Exercice 10.
Pour pun nombre premier, d´eterminer le nombre de p-sous-groupes de Sylow du groupe
sym´etrique Sp.
Exercice 11.
Pour σ∈Snle “nombre d’inversions” de σest
η(σ) = Y
i<j
σ(x)−σ(y)
x−y.
1. Montrer que η(σ)∈ {−1,+1}.
2. Montrer que η:Sn→({−1,+1},·) est un morphisme de groupes non-trivial.
3. Conclure que pour tout σ,η(σ) est la signature de σ.
Exercice 12.
Dans un plan vectoriel euclidien orient´e, soit ρla rotation d’angle 2π/n,uun vecteur unitaire,
σla sym´etrie par rapport `a Vect(u). On pose pour tout i∈ {0, . . . , n −1},Pi=ρi(u). On appelle
Isom(P) le groupe des isom´etries qui envoient le polygone r´egulier P=P0P1. . . Pn−1sur lui-mˆeme.
1. Montrer tout ´el´ement de Isom(P) est de la forme ρiou ρiσpour un i∈ {0,...n−1}. D´ecrire
g´eom´etriquement ces ´el´ements. Quel est l’ordre de Isom(P) ?
2. Expliciter le produit de deux ´el´ements quelconques de Isom(P).
3. Montrer que Isom(P) est isomorphe au groupe di´edral D2n.
Exercice 13.
Dans l’espace R3, on consid`ere le cube dont les sommets ont des coordonn´ees ´egales `a ±1. On
appelle A1,B1,C1et D1les quatre sommets d’une face du cube et A2,B2,C2et D2les sommets
oppos´es (sym´etriques par rapport a 0). On appelle Hle groupe des isom´etries vectorielles de R3
qui envoient le cube sur lui-mˆeme.
1. Montrer que tout ´el´ement de Hpermute les paires de sommets oppos´es. En d´eduire un
homomorphisme Φ de Hdans S4.
2. D´eterminer le noyau de Φ.
3. Soit H+le sous-ensemble des d´eplacements de H. Montrer que H+est un sous-groupe de H.
Quelle est l’image par Φ des retournements d’axe passant par les milieux des cˆot´es oppos´es
du cube ? En d´eduire que la restriction de Φ `a H+est surjective, puis montrer que c’est un
isomorphisme.
4. Quel est l’ordre de H+? D´ecrire tous ses ´el´ements.
5. On consid`ere l’application λ:H+×Z/2Z→Hd´efinie par λ(f, 0) = f
λ(f, 1) = −id ◦fMontrer
que λest un isomorphisme de groupes. En d´eduire que Hest isomorphe `a S4×Z/2Z.
Exercice 14.
Soit Gun groupe et Z(G) son centre.
1. Montrer que Z(G) est distingu´e.
2. Montrer que si G/Z(G) est monog`ene, alors Gest ab´elien.
3. Montrer que tout groupe d’ordre p2, o`u pest un nombre premier, est ab´elien.
Exercice 15.
1. (rappel de cours !) Soit Gun groupe et Het Kdeux sous groupes distingu´es de G. On
suppose que H∩K={e}et HK =G. Montrer que Gest isomorphe `a H×K.
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