Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h) E 1 E 2 E 3

1S Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
..
Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
E 1 .. correction ( 5 points )
Après fabrication, les lecteurs MP3 d'une entreprise subissent quatre contrôles successifs
indépendants, la probabilité qu'un lecteur MP3 de la production soit rejeté à un contrôle
est de 0, 106 .
Un lecteur MP3 est :
□
□
□commercialisé s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs ;
□
□
□détruit s'il est rejeté au moins deux fois ;
□
□
□commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50 e. Son prix de vente est de
120 epour un lecteur avec logo et 60 epour un lecteur sans logo.
On désigne par Gla variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqués, associe le gain
algébrique (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G(arrondir à 10−3près).
2. Calculer à 10−2près l'espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce
résultat.
E 2 .. correction ( 5 points )
Une entreprise Aest spécialisée dans la fabrication en série d'un article.
Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un article produit soit défectueux est
égale à 0, 05 .
On considère la variable aléatoire Xqui, à narticles achetés par un commerçant, associe
le nombre d'articles défectueux.
1. Justifier que Xsuit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Le commerçant achète n=25 articles. On arrondira les résultats à 10−3près.
(a) Déterminer la probabilité qu'au moins 3articles soient défectueux.
(b) Déterminer la probabilité qu'au plus 4articles soient défectueux.
(c) Déterminer la probabilité qu'exactement 2articles soient défectueux.
3. Combien y a-t-il en moyenne d'articles défectueux ?
4. Le commerçant souhaite que la probabilité d'avoir au moins un article défectueux soit
inférieure à 0, 5 . Déterminer la valeur du nombre nd'articles qu'il peut commander.
5. Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur de ntrouvée précédemment.
E 3 .. correction ( 5 points )
« Avec la crème Norel, les rides sont visiblement réduites », c'est ce qu'affirme la firme de
cosmétologie Norel dans une publicité.
Elle ajoute : « 78 % des femmes utilisant cette crème se déclarent satisfaites du résultat. »
Une association de consommateurs souhaite vérifier les dires de l'entreprise. À partir d'un
échantillon de 200 utilisatrices (la population est suffisamment grande pour considérer
qu'il s'agit de tirages avec remise), on obtient une fréquence fd'utilisatrices satisfaites du
produit.
On souhaite savoir pour quelles valeurs de f, on peut mettre en doute le pourcentage
annoncé par le fabriquant au seuil de 5%.
Page 1

1S Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
1. On fait l'hypothèse que Noreal dit vrai et que le taux de femmes satisfaites est p=0, 78 .
Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Xégale au nombre de femmes satisfaites
de l'échantillon ?
2. On note Il'intervalle de fluctuation à 95 %. Déterminer I.
3. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse p=0, 78 selon
la valeur de la fréquence fdes consommatrices satisfaites de l'échantillon.
4. Sur 200 femmes interrogées, 71 % se déclarent satisfaites de la crème Noreal. Peut-on
considérer, au seuil de 5%, l'affirmation du fabriquant comme exacte ?
5. Même question si le pourcentage de femmes satisfaites est de 71 % mais que l'étude ne
porte que sur 100 femmes ? Expliquez votre résultat.
E 4 .. correction ( 5 points )
Soit fla fonction définie sur I=]3 ; +∞[par :
f(x)=x2+7
x−3.
1. Déterminer l'expression de la dérivée f′de fsur I.
2. Dresser le tableau de variation de fsur l'intervalle I.
3. Déterminer le minimum de fsur Iet la valeur pour laquelle il est atteint.
4. En déduire que pour tout x>3, on a f(x)⩾14 .
E 5 .. correction ( bonus )
Dans un repère orthormé, Pest la parabole d'équation y=x2.hest un nombre réel
strictement positif.
On inscrit dans la partie du plan délimitée par Pet la droite d'équation y=hun rectangle
comme sur la figure ci-dessous.
1
2
3
1−1−20
hDémontrer qu'il existe un rectangle
d'aire maximale dont on exprimera
les dimensions en fonction de h.
Page 2

1S Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
..
Correction
E 1 .. énoncé
1. Soit Xla variable aléatoire qui à un lecteur MP3 associe le nombre de fois où il est
rejeté. Xsuit une loi binomiale de paramètre 4et 0, 106 .
□
□
□P(G=10)=P(X=1)≈0, 303 ;
□
□
□P(G=70)=P(X=0)≈0, 639 ;
□
□
□P(G=−50)=1−P(G=10)−P(G=70)≈0, 058 .
xi−50 10 70
P(G=xi)0, 058 0, 303 0, 639
2. E(G)≈44, 86 .
E 2 .. énoncé
1. On assimile le contrôle de qualité d'un produit fabriqué à une épreuve de Bernoulli de
paramètre 0, 05 .
On répète nfois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre 0, 05 .
Xcompte le nombre de succès (nombre d'articles défectueux) donc Xsuit une loi bino-
miale de paramètres net 0, 05 .
2. (a) P(X⩾3)≈0, 127 ;
(b) P(X⩽4)≈0, 993 ;
(c) P(X=2)≈0, 231 ;
3. E(X)=25 ×0, 05 =1, 25 .
4. P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−0, 95n.
Avec la fonction TABLE de la calculatrice on obtient 0⩽n⩽13 .
5.
VARIABLES :
Entier : n
DEBUT
n←1
tant que 1−0, 95n⩽0, 5
faire
n←n+1
fintantque
afficher(n-1)
FIN
E 3 .. énoncé
1. On répète 200 fois de manière identique des épreuves de Bernoulli indépendantes de
paramètre 0,78 ,Xsuit la loi binomiale de paramètre 200 et 0, 78 .
Page 3

1S Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
2. a=144 et b=167 . On en déduit I=[0, 72 ; 0, 837].
3. □
□
□Si f∉Ion rejette l'hypothèse au seuil de 5% ;
□
□
□si f∈Ion ne rejette pas l'hypothèse au seuil de 5%.
4. 0, 71 ∉Idonc on rejette l'hypothèse au seuil de 5%.
5. Si l'échantillon ne comporte que 100 femmes alors a=70 et b=86 . On en déduit
alors I=[0, 70 ; 0, 86]et f∈I. On ne peut donc plus rejeter l'hypothèse au seuil de 5%.
E 4 .. énoncé
1. fest dérivable sur Iet pour tout x∈I,
f′(x)=
2x(x−3)−x2+7
(x−3)2=x2−6x−7 (x−3)2.
2. ∆=64 ,x1=−1et x2=7.
x
Sgn.
f′(x)
Var.
f
3 7
0
14
+∞
−+
3. Le minimum de fest 14 , il est atteint pour x=7.
4. D'après le tableau pour tout x>3,f(x)⩾14 .
E 5 .. énoncé
Soit x∈0 ; phet S(x)l'aire du rectangle inscrit.
S(x)=2xh−x2=−2x3+2hx
Sest dérivable sur 0 ; phet pour tout x∈0 ; ph,
S′(x)=−6x2+2h.
x
Sgn.
f′(x)
Var.
f
0
0
h
3
0
4
3hh 3
ph
0
+−
Le rectangle est d'aire maximale lorsque x=h
3, ses dimensions sont alors l=2h 3et
L=2
3h.
Page 4