L3 Mathématiques Groupes `a 8 éléments 1.0. Soit G un groupe

L3 Math´ematiques
Groupes `a 8´el´ements
1.0. Soit Gun groupe ab´elien et Hun sous-groupe de G. On note Kpour le quotient G/H
et p:G−→ Kl’homomorphisme quotient. On suppose qu’il existe un homomorphisme
sde Kdans Gtel que p◦s= IdK. Montrer que Gest isomorphe `a H×K.
Gd´esigne dor´enavant dans toute cette feuille un groupe `a 8 ´el´ements.
On suppose Gab´elien dans la partie 1.
1.1. Soit Gun groupe dont tous les ´el´ements sont d’ordre 2. Montrer que Gest ab´elien.
1.2.On suppose Gfini. Montrer par r´ecurrence sur le cardinal que Gest isomorphe `a
(Z/2Z)n. On chosira un ´el´ement d’ordre 2, soit x∈G. Puis on consid´erera le quotient
G/ < x > auquel on appliquera l’hypoth`ese de r´ecurrence. Donc G/ < x >∼
=(Z/2Z)n−1.
Soit a1, . . . , an−1des g´en´erateurs de G/ < x >, on en choisira des images inverses par
p:G−→ G/ < x > et on conclura.
En particulier si Gest d’ordre 8 et si tous ses ´el´ements sont d’ordre 2 il est isomorphe `a
(Z/2Z)3.
1.3. D´emontrer que si Ga un ´el´ement d’ordre 8 il est isomorphe `a Z/8Z.
1.4. Supposons que Gait un ´el´ement d’ordre 4, et pas d’´el´ement d’ordre 8. Soit aun
´el´ement d’ordre 4. Soit ¯ b∈G/ < a > d’ordre 2. Montrer qu’il existe un ´el´ement b∈G
tel que p(b) = ¯ bet best d’ordre 2. On choisira un ´el´ement b∈Gtel que p(b) = ¯ b, puis on
montrera que best d’ordre 2 ou 4, si best d’ordre 4 on montrera que b+aest d’odre 2.
En utilisant 1.0 conclure que Gest isomorphe `a Z/Z×Z/4Z.
En d´eduire que G∼
=Z/2Z×Z/4Z.
2.1. Groupe i´edral : par d´efinition
D8={1, ρ, ρ2, ρ3, s, sρ, sρ2, sρ3}
avec la relation sρs =ρ3. Donner la table du groupe. Montrer que le centre est isomorphe
`a Z/2Zet engendr´e par ρ2.
Montrer que le quotient par le centre est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z. D´eterminer les
´el´ements d’odre 2 et 4 (ρ, ρ3).
D´ecrire les classes de conjugaisons : {1},{ρ2}{ρ, ρ3},{s, sρ2},{sρ, sρ3}
D´eterminer les sous-groupes. Lesquels sont distingu´es?
Comparer au groupe du carr´e.
2.2. Groupe quaternionien : par d´efinition
Q={1,−1, i, −i, j, −j, k, −k}
On rappelle que i2=j2=k2=−1, ij =k, jk =i, ki =jet ij =−ji, jk =−kj, ki =−ik.
Donner la table du groupe. Montrer que le centre est isomorphe `a Z/2Zet engendr´e par
−1. Montrer que le quotient par le centre est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z.
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D´eterminer les ´el´ements d’ordre 2 et 4 (i,-i,j,-j,k,-k).
D´ecrire les classes de conjugaisons : {1},{1}{i, −i},{j, −j},{k, −k}
D´eterminer les sous-groupes. Lesquels sont distingu´es?
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