Feuille d`exercices 1 : groupes.

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
M1 maths et applications. Algèbre
Feuille d’exercices 1 : groupes.
Exercice 1.
Montrer que SL(n, R) est un sous-groupe distingué du groupe GL(n, R) et que le groupe quotient est isomorphe à R∗ .
Exercice 2.
Soit G un groupe fini d’ordre pair. Montrer que l’équation x2 = e admet toujours une solution
non triviale.
Exercice 3.
1. Soit G un groupe où pour tout x, x2 = e. Montrer que G est abélien.
2. Montrer que l’ordre de G est une puissance de 2.
3. Montrer que tout groupe d’ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou Z/2Z × Z/2Z.
Exercice 4.
1. Soit G un sous groupe de (R, +), non réduit à {0}.
(a) Montrer que si inf G ∩ R∗+ > 0, alors G est discret et de la forme αZ, avec α > 0.
(b) Montrer que si inf G ∩ R∗+ = 0 alors G est dense dans R.
2. Soit α ∈ R∗ . Montrer que
G = a + bα, (a, b) ∈ Z2
est un sous groupe additif de R. Montrer que G est discret si et seulement si α ∈ Q.
Exercice 5.
Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique fini est cyclique.
Exercice 6.
Montrer qu’un sous-groupe d’indice 2 est toujours distingué.
Exercice 7.
Soit G un groupe n’ayant aucun sous groupe propre non trivial. Montrer que G est fini et
isomorphe à Z/pZ où p est un nombre premier.
Exercice 8.
Montrer que Sn est engendré par les ensembles suivants de permutations :
(a) (1 2), (1 3), . . . , (1 n)
(b) (1 2), (2 3 · · · n)
Exercice 9.
On rappelle que An est le sous groupe des permutations paires de Sn .
1. Montrer que An est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn .
2. Montrer que An est engendré par les produits de transpositions de la forme (a b)(c d).
3. Montrer que An est engendré par les 3-cycles (indications : on montrera qu’un produit de
deux transpositions distinctes est un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles).
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Exercice 10.
Pour p un nombre premier, déterminer le nombre de p-sous-groupes de Sylow du groupe
symétrique Sp .
Exercice 11.
Pour σ ∈ Sn le “nombre d’inversions” de σ est
η(σ) =
Y σ(x) − σ(y)
x−y
i<j
.
1. Montrer que η(σ) ∈ {−1, +1}.
2. Montrer que η : Sn → ({−1, +1} , ·) est un morphisme de groupes non-trivial.
3. Conclure que pour tout σ, η(σ) est la signature de σ.
Exercice 12.
Dans un plan vectoriel euclidien orienté, soit ρ la rotation d’angle 2π/n, u un vecteur unitaire,
σ la symétrie par rapport à Vect(u). On pose pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}, Pi = ρi (u). On appelle
Isom(P ) le groupe des isométries qui envoient le polygone régulier P = P0 P1 . . . Pn−1 sur lui-même.
1. Montrer tout élément de Isom(P ) est de la forme ρi ou ρi σ pour un i ∈ {0, . . . n − 1}. Décrire
géométriquement ces éléments. Quel est l’ordre de Isom(P ) ?
2. Expliciter le produit de deux éléments quelconques de Isom(P ).
3. Montrer que Isom(P ) est isomorphe au groupe diédral D2n .
Exercice 13.
Dans l’espace R3 , on considère le cube dont les sommets ont des coordonnées égales à ±1. On
appelle A1 , B1 , C1 et D1 les quatre sommets d’une face du cube et A2 , B2 , C2 et D2 les sommets
opposés (symétriques par rapport a 0). On appelle H le groupe des isométries vectorielles de R3
qui envoient le cube sur lui-même.
1. Montrer que tout élément de H permute les paires de sommets opposés. En déduire un
homomorphisme Φ de H dans S4 .
2. Déterminer le noyau de Φ.
3. Soit H + le sous-ensemble des déplacements de H. Montrer que H + est un sous-groupe de H.
Quelle est l’image par Φ des retournements d’axe passant par les milieux des côtés opposés
du cube ? En déduire que la restriction de Φ à H + est surjective, puis montrer que c’est un
isomorphisme.
4. Quel est l’ordre de H + ? Décrire tous ses éléments.
λ(f, 0) = f
Montrer
λ(f, 1) = −id ◦ f
que λ est un isomorphisme de groupes. En déduire que H est isomorphe à S4 × Z/2Z.
5. On considère l’application λ : H + × Z/2Z → H définie par
Exercice 14.
Soit G un groupe et Z(G) son centre.
1. Montrer que Z(G) est distingué.
2. Montrer que si G/Z(G) est monogène, alors G est abélien.
3. Montrer que tout groupe d’ordre p2 , où p est un nombre premier, est abélien.
Exercice 15.
1. (rappel de cours !) Soit G un groupe et H et K deux sous groupes distingués de G. On
suppose que H ∩ K = {e} et HK = G. Montrer que G est isomorphe à H × K.
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2. Soit G un groupe d’ordre 55, possédant deux sous groupes distingués d’ordres respectifs 5
et 11. Montrer que G est isomorphe à Z/55Z.
Exercice 16. Soit G un groupe d’ordre 2p où p ≥ 3 est un nombre premier.
1. Montrer que G admet des éléments d’ordre p et des éléments d’ordre 2.
2. Soit h (resp. k) un élément d’ordre p (resp. 2) et H = hhi (resp. K = hki). Montrer que
HK = G, H ∩ K = {e} et que H est distingué dans G.
3. Conclure que G est isomorphe soit au groupe diédral D2p , soit à Z/2pZ.
Exercice 17.
Le but de cet exercice est de montrer qu’un groupe d’ordre 56 ne peut pas être simple. Par
l’absurde, on suppose donc que G est un groupe simple d’ordre 56.
1. Montrer que tout 7-Sylow est isomorphe à Z/7Z.
2. Montrer que G admet huit 7-Sylow.
3. Montrer que G admet exactement 48 éléments d’ordre 7.
4. En déduire que G n’admet qu’un seul 2-Sylow.
5. Conclure.
Exercice 18.
Soit G un p-groupe, i.e. un groupe dont l’ordre est de la forme pk , où p ≥ 2 est premier.
1. Montrer que le centre de p est non trivial (indication : considérer l’action par conjugaison
de G sur lui même et appliquer la formule des classes).
2. En déduire qu’il y a un élément central d’ordre p dans G.
3. Montrer qu’il existe une suite de sous-groupes G0 = {e} ⊂ G1 ⊂ G2 ⊂ · · · Gk = G, avec Gi
distingué et d’ordre pi .
Exercice 19.
Le but de cet exercice est de montrer que si G est un groupe fini et p est le plus petit facteur
premier de |G|, alors tout sous-groupe de G d’indice p est distingué. Soit donc G un groupe fini
et H un sous groupe de G tel que [G : H] = p.
1. En considérant l’action de G sur G/H, montrer qu’il existe un morphisme φ : G → Sp .
2. Soit K le noyau de φ. Montrer que |G|/|K| divise p!. En déduire que |G|/|K| = p.
3. Montrer que K ⊂ H. En déduire que K = H.
4. Conclure.
Exercice 20.
1. Le but de cette question est de montrer qu’un qu’un groupe G d’ordre pq avec p < q premiers
et q non congru à 1 mod p est cyclique.
(a) Montrer que n’admet qu’un p Sylow H et qu’un q Sylow K, tous deux distingués.
(b) Montrer que HK = G. Conclure.
2. Montrer que S5 n’a aucun sous groupe d’ordre 15.
Exercice 21.
Soient p et q deux nombres premiers. Montrer qu’il n ?existe pas de groupe simple d’ordre p2 q.
(indication : si p > q montrer que l’action de G par conjugaison sur les p-Sylow définit un morphisme injectif dans Sq et conclure. Si p < q, raisonner sur le nombre de q-Sylow.)
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