C:\Documents and Settings\Stéph - LAMFA

S3 Maths et Info-MIAGE 2010-2011
Statistique et Probabilités
TP 2 - Lois de probabilité
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2010-2011
Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 3
Statistique et Probabilités
TP 2 - Lois de probabilité
L’enregistrement du fichier à télécharger se fera sur une clé USB personnelle. A défaut, sur D: (dans
Poste de travail).
Télécharger le fichier excel TP 2.xls, contenant les données à traiter, à l’adresse suivante :
http://www.lamfa.u-picardie.fr/ducay . Il se trouve dans la rubrique Enseignements - Statistique et
Probabilités.
Penser à en sauvegarder deux copies : l’une à conserver sans modification, l’autre sur laquelle le travail
sera effectué, et qui sera renommer “votrenom2.xls”.
Démarrer Excel. Ouvrir le fichier votrenom 2.xls.
Il contient plusieurs feuilles proposant un modèle type permettant de répondre aux questions suivantes.
1)
Simulation d’une loi de Bernoulli et introduction à la loi des grands nombres.
Soient un réel p de 0, 1, et une variable aléatoire X à valeurs dans 0, 1 qui suit la loi de Bernoulli
Bp de paramètre p.
a) On suppose que p  0, 5. Réaliser une simulation numérique de X : il s’agit d’écrire une formule
qui, dans une cellule, renvoie 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité 1 − p. Pour ce faire, on peut utiliser :
- la fonction SI d’Excel ;
- la fonction ALEA d’Excel qui permet de simuler une variable aléatoire Y de loi Uniforme sur
l’intervalle 0, 1 ; on rappelle que la fonction de répartition de Y vérifie pour cette loi : pour tout x de 0, 1,
PY ≤ x  x.
b) On suppose que p  0, 4. Répéter la simulation ci-dessus un grand nombre de fois (50, 100, 200,
500, 1000 fois), en créant un tableau pour consigner les résultats de ces simulations. Calculer la fréquence du
nombre de 1 obtenus dans chacun des tableaux. Qu’observez-vous ? Commentaire ?
2)
Approximations de lois de probabilités.
On tire n  40 boules dans une urne en contenant 500, dont 100 rouges et 400 blanches.
a) La loi Hypergéométrique H N, n, NN1 est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au
nombre de boules rouges obtenues lors de n tirages sans remise d’une boule dans une urne en contenant N,
dont N 1 rouges.
Compléter le tableau dans lequel vous indiquerez, pour chaque valeur possible k de X, la
probabilité P H k  P H X  k et la valeur F H k  P H X ≤ k de la fonction de répartition de la loi
hypergéométrique. Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE d’Excel ; dans la boîte de
dialogue, et pour l’exemple traité :
- Succès_échantillon indique la valeur k pour laquelle on veut faire le calcul ;
- Nombre_échantillon indique le nombre n de tirages effectués ;
- Succès_population indique le nombre N 1 de boules rouges ,
- Nombre_population indique le nombre N de boules de l’urne.
Stéphane Ducay
1
S3 Maths et Info-MIAGE 2010-2011
Statistique et Probabilités
TP 2 - Lois de probabilité
b)
Approximation de la loi Hypergéométrique par la loi Binomiale.
La loi Binomiale Bn, NN1  est la loi suivie par la variable aléatoire égale au nombre de boules
rouges obtenues lors de n tirages avec remise d’une boule dans une urne en contenant N, dont N 1 rouges.
Compléter le tableau en calculant P B k et F B k. Pour ce faire, utiliser la fonction
LOI.BINOMIALE d’Excel ; dans la boîte de dialogue, et pour l’exemple traité :
- Nombre_succès indique la valeur k pour laquelle on veut faire le calcul ;
- Tirages indique le nombre n de tirages effectués ;
- Probabilité_succès indique la proportion NN1 de boules rouges ,
- Cumulative : FAUX permet de calculer P B k, VRAI permet de calculer F B k.
Tracez des diagrammes en batons pour comparer P H et P B d’une part, et F H et F B d’autre part.
Compléter le tableau en calculant P H k − P B k et F H k − F B k. Commenter.
c)
Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson.
Compléter le tableau en calculant P P k et F P k. pour une loi de Poisson de paramètre
N1
  np  n N . Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.POISSON d’Excel.
Compléter le tableau en calculant F B k − F P k. Commenter.
d)
Approximation de la loi Binomiale par une loi Normale
On suppose maintenant qu’il y a 200 boules rouges: N 1  200 boules rouges parmi les N  500
boules de l’urne. On pose p  NN1 . On effectue n  40 tirages avec remise d’une boule dans l’urne.
Compléter le tableau en calculant F B k et F N k où F N est la fonction de répartition de la loi
normale de moyenne np et d’écart type np1 − p . Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.NORMALE
d’Excel.
Compléter le tableau en calculant F B k − F N k. Commenter.
3)
Construction de tables
Le but est de construire la table de la loi normale centrée réduite et sa table "inverse".
a) On veut construire la table des valeurs de x  F N x  P N X ≤ x, lorsque X suit une loi
normale centrée réduite N0, 1 (table 1).
Compléter la table. Pour ce faire, la fonction LOI.NORMALE.STANDARD d’Excel.
b) On veut construire la “table inverse”. Attention, il ne s’agit pas de la table donnant les valeurs de
 , mais de la table qui, pour chaque valeur , donne la valeur u  telle que
u   − −u    P N −u  ≤ X ≤ u    1 − , c’est-à-dire u    −1 1 −  (table 2).
2
Compléter la table. Pour ce faire, la fonction LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE d’Excel.
−1
c)
4)
De façon analogue au b), construire la table de la loi de Student (table 3).
Complément : approximation de  par la méthode de Monte-Carlo
Ce calcul d’une valeur approchée de  consiste à tirer au hasard de nombres x et y dans l’intervalle 0; 1,
autrement dit à simuler des valeurs de deux variables aléatoires indépendantes X et Y. Si x 2  y 2 ≤ 1, le point
Mx, y appartient à un quart de disque de rayon 1 : la probabilité pour qu’il en soit ainsi est
PX 2  Y 2 ≤ 1   (résultat admis), ce qui correspond aussi au rapport des aires d’un quart de disque de
4
rayon 1 et d’un carré de côté 1.
En simulant un grand nombre n de points, et en désignant par k le nombre de ces points situés dans le
k
quart de cercle, on s’attend (loi des grands nombres) à ce que la fréquence f  n approche la probabilité
PX 2  Y 2 ≤ 1. Ainsi, 4f approchera . Mais attention, la convergence est lente !
On peut observer une telle simulation sur http://jpq.pagesperso-orange.fr/proba/montecarlo/
Utiliser Excel pour obtenir une approximation de .
Stéphane Ducay
2