Tableau des lois discrètes usuelles.

Tableau des lois discrètes usuelles.
Nom
Uniforme sur
{1, 2, ..., n}
Binomiale
B (n, p)
Loi de probabilité
Espérance
Variance
P (X = k) = 1/n
(n + 1)/2
(n2 − 1)/12
k ∈ {1, 2, . . . , n}
n−k
P (X = k) = Cnk pk (1 − p)
np
np (1 − p)
k ∈ {0, 1, . . . , n}
n−k
k
n
P (X = k) = CN
CN −N1 /CN
1
¡
¢ −n
Hypergéométrique
¡
¢
(nN1 )/N
n NN1 1 − NN1 N
k compris entre
N1
N −1
H N, n, N
max (0, n − (N − N1 )) et min (N1 , n)
k−r
r−1 r
Pascal
P (X = k) = Ck−1
p (1 − p)
r/p
r (1 − p)/p2
P (r, p)
k ∈ {r, r + 1, . . .}
Poisson
P (X = k) = e−λ λk /k!
λ
λ
P (λ)
k∈N
Loi de Bernoulli : Binomiale B (1, p) = B (p).
Loi Géométrique : Pascal P (1, p) = G (p).
Tirages dans une urne.
On considère une population de N individus à deux catégories, avec N1 individus de catégorie 1 et N2 individus de catégorie 2
(N1 + N2 = N ). Si on effectue des tirages avec remise dans la population :
¡
¢
- le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus en n tirages suit la loi Binomiale B n, NN1
¡
¢
- le nombre de tirages nécessaires pour obtenir r individus de catégorie 1 suit la loi de Pascal P r, NN1 .
des tirages sans remise dans la population : le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus suit la loi Hypergéométrique
¢
¡Si on effectue
H N, n, NN1 .
Répétition d’expériences.
On répète, dans les mêmes conditions, une même expérience aléatoire au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être
réalisé :
- le nombre de réalisations de A en n expériences suit la loi Binomiale B (n, p) ;
- le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir r réalisations de A suit la loi de Pascal P (r, p).
1
Tableau des lois à densités usuelles.
Nom
Uniforme sur
[a, b]
Normale
N (µ, σ)
Chi-deux
χ2 (n)
Student
S (n)
Fisher
F (n1 , n2 )
Exponentielle
Exp (θ)
Cauchy
C (µ, λ)
Gamma
G (a, p)
Beta
B (p, q)
Densité de probabilité
½ 1
b−a si x ∈ [a, b]
f (x) =
0 si x ∈
/ [a, b]
1 x−µ 2
1
f (x) = √ e− 2 ( σ )
 σ− x2πn−2
 e 2x 2
¡ n ¢ si x > 0
n
f (x) =
2 Γ
2
2

0 si x ≤ 0
´− 12 (n+1)
³
2
1 + xn
f (x) =
√ ¡1 n¢
nβ 2 , 2

n1
n2
n1
2
2

n1 n2 x 2 −1
si x > 0
1
n
n
f (x) =
β 1 , 2 (n x+n2 ) 2 (n1 +n2 )
 (2 2) 1
0 si x ≤ 0
½ −θx
θe
si x ≥ 0
f (x) =
0 si x < 0
λ
´
f (x) = ³
2
π λ2 + (x − µ)
½ ap p−1 −ax
e
si x > 0
Γ(p) x
f (x) =
0
si x ≤ 0
(
q−1
1
p−1
(1 − x)
si x ∈ [0, 1]
β(p,q) x
f (x) =
0 si x ∈
/ [0, 1]
Espérance
a+b
2
Variance
2
(b − a)
12
µ
σ2
n
2n
0
si n ≥ 2
n2
n2 − 2
si n2 ≥ 3
1
θ
p
a
p
p+q
2
n
n−2
si n ≥ 3
2n22 (n1 +n2 −2)
n1 (n2 −2)2 (n2 −4)
si n2 ≥ 5
1
θ2
p
a2
pq
(p+q)2 (p+q+1)