour x ∈] − ∞, −1[∪]1, +∞[
or la dérivée de la fonction P1 est 0 sauf en x = ±1/2 , on a donc P10 ∗ P1 = 0 et ce n’est
donc pas (P1 ∗ P1 )0 ( en effet P1 n’est pas dérivable sur tout IR ).
On verra que grâce à l’utilisation de la notion de dérivation au sens des distributions et à l’utilisation de distributions de Dirac, on pourra vérifier que, au sens des
distributions, (P1 ∗ P1 )0 = P10 ∗ P1 et que dans ce cadre la formule (f ∗ g)0 = f 0 ∗ g est
vraie sans aucune restriction !
4.4
Utilité du produit de convolution
Considérons l’équation différentielle suivante :
y 0 (t) + ay(t) = f (t)
y(0) = y0
t>0
pour
(4.5)
(4.6)
En multipliant l’équation par eat , le premier membre devient (y 0 (t) + ay(t)) eat qui est la
dérivée de y(t)eat .
En calculant l’intégrale, entre 0 et x, des 2 membres de l’égalité (4.5) on obtient :
Z x
at x
f (t)eat dt
y(t)e 0 =
0
on obtient la solution :
−ax
y(x) = y0 e
+e
−ax
Z
x
f (t)eat dt
0
Le premier terme est la solution générale de l’équation différentielle linéaire sans
second membre relative à (4.5) (dite aussi équation homogène). Le second terme est
la solution particulière qui s’annule en 0 de (4.5) . En faisant passer la quantité e−ax ,
constante par rapport à t , dans l’intégrale, on obtient :
Z x
Z x
Z x
at
at−ax
−ax
e
f (t)e dt =
f (t)e
dt =
f (t)e−a(x−t) dt
0
0
0
32
Analyse
Cette intégrale n’est autre que le produit de convolution de 2 fonctions causales : f (x)u(x)
et e−ax u(x) où u(x) désigne la fonction échelon .
On constate qu’une solution particulière de l’équation complète est obtenue en
faisant le produit de convolution du second membre avec la solution de l’équation
homogène.
En résumé la solution de (4.5) avec la donnée initiale (4.6) est
y(x) = y0 e−ax + (f ∗ h)(x)
où
h(x) = e−ax u(x)
Lorsque (4.5) est l’équation liant l’entrée f d’un filtre linéaire à la sortie y, on constate
que pour y0 = 0 , la sortie correspondante y est le produit de convolution de l’entrée
f par h qu’on appelle réponse impulsionnelle (on verra pourquoi lors de l’étude des
distributions).
Le produit de convolution intervient naturellement pour résoudre les systèmes différentiels
linéaires à coefficients constants. La quantité (f ∗ h)(x) représente un effet mémoire de f
qui décroit au fur et à mesure que x augmente (c. à d. plus le temps x passe plus l’effet
du passé devient petit ).
4.5
Intercorrélation, autocorrélation
En traitment du signal, l’autocorrélation est souvent une fonction d’un temps dont la
variable est notée τ . C’est donc cette notation que nous utilisons ici.
Définition 4.2 L’intercorrélation de deux fonctions f et g est définie par :
Z +∞
Kf,g (τ ) =
f (u + τ )g(u) du
−∞
Z +∞
=
f (v)g(v − τ ) dv
−∞
= Kg,f (−τ )
Définition 4.3 L’autocorrélation de f est définie par :
Z +∞
K(τ ) =
f (u + τ )f (u) du
(4.7)
−∞
Proposition 4.6 L’autocorrélation de f est toujours majorée en module par le carré de
la norme de f dans L2 (IR) (autrement dit l’autocorrélation est majorée par l’énergie du
signal) et il y a égalité pour τ = 0.
∀τ ∈ IR
|K(τ )| ≤ kf k2L2 et
K(0) = kf k2L2
(4.8)
Le produit de convolution
33
Démonstration. D’après l’inégalité de Schwarz, on a
Z +∞
f (u + τ )f (u) du ≤ k f (. + τ )kL2 f (.)
L2
−∞
k f (. +
or
τ )k2L2
Z
+∞
2
Z
+∞
|f (u + τ )| du =
=
−∞
−∞
|f (y)|2 dy = kf k2L2
car l’énergie
translation (y = u + τ d’où dy = du )
2 d’un signal est invariante
par
2
et f (.) = kf k2L2 car |f (t)|2 = f (t) donc on a pour toute valeur de τ , |K(τ )| ≤ kf k2L2
L2
par ailleurs l’égalité a lieu pour τ = 0.
4.5.1
Cas d’un signal réel
Proposition 4.7 Si f est un signal réel, l’autocorrélation de f est une fonction paire.
C’est le produit de convolution de f par fe où fe est la fonction retournée définie par
fg
(t) = f (−t) :
K(τ ) = K(−τ ) et K = f ∗ fe
(4.9)
Démonstration. On a :
Z
Z +∞
f (u + τ )f (u) du =
K(τ ) =
−∞
+∞
−∞
f (v)f (v − τ ) dv = (f ∗ fe)(τ )
(4.10)
34
Analyse
Chapitre 5
La transformation de Laplace
La transformation de Fourier est très utile car elle remplace une dérivation par une
simple multiplication par 2iπν et un produit de convolution par un produit de deux
fonctions. Malheureusement elle ne peut être utilisée que pour des fonctions sommables ou
de carré sommable ; cela exclut par exemple les polynômes et les exponentielles croissantes.
Pour pouvoir travailler de la même façon avec ces fonctions là, on introduit la
transformation de Laplace.
Les propriétés générales de la transformation de Laplace sont similaires aux propriétés
de la transformation de Fourier. La transformation de Fourier s’applique aux fonctions
définies sur IR mais à condition qu’elles soient dans L1 (IR) ou dans L2 (IR) . La transformation de Laplace ne s’applique qu’à des fonctions définies sur IR+ et prolongées par 0
sur IR− mais qui peuvent éventuellement tendre vers une constante ou vers ∞ à l’infini .
5.1
Définition de la transformation de Laplace
Définition 5.1 La transformée de Laplace d’une fonction f est la fonction L(f ) définie
par :
Z +∞
L(f )(p) =
f (t) exp(−pt) dt
(5.1)
0
où p est une variable réelle ou complexe.
La transformée de Laplace d’une fonction f n’existe que si l’intégrale ci-dessus est définie.
Il suffit pour cela que f soit
- continue par morceaux sur [0, +∞[
- à croissance au plus exponentielle à l’infini, c’est à dire que pour t assez grand, par
exemple t > A, il existe M > 0 et α tels que :
|f (t)| < M exp(αt)
35
36
Analyse
Sous ces hypothèses, la transformée de Laplace L(f )(p) est dé finie pour tout p > α,
si p est réel, ou, si p est complexe, pour Re(p) > α.
La plus petite valeur de α telle que L(f )(p) soit définie pour tout p vérifiant Re(p) > α,
est appelée abscisse de convergence de la transformée de Laplace de f .
Il est important de noter que la transformation de Laplace ne dépend que des valeurs
de la fonction sur IR+ . Sur IR− on suppose que f est identiquement nulle.
Exemples
1. Soit u(t) la fonction échelon définie par u(t) = 1 pour t ≥ 0 et u(t) = 0 pour
t < 0. Alors
+∞
Z +∞
exp(−pt)
exp(−pt) dt =
L(u(t))(p) =
−p
0
0
L’exponentielle exp(−pt) est un nombre complexe de module égal à |exp(−pt)| =
exp(−Re(p)t) .
Si Re(p) > 0 alors exp(−Re(p)t) → 0 , exp(−pt) est donc sommable sur IR+ et
t→+∞
on a :
Z +∞
1
1
exp(−pt) dt = 0 −
=
−p
p
0
Si Re(p) < 0 , exp(−pt) n’est pas sommable sur IR+ et L(u(t))(p) n’est pas définie.
On a donc :
1
pour Re(p) > 0 L(u(t))(p) =
(5.2)
p
2. Soit l’exponentielle causale définie par u(t) exp(at). On a :
Z +∞
L(u(t) exp(at))(p) =
exp(at) exp(−pt) dt
0
+∞
exp((a − p)t)
=
a−p
0
L’intégrale ne converge que pour Re(p − a) > 0 . Donc
pour
Re(p − a) > 0
L(u(t) exp(at))(p) =
1
→
−
p−a
3. Si a = iω avec ω réel, Re(p − i$) = Re(p) on déduit de ce qui précède :
pour
Re(p) > 0
L(u(t) exp(iωt))(p) =
1
p − iω
L(u(t) exp(−iωt))(p) =
1
p + iω
de même :
pour Re(p) > 0
(5.3)
La transformation de Laplace
37
d’où en utilisant les formules d’Euler :
5.2
pour Re(p) > 0
L(u(t) cos(ωt))(p) =
pour Re(p) > 0
L(u(t) sin(ωt))(p) =
p2
p
+ ω2
(5.4)
p2
ω
+ ω2
(5.5)
Propriétés générales
Comme la transformation de Fourier, la transformation de Laplace est une application
linéaire, c’est à dire que pour tous λ et µ réels ou complexes :
L(λf + µg) = λL(f ) + µL(g)
(5.6)
On retrouve pour la transformation de Laplace le même type de proprié tés que pour
transformation de Fourier.
Dans ce qui suit, la constante a est supposée strictement positive.
Théorème 5.1 du retard :
L(u(t − a)f (t − a))(p) = e−pa L(f (t))(p)
(5.7)
Démonstration.
Z
+∞
f (t − a) exp(−pt) dt
L(u(t − a)f (t − a))(p) =
a
Z
+∞
=
f (x) exp(−p(x + a)) dx
0
= e
−pa
Z
+∞
f (x) exp(−px) dx
0
et on a la propriété réciproque :
L(eat f (t))(p) = L(f )(p − a)
(5.8)
Théorème 5.2 de changement d’échelle :
1
p
L(f (at))(p) = L(f (t))( )
a
a
(5.9)
38
Analyse
en effet :
Z
+∞
L(f (at))(p) =
f (at) exp(−pt) dt
0
Z
=
0
+∞
x dx
1
p
f (x) exp(−p )
= L(f (t))( )
a a
a
a
Théorème 5.3 de la dérivée : si f est dérivable sur IR+ tout entier et si f et f 0 sont
à croissance au plus exponentielle à l’infini, alors :
L(f 0 )(p) = pL(f )(p) − f (0+ )
(5.10)
en effet en faisant une intégration par partie :
Z +∞
0
L(f )(p) =
f 0 (t) exp(−pt) dt
0
Z +∞
+∞
= [f (t) exp(−pt)]0 −
−pf (t) exp(−pt) dt
0
Comme f est à croissance au plus exponentielle à l’infini, pour t grand il existe M > 0 et
α tels que :
|f (t) exp(−pt)| < M exp(αt) exp(−Re(p)t)
donc pour Re(p) > α , f (t) exp(−pt) → 0 et donc en notant f (0+ ) la limite à droite
t→+∞
de f (t) quand t → 0, on obtient le résultat annoncé.
Plus généralement, si f , f 0 , f ” ... , f (n) sont définies sur IR+ tout entier et si elles
sont à croissance au plus exponentielle à l’infini, on a :
L(f
(n)
L(f ”)(p) = p2 L(f )(p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ )
(5.11)
)(p) = pn L(f )(p) − pn−1 f (0+ ) − pn−2 f 0 (0+ ) − ... − f (n−1) (0+ )
(5.12)
On a la propriété réciproque :
dL(f )(p)
= L(−tf (t))(p)
dp
(5.13)
en effet il suffit de dériver sous le signe intégral :
Z +∞
Z +∞
d
0
f (t) exp(−pt) dt =
−tf 0 (t) exp(−pt) dt
dp
0
0
d’où la formule générale :
dn L(f )(p)
= (−1)n L(tn f (t))(p)
dpn
(5.14)
La transformation de Laplace
39
Corollaire 5.1 La transformée de Laplace de la fonction polynomiale u(t)tn est :
L(u(t)tn )(p) =
n!
pn+1
(5.15)
En effet d’après (5.14) et connaissant la transformée de l’échelon (5.2) on a :
L(u(t)tn )(p) = (−1)n
dn
dpn
et
dn L(u)(p)
dpn
1
1
= (−1)(−2)....(−n) n+1
p
p
Théorème 5.4 Transformée de Laplace et convolution
L(f ∗ g) = L(f )L(g)
Théorème 5.5
(5.16)
de la valeur initiale
lim pL(f )(p) = f (0+ )
p→+∞
(5.17)
Théorème 5.6 de la valeur finale
lim pL(f )(p) = lim f (t)
p→0+
t→+∞
(5.18)
Remarque : Contrairement à ce qui ce passe pour la transformation de Fourier, il n’existe
pas pour la transformation de Laplace, une transformation inverse simple.
Cependant, on doit remarquer que si deux fonctions ont même transformée de
Laplace, elles sont égales presque partout sur IR+ .
Si, de plus, ces fonctions sont continues sur IR+ , elles sont égales partout.
Conséquence pratique :
Si une transformée de Laplace est une fraction rationnelle, pour trouver son antécédant, il
suffit donc de décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples, de lire à l’envers
un tableau des transformées de Laplace usuelles et d’utiliser la linéarité.
5.3
Utilisation de la transformation de Laplace
La transformation de Laplace est parfaitement adaptée pour résoudre les équations
différentielles linéaires et les systèmes différentiels linéaires. La formule (5.12) permet
de prendre en compte directement les données initiales, ce qui évite de devoir déterminer
les n constantes arbitraires de la solution générale d’une équation différentielle d’ordre n
à l’aide des conditions initiales.
40
Analyse
Exemple 5.1 Résoudre l’équation différentielle linéaire, c’est à dire trouver les fonctions
deux fois dérivables sur IR+ qui vérifient pour tout t > 0 :
ty 00 + 2y 0 + ty = 0 avec
y(0) = 1
On peut s’étonner qu’il n’y ait qu’une condition initiale alors que l’équation différentielle
est d’ordre 2, mais en fait l’équation différentielle impose que, pour t = 0 , y 0 (0) = 0 .
En notant Y (p) = L(y(t))(p) , on obtient en utilisant (5.12) et (5.13) :
−
d
d 2
p Y (p) − p + 2(pY (p) − 1) −
(Y (p)) = 0
dp
dp
d’où −(p2 + 1)Y 0 (p) − 1 = 0 et
−
d
1
Y (p) =
.
dp
1 + p2
(5.19)
D’après les formules (5.13) et (5.5) on a
L(ty(t)) = L(sin t)
Cela entaine l’égalité presque partout des fonctions ty(t) et sin t ; mais comme ces fonctions
sont continues sur IR+ elle sont donc égales partout :
y(t) =
sin t
t
pour t > 0
Quant à la transformée de Laplace de y, on a d’après (5.13) et en intégrant (5.19) :
Y (p) = − arctan p + Cste
or arctan p + arctan p1 = π2 et donc on peut aussi écrire : Y (p) = arctan p1 + K avec
K = Cste − π2 . En utilisant (5.17) on sait que
lim pL(f )(p) = f (0+ ) = 1
p→+∞
or p(arctan p1 ) → 1 (car arctan u ∼ u pour u voisin de 0), on obtient :
p→+∞
lim pL(f )(p) = lim p(arctan
p→+∞
p→+∞
1
+ K) = 0 + lim pK = f (0+ ) = 1
p→+∞
p
ce qui impose K = 0. Donc :
Y (p) = arctan
1
π
(= − arctan p + )
p
2
Chapitre 6
La transformée de Fourier
6.1
Introduction
Toutes les fonctions ne sont pas périodiques ou définies sur un intervalle borné et donc
prolongeable en une fonction pé riodique. Partant de la définition des coefficients de
Fourier complexes et en passant d’une intégration sur un intervalle borné à une int égration
sur IR tout entier dépendant non pas d’un paramè tre discret n mais d’un paramètre
continu ν , on obtient la transformée de Fourier d’une fonction définie sur IR .
6.2
Transformée de Fourier dans L1(IR)
Définition 6.1 La transformée de Fourier de f , notée F(f ) ou fˆ , est la fonction définie
pour tout ν de IR par :
Z
+∞
F(f )(ν) =
f (x) exp(−2iπνx)dx
(6.1)
−∞
Cette intégrale généralisée est définie et continue pour toute fonction f ∈ L1 (IR).
Démonstration : En effet comme |f (x) exp(−2iπνx)| = |f (x)| , cette int égrale est
absolument convergente si f est sommable sur IR et dans ce cas le théorème de convergence
dominée s’applique et F(f )(ν) est une fonction continue de ν puisque l’exponentielle est
continue. Remarque : La transformée de Fourier permet de passer d’une description
temporelle du signal à une description en fré quence ν . Il existe une autre définition de
la transformée de Fourier, souvent utilisée en mécanique, qui permet de passer du temps
à la pulsation ω (ω = 2πν). On a alors
Z
+∞
F(f )(ω) =
f (x) exp(−iωx)dx
−∞
41
42
Analyse
L’avantage de cette écriture est d’être un peu plus proche de celle de la transformation
de Laplace que l’on verra ensuite et qui est l’outil adéquat pour les fonctions causales.
Par contre cela impose la division par un facteur 2π pour obtenir la transformée de
Fourier inverse et bien sur les formules des transformées de Fourier usuelles sont légèrement
différentes.
Exemples de transformées de Fourier
1. La fonction porte Pa (x) (notée aussi Π( xa ) ) vaut 1 sur l’intervalle ] − a/2, a/2[ et
0 ailleurs
Z
+a/2
F(Pa )(ν) =
exp(−2iπνx)dx =
−a/2
exp(−iπνa) − exp(iπνa)
−2iπν
Ce calcul n’est valable que si ν 6= 0 et alors
F(Pa )(ν) = a
Si ν = 0
Z
sin(πνa)
πνa
+a/2
F(Pa )(ν) =
dx = a
−a/2
2. L’exponentielle causale définie par f (x) = u(x) exp(−ax) où u(x) est la fonction
échelon (notée aussi Y (x) ou H(x) comme Heaviside du nom de son inventeur).
+∞
Z +∞
exp(−(a + 2iπν)x)
F(f )(ν) =
exp(−ax) exp(−2iπνx)dx =
−(a + 2iπν)
0
0
comme |exp(−(a + 2iπν)x)| = |exp(−ax) exp(−2iπνx)| = exp(−ax) et qu’il faut
imposer a > 0 afin que la fonction f soit sommable sur IR, la limite de cette quantité
est 0 lorsque x tend vers +∞. Donc
F(u(x) exp(−ax))(ν) =
1
(a + 2iπν)
Remarque : Les deux transformées de Fourier qui viennent d’être calculées ne sont pas
des fonctions sommables sur IR, mais elles sont de carré sommable. Il serait donc inté
ressant de pouvoir étendre la définition de la transformée de Fourier aux fonctions de
L2 (IR) ce qui sera fait ci-dessous.
Proposition 6.1 (Admise) Si f ∈ L1 (IR) la transformée de Fourier de f est une fonction
de ν continue et bornée sur IR et F(f )(ν) → 0 .
ν→±∞
La transformée de Fourier
6.3
43
Propriétés de la transformée de Fourier
Les propriétés qui suivent sont valables que f soit dans L1 (IR) ou que f soit dans L2 (IR)
(car l’on verra que l’on peut étendre la transformation de Fourier à l’espace L2 (IR)).
Théorème 6.1 (admis) Si f et sa transformée de Fourier F(f ) sont dans L1 (IR) alors
pp
Z
+∞
F(f )(ν) exp(2iπνx)dν
f (x) =
(6.2)
−∞
Plus précisément, si f est continue et dérivable par morceaux on a :
Z +∞
1
F(f )(ν) exp(2iπνx)dν =
f (x+ ) + f (x− )
2
−∞
(6.3)
R +∞
L’intégrale −∞ F(f )(ν) exp(2iπνx)dν est donc :
- égale à f (x) pour tout x où la fonction f est continue,
- égale à la demi somme des limites à droite et à gauche en x de f sinon.
Définition 6.2 La transformée
de Fourier inverse d’une fonction g est la fonction
___
−1
notée F (g) ou ǧ ou encore F (g), définie pour tout ν de IR par :
F
−1
Z
+∞
(g)(ν) =
g(x) exp(2iπνx)dx
(6.4)
−∞
on a bien :
pp
pp
F −1 (F(f )) = F(F −1 (f )) = f
(6.5)
_________
On remarque que si f est réelle alors F −1 (f )(ν) est aussi
conjugué de F(f )(ν) .
F(f )(ν)
, le complexe
Proposition 6.2 : Symétrie hermitienne :
F −1 (f (x)) = F(f (−x))
et donc si f est paire F −1 (f ) = F(f ).
Démonstration : Le changement de variable u = −x donne du = −dx d’où
Z +∞
Z −∞
−1
F (f (x))(ν) =
f (x) exp(2iπνx)dx = −
f (−u) exp(2iπν(−u))du
−∞
+∞
Z +∞
=
f (−u) exp(−2iπνu)du = F(f (−x))(ν).
−∞
44
Analyse
Théorème 6.2 1) La transformation de Fourier est une application linéaire
∀λ, µ ∈ C
F(λf + µg) = λF(f ) + µF(g)
2) f et F(f ) ont même parité,
3) Si f est réelle et paire F(f ) aussi
Si f est réelle et impaire F(f ) est imaginaire pure et impaire.
Démonstration
s = −x donne ds = −dx d’où
R +∞ : 2) Le changement de variable
R −∞
F(f )(−ν) = −∞ f (x) exp(−2iπ(−ν)x)dx = − +∞ f (−s) exp(−2iπνs)ds
après avoir changé le signe et les bornes
on a
si f est paire F(f )(−ν) = F(f )(ν)
et
si f est impaire F(f )(−ν) = −F(f )(ν)
_________
R +∞ ______
3) Le complexe conjugué de F(f )(ν) est F(f )(ν) = −∞ f (x) exp(+2iπνx)dx
_________
donc pour f réelle F(f )(ν) = F −1 (f (x))(ν) = F(f (−x))(ν)
Or pour z ∈ C, z est réel si z̄ =_________
z et imaginaire pur si z̄ = −z
Et donc pour f réelle et_________
paire F(f )(ν) = F(f (x))(ν) donc F(f ) est r éelle,
Pour f réelle et impaire F(f )(ν) = −F(f (x))(ν) donc F(f ) est imaginaire pure.
Théorème 6.3 Propriétés générales
1) du retard :
F(f (x − a))(ν) = e−2iπνa F(f (x))(ν)
2) et de la translation en fréquence
F(e−2iπxa f (x))(ν) = F(f )(ν + a)
3) du changement d’échelle :
F(f (ax))(ν) =
1
ν
F(f (x))( )
|a|
a
Démonstration R1) En posant s = x − a d’où ds = dx , on a
+∞
F(f (x − a))(ν) = −∞ f (x − a) exp(−2iπνx)dx
R +∞
.
= −∞ f (s) exp(−2iπν(s + a)ds
R +∞
.
= −∞ f (s) exp(−2iπνs) exp(−2iπνa)ds
R +∞
.
= exp(−2iπνa) −∞ f (s) exp(−2iπνs)ds
R +∞
2) F(e−2iπxa f (x))(ν) = −∞ f (x)e−2iπxa e−2iπνx dx = F(f )(ν + a)
R +∞
3) F(f (ax))(ν) = −∞ f (ax) exp(−2iπνx)dx
En posant s = ax d’où ds = adx , si a est positif les bornes sont inchangées mais si a est
négatif les bornes
sont échangées mais ds = − |a| dx d’où
R +∞
ds
1
F(f (ax))(ν) = −∞ f (s) exp( −2iπνs
) |a|
= |a|
F(f (x))( νa )
a
La transformée de Fourier
45
Théorème 6.4 sur la transformée de Fourier des dérivées :
1) Si f est continue sur IR , si f et sa dérivée f 0 sont dans L1 (IR) alors :
F(f 0 )(ν) = 2iπνF(f )(ν)
2) si f , f 0 , f ” ... , f
(n−1)
sont continues sur IR et toutes dans L1 (IR) ainsi que f
F(f
(n)
(n)
:
)(ν) = (2iπν)n F(f )(ν)
R +X
Démonstration : Comme f est continue et que f 0 est dans L1 (IR) l’intégrale 0 f 0 (x)dx =
f (X) − f (0) converge quand X → +∞ donc f (X) → L. Mais comme f est sommable
sur IR ondoit
avoir L = 0 .
R +∞
F(f 0 )(ν) = −∞ f 0 (x) exp(−2iπνx)dx
R +∞
+∞
.
= [f (x) exp(−2iπνx)]−∞
− −∞ −2iπνf (x) exp(−2iπνx)dx
Donc le crochet est nul et F(f 0 )(ν) = 2iπνF(f )(ν) .
Théorème 6.5 sur la dérivation de la transformée de Fourier :
1)Si f (x) et xf (x) sont dans L1 (IR)
dF(f )(ν)
= (−2iπ)F(xf (x))(ν)
dν
2) Si f (x) et xn f (x) sont dans L1 (IR)
dn F(f )(ν)
= (−2iπ)n F((x)n f (x))(ν)
n
dν
R +∞
Démonstration : 1) F(f )(ν) = −∞ f (x) exp(−2iπνx)dx
Pour calculer la dérivée de F(f )(ν) on dérive par rapport à ν sous l’intégrale :
dF(f )(ν)
=
dν
Z
+∞
f (x)(−2iπx) exp(−2iπνx)dx
−∞
Corollaire 6.1 Si f ∈ L1 (IR) est nulle hors d’un intervalle borné, sa transformée de
Fourier F(f ) est dans C ∞ (IR).
Démonstration : Si f est nulle hors d’un intervalle borné [−A, A] et appartient à L1 (IR)
alors, pour tout entier n , xn f (x) est dans L1 (IR) car majoré par An |f (x)| et donc F(f )
est indé finiment dérivable.
46
Analyse
Définition 6.3 Si f et g sont dans L1 (IR) alors leur produit de convolution f ∗ g existe
et est dans L1 (IR)
Z +∞
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy
−∞
Théorème 6.6 Transformée de Fourier et convolution
F(f ∗ g) = F(f )F(g)
et :
F(f g) = F(f ) ∗ F(g)
R +∞ R +∞
Démonstration : F(f ∗ g)(ν) = −∞ −∞ f (x − y)g(y)dy exp(−2iπνx)dx
en permuttant l’ordre d’intégration dans l’intégrale double on a :
Z +∞ Z +∞
f (x − y) exp(−2iπνx)dx g(y)dy
F(f ∗ g)(ν) =
−∞
−∞
Z +∞
=
e−2iπνy F(f )(ν)g(y)dy
−∞
Z +∞
e−2iπνy g(y)dy
= F(f )(ν)
−∞
= F(f )(ν)F(g)(ν)
6.4
Transformée de Fourier dans L2(IR)
Une fonction f de L2 (IR) peut toujours être consid érée comme la limite d’une suite de
fonctions appartenant à la fois à L2 (IR) et à L1 (IR). En effet, considé rons la fonction
tronquée fn , égale à f sur l’intervalle [−n, n], et nulle ailleurs.
Cette fonction fn est bien dans L2 (IR) car :
Z +∞
Z +n
Z +n
Z +∞
2
2
2
|fn (x)| dx =
|fn (x)| dx =
|f (x)| dx ≤
|f (x)|2 dx
−∞
−n
donc kfn kL2 ≤ kf kL2 et de plus kfn − f kL2
−n
−∞
→ 0 La suite de fonctions fn converge vers
n→+∞
f dans L2 (IR). De plus les fonctions fn sont dans L1 (IR) d’après l’inégalité de Schwarz
car :
Z +n
21 Z +n
21
Z +∞
Z +∞
2
2
fn (x).1I[−n,n] dx ≤
|fn (x)| dx =
|f (x)| dx
|1| dx
−∞
−∞
−n
−n
√
≤ 2n kfn kL2
donc on peut appliquer la définition et calculer F(fn ) . On définit donc la transformée de
Fourier de f , quand f n’est pas dans L1 (IR) mais seulement dans L2 (IR), par la limite
de la suite de fonctions F(fn ) dans L2 (IR) .
La transformée de Fourier
47
Définition 6.4 La transformée de Fourier de f ∈ L2 (IR) est dé finie par
+n
Z
L2 (IR)
f (x) exp(−2iπνx)dx → F(f )(ν)
n→+∞
−n
Remarque : En pratique,
R +non oubliera souvent de pré ciser que F(f )(ν) est la limite
2
dans L (IR) de la suite −n f (x) exp(−2iπνx)dx et on écrira, par abus de language,
R +∞
F(f )(ν) = −∞ f (x) exp(−2iπνx)dx, sachant que l’on peut donner un sens précis à cette
expression que f soit dans L1 (IR) ou dans L2 (IR) . Remarque : Un exemple type de
fonction qui est dans L2 (IR) mais pas dans L1 (IR) est la fonction sinus cardinal dont la
transformée de Fourier est :
F(
sin(πxa)
)(ν) = Pa (ν)
πxa
Elle est discontinue en ±a/2. En effet quand f n’est pas dans L1 (IR), sa transformée de
Fourier n’est plus forcément continue. Cependant , à part la continuité et la dérivabilité,
toutes les autres propriétés du paragraphe 2 s’étendent dans le cas o ù f est seulement
dans L2 (IR).
Théorème 6.7 Parseval
Si f est dans L2 (IR) alors sa transformée de Fourier F(f ) est aussi dans L2 (IR) et les
fonctions f et F(f ) ont de plus des normes égales :
Z
+∞
2
Z
+∞
|F(f )(ν)|2 dν
|f (x)| dx =
(6.6)
−∞
−∞
Si f est un signal electronique, sa norme dans L2 (IR) représente son énergie que l’on peut
donc calculer à l’aide de l’une ou l’autre des intégrales ci-dessus.
La quantité |F(f )(ν)|2 est appelée densité spectrale d’énergie du signal f car il
faut intégrer cette quantité sur l’ensemble du spectre pour avoir l’énergie. Quant à
F(f )(ν) , c’est le spectre d’énergie du signal f et le module |F(f )(ν)| est le spectre
d’amplitude tandis que l’argument de F(f )(ν) est le spectre de phase.
Remarque 6.1 La transformée de Fourier F( f ) est parfois définie comme une fonction
de la pulsation ω = 2πν , mais dans ce cas la transformation inverse est
Z +∞
Z +∞
1
−1 ˆ
F (f )(x) =
fˆ(ω) exp(iωx)dω avec fˆ(ω) =
f (x) exp(−iωx)dx
2π −∞
−∞
et
Z
+∞
−∞
1
|f (x)| dx =
2π
2
Z
+∞
−∞
|F(f )(ω)|2 dω
48
Analyse
6.5
Transformée de Fourier des fonctions usuelles
Comme les fonctions ci-dessous sont paires, on a F −1 (f ) = F(f ), et donc le tableau
indique des couples de fonctions f et g telles que F(f ) = g et F(g) = f et peut se lire
dans les deux sens.
sin(πνa)
Pa (x) a
πνa
∆a (x) a
sin(πνa)
πνa
exp(−a |x|) r
2
exp(−ax ) 6.6
a2
2
2a
+ 4π 2 ν 2
π
π2ν 2
exp(−
)
a
a
Autocorrélation temporelle et Fourier
On rappelle la définition de l’autocorrélation
Définition 6.5 L’autocorrélation de f est définie par :
Z
+∞
f (u + τ )f (u) du
K(τ ) =
(6.7)
−∞
Remarque : Si f est un signal réel, et si on note fe la fonction définie par fg
(x) = f (−x),
on peut remarquer que l’autocorrélation de f est le produit de convolution de f par fe,
on a :
K(τ ) = (f ∗ fe)(τ )
c’est une fonction paire K(τ ) = K(−τ ) et on a
∀τ,
|K(τ )| ≤ kf k2L2
Il y a égalité pour τ = 0 , l’autocorrélation est maximale en 0 et elle est majorée par le
carré de la norme de f dans L2 (IR).
La transformée de Fourier
49
Théorème 6.8 Wiener-Kinchine : Si f est un signal réel, la transformée de Fourier
de l’autocorrélation de f est égale à la densité spectrale d’énergie de f :
F(K)(ν) = |F(f )(ν)|2
Démonstration :
F(K) = F(f ∗ fe) = F(f )F(fe)
or
Z
+∞
F(fe)(ν) =
f (−x) e
−∞
car f est un signal réel.
−2iπxν
Z
+∞
dx =
−∞
f (u) e2iπuν du = F(f (x))(ν)
50
Analyse
Chapitre 7
Fonctions définies par une intégrale
7.1
Motivations
Dans la suite de ce cours nous allons étudier
1. la transformation de Fourier d’une fonction f définie sur IR :
Z +∞
f (x) e−2iπνx dx
∀ν ∈] − ∞, +∞[ F(f )(ν) =
−∞
2. la transformation de Laplace d’une fonction causale f (définie sur IR+ )
Z +∞
f (x) e−px dx
∀p ∈ C L(f )(p) =
−∞
3. le produit de convolution de deux fonctions f et g
Z +∞
∀τ ∈] − ∞, +∞[ (f ∗ g)(τ ) =
f (x)g(τ − x) dx
−∞
4. l’intercorrélation de deux fonctions f et g
Z
∀τ ∈] − ∞, +∞[ Kf,g (τ ) =
+∞
f (x)ḡ(τ + x) dx
−∞
Dans chacun de ces cas nous allons être amenés à étudier les propriétés de fonctions
qui sont définies par des intégrales. Les théorèmes généraux ci-dessous permettent de
comprendre la genèse de certaines propriétés.
7.2
Propriétés
Etudions donc la continuité et la dérivabilité d’une fonction F (y) définie par une
intégrale sur I :
Z
F (y) = f (x, y) dx
I
51
52
Analyse
Théorème 7.1 Si I est un intervalle fermé borné [a, b] et
1) si f (x, y) est définie et continue sur [a, b] × [c, d],
alors la fonction F (y) est définie et continue sur [c, d]
est définie et continue sur [a, b]×]c, d[
2) si la dérivée partielle ∂f
∂y
alors la fonction F (y) est continûment dérivable sur ]c, d[ et sa dérivée est
0
Z
b
F (y) =
a
∂f
(x, y) dx.
∂y
Malheureusement, si I est non borné ou si la fonction f n’est pas définie et bornée
sur tout [a, b] × [c, d] , cela n’est plus toujours vrai. Dans ce cas l’intégrale est généralisée,
c’est donc une limite, et les limites ne commuttent pas toujours avec la continuité et la
dérivabilité.
On va donc devoir faire appel dans ces cas là à un théorème qui est une conséquence
d’un théorème fondamental en analyse : le théorème de convergence dominée.
Théorème 7.2 Soit F (y) définie par une intégrale sur I (intervalle éventuellement non
borné ou f (x, y) non bornée sur I )
Z
F (y) = f (x, y) dx
I
1) si f (x, y) est définie et continue sur I × [c, d],
et si il existe g(x) sommable sur I telle que
Z
∀x ∈ I, ∀y ∈ [c, d]
|f (x, y)| ≤ g(x)
avec
0≤
g(x) dx < +∞
I
alors la fonction F (y) est continue sur [c, d].
est définie et continue sur I×]c, d[ ,
2) si de plus la dérivée partielle ∂f
∂y
et si il existe h(x) sommable sur I telle que
Z
∂f
(x, y) ≤ h(x)
∀x ∈ I, ∀y ∈ [c, d]
avec 0 ≤ h(x) dx < +∞
∂y
I
alors la fonction F (y) est continûment dérivable sur ]c, d[ et sa dérivée est
dF (y)
F (y) =
=
dy
0
Z
I
∂f
(x, y) dx.
∂y
Fonctions définies par une intégrale
53
Exemple 7.1 La transformée de Fourier F(f )(ν) d’une fonction f ∈ L1 (IR) est continue.
Si de plus xf (x) ∈ L1 (IR) alors F(f )(ν) est dérivable et on a
Z +∞
Z +∞
d
∂
−2iπνx
F(f )(ν) =
(f (x) e
) dx =
−2iπxf (x) e−2iπνx dx
dν
−∞ ∂ν
−∞
Car comme |e−2iπνx | = |eiα | = 1 puisque α est réel et comme par hypothèse xf (x) est
sommable le théorème ci-dessus s’applique et
d
F(f )(ν) = −2iπF(xf (x))(ν)
dν
Si f ∈
/ L1 (IR) mais f ∈ L2 (IR) la transformée de Fourier de f est définie mais n’est plus
forcément continue.
Exemple 7.2 Des fonctions très utiles sont définies, elles aussi, par des intégrales
comme :
1. la fonction gamma
∀x ∈ IR
+
Z
+∞
y x−1 e−y dy
Γ(x) =
−∞
2. la fonction de Bessel J0
∀x ∈ IR
2
J0 (x) =
π
Z
0
1
cos(xy)
p
dy
1 − y2