Rudiments pratiques d`alg`ebre linéaire

Rudiments pratiques d’alg`ebre lin´eaire
IUP GSI 1`ere ann´ee et DEUG STPI 2`eme ann´ee
Fran¸cois Dumas

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Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels Rnet Cn9
1.1 Structure d’espace vectoriel sur Kn............................ 9
1.1.1 Ensemble Kn.................................... 9
1.1.2 Addition dans Kn................................. 9
1.1.3 Produit externe d’un vecteur de Knpar un nombre de K........... 10
1.1.4 Calcul dans l’espace vectoriel Kn......................... 11
1.1.5 Commentaire : notion g´en´erale d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Sous-espaces vectoriels de Kn............................... 12
1.2.1 Exemples pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Notion de sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Somme directe et sous-espaces vectoriels suppl´ementaires . . . . . . . . . . . 15
1.3 Engendrement et familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Exemples pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Combinaisons lin´eaires et sous-espace vectoriel engendr´e . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Famille g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 D´ependance lin´eaire, familles li´ees, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Exemples pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Famille li´ee, famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Bases et dimension de Kn............................. 19
1.5.2 Bases et dimension des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Bases et somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Th´eor`eme dit de la base incompl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Applications lin´eaires 25
2.1 Endomorphismes de Kn.................................. 25
2.1.1 Exemples pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Notion d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Injectivit´e, noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4 Surjectivit´e, image, rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5 Bijectivit´e, action sur les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.6 Alg`ebre des endomorphismes, groupe lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Applications lin´eaires de Kndans Kp........................... 31
2.2.1 Notion d’application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Image directe ou r´eciproque d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Formes lin´eaires et ´equations des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Formes lin´eaires et hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3

2.3.2 Equations lin´eaires homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Syst`emes homog`enes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Matrices 39
3.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Addition et produit externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.4 Alg`ebre des matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.5 Matrices carr´ees inversibles, groupe lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.6 Matrices ´equivalentes, matrices carr´ees semblables . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.7 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.8 Quelques types particuliers de matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.9 Trace d’une matrice carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Matrices et applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Matrice d’une application lin´eaire par rapport `a des bases . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Propri´et´es de la correspondance entre matrices et applications lin´eaires . . . 47
3.2.3 Cas particulier des matrices carr´ees et des endomorphismes . . . . . . . . . . 48
3.2.4 Application au calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee inversible . . . . . . . 49
3.3 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.3 Premi`ere formule de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.4 Seconde formule de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Rang 55
4.1 Divers points de vue sur la notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Rang d’une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.3 Rang d’un syst`eme d’´equations lin´eaires homog`enes . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.5 Un exemple num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.6 Matrices carr´ees de rang maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.7 Deux propri´et´es du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Une m´ethode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Rang et transformations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Un exemple num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 D´eterminant 63
5.1 Cas particulier des matrices 2 ×2............................. 63
5.2 Cas g´en´eral des matrices n×n.............................. 64
5.2.1 D´efinition du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.2 Op´erations sur les lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.3 Transposition (Op´erations sur les colonnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.4 Exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.5 Multiplicativit´e et inversibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 D´eterminant d’un endomorphisme ; application `a la bijectivit´e . . . . . . . . . 68
4

5.3.2 Application `a l’ind´ependance lin´eaire d’une famille de nvecteurs . . . . . . . 68
5.3.3 Application `a certains syst`emes lin´eaires : formules de Cramer . . . . . . . . 68
5.4 Exercices sur le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 R´eduction des endomorphismes (1) 73
6.1 Notions g´en´erales sur les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 Remarques pr´eliminaires et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.4 Multiplicit´e d’une valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.5 Quelques exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Diagonalisation et trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 Endomorphisme diagonalisable, matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.2 Endomorphisme trigonalisable, matrice trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Application `a la r´esolution de syst`emes diff´erentiels lin´eaires . . . . . . . . . . 82
6.2.4 Application au calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Exercices sur le chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 R´eduction des endomorphismes (2) 87
7.1 Polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.2 Notion de polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Sous-espaces caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1 Notion de sous-espace caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.2 Suite des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 R´eduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.1 Synth`ese sur la m´ethode de r´eduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5