Feuille d`exercices 1 : groupes.

Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee M1 maths et applications. Alg`ebre
Feuille d’exercices 1 : groupes.
Exercice 1.
Montrer que SL(n, R) est un sous-groupe distingu´e du groupe GL(n, R) et que le groupe quo-
tient est isomorphe `a R∗.
Exercice 2.
Soit Gun groupe fini d’ordre pair. Montrer que l’´equation x2=eadmet toujours une solution
non triviale.
Exercice 3.
1. Soit Gun groupe o`u pour tout x,x2=e. Montrer que Gest ab´elien.
2. Montrer que l’ordre de Gest une puissance de 2.
3. Montrer que tout groupe d’ordre 4 est isomorphe `a Z/4Zou Z/2Z×Z/2Z.
Exercice 4.
1. Soit Gun sous groupe de (R,+), non r´eduit `a {0}.
(a) Montrer que si inf G∩R∗
+>0, alors Gest discret et de la forme αZ, avec α > 0.
(b) Montrer que si inf G∩R∗
+= 0 alors Gest dense dans R.
2. Soit α∈R∗. Montrer que
G=a+bα, (a, b)∈Z2
est un sous groupe additif de R. Montrer que Gest discret si et seulement si α∈Q.
Exercice 5.
Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique fini est cyclique.
Exercice 6.
Montrer qu’un sous-groupe d’indice 2 est toujours distingu´e.
Exercice 7.
Soit Gun groupe n’ayant aucun sous groupe propre non trivial. Montrer que Gest fini et
isomorphe `a Z/pZo`u pest un nombre premier.
Exercice 8.
Montrer que Snest engendr´e par les ensembles suivants de permutations :
(a) (1 2),(1 3),...,(1 n)
(b) (1 2),(2 3 · · · n)
Exercice 9.
On rappelle que Anest le sous groupe des permutations paires de Sn.
1. Montrer que Anest le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn.
2. Montrer que Anest engendr´e par les produits de transpositions de la forme (a b)(c d).
3. Montrer que Anest engendr´e par les 3-cycles (indications : on montrera qu’un produit de
deux transpositions distinctes est un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles).
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Exercice 10.
Pour pun nombre premier, d´eterminer le nombre de p-sous-groupes de Sylow du groupe
sym´etrique Sp.
Exercice 11.
Pour σ∈Snle “nombre d’inversions” de σest
η(σ) = Y
i<j
σ(x)−σ(y)
x−y.
1. Montrer que η(σ)∈ {−1,+1}.
2. Montrer que η:Sn→({−1,+1},·) est un morphisme de groupes non-trivial.
3. Conclure que pour tout σ,η(σ) est la signature de σ.
Exercice 12.
Dans un plan vectoriel euclidien orient´e, soit ρla rotation d’angle 2π/n,uun vecteur unitaire,
σla sym´etrie par rapport `a Vect(u). On pose pour tout i∈ {0, . . . , n −1},Pi=ρi(u). On appelle
Isom(P) le groupe des isom´etries qui envoient le polygone r´egulier P=P0P1. . . Pn−1sur lui-mˆeme.
1. Montrer tout ´el´ement de Isom(P) est de la forme ρiou ρiσpour un i∈ {0,...n−1}. D´ecrire
g´eom´etriquement ces ´el´ements. Quel est l’ordre de Isom(P) ?
2. Expliciter le produit de deux ´el´ements quelconques de Isom(P).
3. Montrer que Isom(P) est isomorphe au groupe di´edral D2n.
Exercice 13.
Dans l’espace R3, on consid`ere le cube dont les sommets ont des coordonn´ees ´egales `a ±1. On
appelle A1,B1,C1et D1les quatre sommets d’une face du cube et A2,B2,C2et D2les sommets
oppos´es (sym´etriques par rapport a 0). On appelle Hle groupe des isom´etries vectorielles de R3
qui envoient le cube sur lui-mˆeme.
1. Montrer que tout ´el´ement de Hpermute les paires de sommets oppos´es. En d´eduire un
homomorphisme Φ de Hdans S4.
2. D´eterminer le noyau de Φ.
3. Soit H+le sous-ensemble des d´eplacements de H. Montrer que H+est un sous-groupe de H.
Quelle est l’image par Φ des retournements d’axe passant par les milieux des cˆot´es oppos´es
du cube ? En d´eduire que la restriction de Φ `a H+est surjective, puis montrer que c’est un
isomorphisme.
4. Quel est l’ordre de H+? D´ecrire tous ses ´el´ements.
5. On consid`ere l’application λ:H+×Z/2Z→Hd´efinie par λ(f, 0) = f
λ(f, 1) = −id ◦fMontrer
que λest un isomorphisme de groupes. En d´eduire que Hest isomorphe `a S4×Z/2Z.
Exercice 14.
Soit Gun groupe et Z(G) son centre.
1. Montrer que Z(G) est distingu´e.
2. Montrer que si G/Z(G) est monog`ene, alors Gest ab´elien.
3. Montrer que tout groupe d’ordre p2, o`u pest un nombre premier, est ab´elien.
Exercice 15.
1. (rappel de cours !) Soit Gun groupe et Het Kdeux sous groupes distingu´es de G. On
suppose que H∩K={e}et HK =G. Montrer que Gest isomorphe `a H×K.
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2. Soit Gun groupe d’ordre 55, poss´edant deux sous groupes distingu´es d’ordres respectifs 5
et 11. Montrer que Gest isomorphe `a Z/55Z.
Exercice 16. Soit Gun groupe d’ordre 2po`u p≥3 est un nombre premier.
1. Montrer que Gadmet des ´el´ements d’ordre pet des ´el´ements d’ordre 2.
2. Soit h(resp. k) un ´el´ement d’ordre p(resp. 2) et H=hhi(resp. K=hki). Montrer que
HK =G,H∩K={e}et que Hest distingu´e dans G.
3. Conclure que Gest isomorphe soit au groupe di´edral D2p, soit `a Z/2pZ.
Exercice 17.
Le but de cet exercice est de montrer qu’un groupe d’ordre 56 ne peut pas ˆetre simple. Par
l’absurde, on suppose donc que Gest un groupe simple d’ordre 56.
1. Montrer que tout 7-Sylow est isomorphe `a Z/7Z.
2. Montrer que Gadmet huit 7-Sylow.
3. Montrer que Gadmet exactement 48 ´el´ements d’ordre 7.
4. En d´eduire que Gn’admet qu’un seul 2-Sylow.
5. Conclure.
Exercice 18.
Soit Gun p-groupe, i.e. un groupe dont l’ordre est de la forme pk, o`u p≥2 est premier.
1. Montrer que le centre de pest non trivial (indication : consid´erer l’action par conjugaison
de Gsur lui mˆeme et appliquer la formule des classes).
2. En d´eduire qu’il y a un ´el´ement central d’ordre pdans G.
3. Montrer qu’il existe une suite de sous-groupes G0={e} ⊂ G1⊂G2⊂ · · · Gk=G, avec Gi
distingu´e et d’ordre pi.
Exercice 19.
Le but de cet exercice est de montrer que si Gest un groupe fini et pest le plus petit facteur
premier de |G|, alors tout sous-groupe de Gd’indice pest distingu´e. Soit donc Gun groupe fini
et Hun sous groupe de Gtel que [G:H] = p.
1. En consid´erant l’action de Gsur G/H, montrer qu’il existe un morphisme φ:G→Sp.
2. Soit Kle noyau de φ. Montrer que |G|/|K|divise p!. En d´eduire que |G|/|K|=p.
3. Montrer que K⊂H. En d´eduire que K=H.
4. Conclure.
Exercice 20.
1. Le but de cette question est de montrer qu’un qu’un groupe Gd’ordre pq avec p<qpremiers
et qnon congru `a 1 mod pest cyclique.
(a) Montrer que n’admet qu’un pSylow Het qu’un qSylow K, tous deux distingu´es.
(b) Montrer que HK =G. Conclure.
2. Montrer que S5n’a aucun sous groupe d’ordre 15.
Exercice 21.
Soient pet qdeux nombres premiers. Montrer qu’il n ?existe pas de groupe simple d’ordre p2q.
(indication : si p > q montrer que l’action de Gpar conjugaison sur les p-Sylow d´efinit un mor-
phisme injectif dans Sqet conclure. Si p<q, raisonner sur le nombre de q-Sylow.)
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