Tableau des lois discrètes usuelles.

Tableau des lois discrètes usuelles.
Nom Loi de probabilité Espérance Variance
Uniforme sur
{1,2, ..., n}
P(X=k) = 1/n
k∈ {1,2, . . . , n}(n+ 1)/2 (n2−1)/12
Binomiale
B(n, p)
P(X=k) = Ck
npk(1 −p)n−k
k∈ {0,1, . . . , n}np np (1 −p)
Hypergéométrique
H¡N, n, N1
N¢
P(X=k) = Ck
N1Cn−k
N−N1/Cn
N
kcompris entre
max (0, n −(N−N1)) et min (N1, n)
(nN1)/N nN1
N¡1−N1 N¢N−n N−1
Pascal
P(r, p)
P(X=k) = Cr−1
k−1pr(1 −p)k−r
k∈ {r, r + 1, . . .}r/p r (1 −p)/p2
Poisson
P(λ)
P(X=k) = e−λλk/k!
k∈Nλ λ
Loi de Bernoulli : Binomiale B(1, p) = B(p).
Loi Géométrique : Pascal P(1, p) = G(p).
Tirages dans une urne.
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N1individus de catégorie 1 et N2individus de catégorie 2
(N1+N2=N). Si on effectue des tirages avec remise dans la population :
- le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus en ntirages suit la loi Binomiale B¡n, N1
N¢
- le nombre de tirages nécessaires pour obtenir rindividus de catégorie 1 suit la loi de Pascal P¡r, N1
N¢.
Si on effectue des tirages sans remise dans la population : le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus suit la loi Hypergéométrique
H¡N, n, N1
N¢.
Répétition d’expériences.
On répète, dans les mêmes conditions, une même expérience aléatoire au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être
réalisé :
- le nombre de réalisations de Aen nexpériences suit la loi Binomiale B(n, p);
- le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir rréalisations de Asuit la loi de Pascal P(r, p).
1

Tableau des lois à densités usuelles.
Nom Densité de probabilité Espérance Variance
Uniforme sur
[a, b]f(x) = ½1
b−asi x∈[a, b]
0si x /∈[a, b]
a+b
2
(b−a)2
12
Normale
N(µ, σ)f(x) = 1
σ√2πe−1
2(x−µ σ)2µ σ2
Chi-deux
χ2(n)f(x) = 
e−x
2xn−2 2
2n
2Γ¡n
2¢si x > 0
0si x≤0
n2n
Student
S(n)f(x) = ³1 + x2
n´−1
2(n+1)
√nβ ¡1
2,n 2¢
0
si n≥2
n
n−2
si n≥3
Fisher
F(n1, n2)f(x) = 
n
n1
2
1n
n2
2
2x
n1
2
−1
β(n1
2,n2 2)(n1x+n2)1
2(n1+n2)si x > 0
0si x≤0
n2
n2−2
si n2≥3
2n2
2(n1+n2−2)
n1(n2−2)2(n2−4)
si n2≥5
Exponentielle
Exp (θ)f(x) = ½θe−θx si x≥0
0si x < 0
1
θ
1
θ2
Cauchy
C(µ, λ)f(x) = λ
π³λ2+ (x−µ)2´
Gamma
G(a, p)f(x) = ½ap
Γ(p)xp−1e−ax si x > 0
0si x≤0
p
a
p
a2
Beta
B(p, q)f(x) = (1
β(p,q)xp−1(1 −x)q−1si x∈[0,1]
0si x /∈[0,1]
p
p+q
pq
(p+q)2(p+q+1)
2