maths financieres

MATHS
FINANCIERES
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Projet OMEGA
Sophia Antipolis, septembre 2004

1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels
Options d’achat et de vente : Call et Put
Une option d’achat (resp. de vente) europ´eenne, de prix d’exercice
K(strike), d’´ech´eance Tsur un actif
est un contrat qui donne `a son d´etenteur le droit, mais non l’obligation
d’acheter (resp. de vendre) l’actif en question au cours K`a la date
T.
Payoff du call : (ST−K)+.
16 avril 1973 : ouverture du premier march´e organis´e d’options (n´e-
gociables) d’achat sur action sur le Chicago Board Options Exchange
(C.B.O.E).
Payoff du put : (K−ST)+.
3 juin 1977, toujours sur le C. B. O. E.

2. D´etermination de la prime de l’option : la formule de Black et Scholes
F. Black, M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities,
Journal of Political Economy, May-June 1973, 81, pp. 637-654.
IOn se place dans le cadre simplifi´e suivant :
•L’action sous-jacente ne distribue pas de dividende durant la dur´ee
de vie de l’option;
•Les transactions sur l’action se font au comptant;
•La courbe des taux est plate et invariante dans le temps.
On notera rce taux d’int´erˆet, unique pour toutes les ´ech´eances
et constant dans le temps.
Avec la convention : r=ln(1 + ρ) o`u ρd´esigne le taux actuariel
annuel.
IOn suppose notamment que
•Le rendement instantan´e de l’actif sous-jacent est al´eatoire, d’´ecart–
type constant σ,la volatilit´e.

La formule :
Prime call(S0, K, T, r, σ)
=S0N(d1(S0)) −Kexp(−rT )N(d2(S0))
o`u
d1(x) := ln x
K+ (r+σ2/2)T
σ√T,
d2(x) := d1(x)−σ√T
et
N(u) := Zu
−∞
exp(−v2
2)dv
√2π.

Couverture en delta–neutre
δt:= δ(St, K, t, T, r, σ)
d´esigne la quantit´e d’actif sous-jacent `a l’option que doit d´etenir le
signataire `a tout instant (et financ´ee par la prime de l’option) pour
couvrir exactement le payoff `a l’´ech´eance.
δt=∂Prime call
∂St
(St, K, T −t, r, σ) = N(d1(St))