Chapitre 14

Chapitre 14
SÉRIES DE FOURIER
Mohamed TARQI
Table des matières
1 Introduction : analyse de Fourier 1
2 Généralités 2
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Convergence en moyenne quadratique 6
3.1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Un exemple d’espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Développement en série de Fourier 15
4.1 Convergence Ponctuelle : Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Convergence ponctuelle : Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Exemples de développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Premier théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
•••••••••
1 Introduction : analyse de Fourier
Analyse de Fourier, méthode mathématique utilisée pour décomposer une fonction complexe
en somme de fonctions périodiques.
Pour décrire la propagation de la chaleur, le mathématicien français Joseph Fourier a introduit
une méthode mathématique consistant à décomposer une fonction quelconque en une somme
de fonctions sinusoïdales, d’amplitudes différentes et de longueurs d’onde harmoniques, c’est-
à-dire des sous-multiples d’une même longueur d’onde dite fondamentale. L’image concrète
de cette méthode est donnée par la surface complexe d’un océan qu’on peut décrire comme ré-
sultant de la composition de vagues (les fonctions sinusoïdales), de hauteurs (les amplitudes)
et de distances entre vagues (les longueurs d’onde) différentes. Cette méthode qui permet aussi
de représenter une fonction discontinue par une somme d’une infinité de fonctions continues
(série de Fourier) a d’abord été rejetée par les mathématiciens de l’époque que cette idée cho-
quait. La rigueur mathématique de la méthode de Fourier a finalement été démontrée par le
physicien Josiah Gibbs1en 1899.
1Physicien américain (1876 - 1878), par ses travaux fondamentaux sur la thermodynamique étendue à la chimie,
fonde la chimie physique. Il élabore notamment la règle des phases, qui décrit l’équilibre de systèmes hétérogènes
1

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L’intérêt des séries de Fourier réside principalement dans leur application à la résolution des
équations complexes qui régissent l’évolution de nombreux systèmes physiques. Elles peuvent
aussi bien être appliquées à une fonction analytique qu’à une fonction connue numériquement.
Dans ce dernier cas, on utilise des algorithmes dits de transformée de Fourier rapide (FFT : Fast
Fourier Transform). L’analyse de Fourier est d’une telle richesse qu’elle est devenue un outil
indispensable de la physique actuelle et tout particulièrement de la physique des particules.
Elle permet, entre autres, de comprendre la décomposition et la diffraction des ondes électro-
magnétiques, comme la lumière visible. Appliquée à la diffraction des rayons X, elle a permis
notamment la découverte de la structure en double hélice des molécules d’ADN (voir cristal-
lographie). Elle est applicable plus généralement dans tous les domaines faisant intervenir des
ondes et notamment dans le cas de la décomposition d’un son quelconque en une somme de
sons purs. En éliminant certaines sinusoïdes, donc certaines longueurs d’onde ou certaines fré-
quences (la fréquence étant l’inverse de la longueur d’onde), on peut ainsi filtrer un son (ou
une image) du bruit de fond.
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2 Généralités
2.1 Rappels et notations
On note C2π
ml’ensemble des applications de Rdans C,2πpériodiques et continues par mor-
ceaux. On note C2πle sous-ensemble de C2π
m, formé des applications de Rdans C, continues et
2πpériodiques.
On rappelle que C2π
m, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, est un espace
vectoriel sur le corps des nombres complexes C.
Si fest une fonction T-périodique, on peut se ramener à une fonction 2π-périodique en posant :
g(x) = fT
2πx.
Si f:R−→ Cest une fonction réglée et 2π-périodique, alors ∀a∈R,
Za+2π
a
f(t)dt =Z2π
0
f(t)dt
et si fest paire, alors Z2π
0
f(t)dt = 2 Zπ
0
f(t)dt
et si fest impaire, alors Z2π
0
f(t)dt =Zπ
−π
f(t)dt = 0.
Remarque : On peut munir l’espace vectoriel C2πd’une norme en posant, pour tout f∈C2π:
kfk1=1
2πZ2π
0
|f(t)|dt.
formés de plusieurs parties aux propriétés différentes.
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2.2 Coefficients de Fourier
Définition 2.1 Soient f:R−→ Cune fonction réglée et 2π-périodique et n∈Z, on appelle coefficient
de Fourier2d’indice nle nombre complexe, noté b f(n)ou cn(f), défini par :
b
f(n) = cn(f) = 1
2πZπ
−π
f(t)e−intdt.
On définit aussi les coefficients de Fourier trigonométriques de f, notés an(f)et bn(f)par :
an(f) = 1
πZ2π
0
f(t) cos ntdt et bn(f) = 1
πZ2π
0
f(t) sin ntdt.
Remarques : Si f:R−→ Cest une fonction réglée et 2π-périodique, on a :
•b0(f) = 0.
•c0(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)dt est la valeur moyenne de fsur [0,2π].
•Si fest paire, alors ∀n∈N,bn(f) = 0 et an(f) = 2
πZπ
0
f(t) cos ntdt.
•Si fest impaire, alors ∀n∈N,an(f) = 0 et ∀n∈N∗bn(f) = 2
πZπ
0
f(t) sin ntdt.
Proposition 2.1 Soit fune fonction réglée et 2π-périodique, alors on a :
∀n∈N, an(f) = cn(f) + c−n(f).
∀n∈N, bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)).et ∀n∈N, cn(f) = 1
2(an(f)−ibn(f)).
∀n∈N, c−n(f) = 1
2(an(f) + ibn(f)).
Démonstration : Pour tout n∈N, on a :
an(f) = 1
πZ2π
0
f(t) cos ntdt =1
2πZ2π
0
f(t)(eint +e−int)dt =c−n(f) + cn(f).
et ∀n∈N
bn(f) = 1
πZ2π
0
f(t) sin ntdt =i
2πZ2π
0
f(t)(−eint +e−int)dt =i(cn(f)−c−n(f)).
∀n∈N
cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt =1
2(an(f)−ibn(f)).
2
Fourier, Joseph, baron Fourier, Joseph, baron (1768-1830), mathématicien fran-
çais connu pour la découverte des séries trigonométriques qui portent son
nom. Né à Auxerre, il fit ses études au monastère de Saint-Benoît-sur-Loire. Il
enseigna en 1795 à l’École normale où il avait été étudiant, et à l’École poly-
technique de Paris de 1795 à 1798, puis il rejoignit la campagne d’Égypte de
Bonaparte. De retour en France en 1802, il publia d’importants travaux sur les
antiquités égyptiennes et occupa le poste de préfet de l’Isère jusqu’en 1815. En
1808, Napoléon lui donna le titre de baron. En 1816, il fut élu à l’Académie des
sciences et, en 1827, à l’Académie française. Il doit sa réputation à ses travaux
sur les mathématiques et sur la physique mathématique. Dans son traité sur
la Théorie analytique de la chaleur (1822), il utilisa une série trigonométrique,
appelée la série de Fourier, qui permet d’exprimer des fonctions discontinues
comme somme d’une série infinie de sinus et de cosinus.
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et
c−n(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)eintdt =1
2(an(f) + ibn(f)).
u
t
Remarque : Soit B(Z,C)l’espace vectoriel des suites complexes définies sur Zet bornées, et
Fl’application définie par :
F:C2π−→ B(Z,C)
f7−→ F(f) = b f
Fest une application linéaire, continue de (C2π,k.k1)dans B(Z,C),k.k∞), puisque ∀f∈C2π
m,
on a pour tout entier relatif n:
|F(f)(n)|=|cn(f)|=
1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt≤1
2πZ2π
0
|f(t)|dt =kfk1
d’où
kF(f)k∞≤ kfk1et kFk ≤ 1.
De plus kFk= 1, car pour f= 1, on a kF(f)k∞= 1.
Proposition 2.2 Soit f:R−→ Cune fonction réglée et 2π-périodique.
1. ∀n∈Z,cn(f) = c−n(f), en particulier : ∀n∈N,an(f) = an(f)et bn(f) = bn(f).
2. Si de plus fcontinue sur Ret C1par morceaux sur R, alors cn(f0) = incn(f).
Démonstration :
1. ∀n∈Z,cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt =1
2πZ2π
0
f(t)eintdt =c−n(f).
2. Une intégration par parties fournit, pour tout n∈Z,
cn(f0) = 1
2πZ2π
0
f0(t)e−intdt =1
2π[f(t)eint]2π
0+in 1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt =incn(f)
u
t
Lemme 2.1 ( de Lebesgue ) 3Soit (a, b)∈R2tel que a < b et f: [a, b]−→ Cune fonction
réglée. Alors
lim
λ→+∞Zb
a
f(t)eiλtdt = 0.
3
Lesesgue(Henri), mathématicien français (Beauvais 1875- Paris 1941). Il est
l’auteur d’une théorie de l’intégration placée dans le cadre d’une théorie de
la mesure. Le petit larousse.
Lebesgue
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Démonstration : La propriété est claire si f= 1, puisque :
Zb
a
eiλtdt=
eiλb −eiλa
iλ ≤2 |λ|
Donc, par linéarité et la relation de Chasles, la propriété est vraie pour toutes les fonction en
escalier sur [a, b].
Soit maintenant, f: [a, b]→Créglée, alors pour tout ε > 0, il existe ϕen escalier sur [a, b]tel
que
kf−ϕk∞≤ε.
On a alors, pour tout réel λ > 0:
Zb
a
(f−ϕ)(t)eiλtdt≤Zb
a
|f(t)−ϕ(t)|dt ≤(b−a)ε,
d’autre part, il existe λ0>0tel que ∀λ≥λ0on a :
Zb
a
ϕ(t)eiλt≤ε.
On obtient ainsi, ∀λ≥λ0,
Zb
a
f(t)eiλtdt≤Zb
a
(f(t)−ϕ(t))eiλtdt+Zb
a
ϕ(t)eiλtdt≤(1 + (b−a))ε
ce qui preuve que
lim
λ→+∞Zb
a
f(t)eiλtdt = 0.
u
t
Remarque : Si f: [a, b]→Rune fonction réglée, alors
lim
λ→+∞Zb
a
f(t) cos λt = lim
λ→+∞Zb
a
f(t) sin λt = 0.
Corollaire 2.1 Si fest une fonction réglée et 2π-périodique, alors lim
n→∞ cn(f) = 0
Définition 2.2 Soit fune fonction réglée et 2π-périodique. On appelle série de Fourier de fla série
d’applications
∞
P
n=0
un(f)où
u0(f) : R−→ C
t7−→ c0(f)
et
un(f) : R−→ C
t7−→ cn(f)eint +c−n(f)e−int
La somme partielle de la série de fourier de fd’ordre p∈Nest l’application Sp(f) : R→C
définie par :
∀t∈R, Sp(f)(t) =
p
X
n=−p
cn(f)eint.
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