Théorie des groupes. - Institut de Mathématiques de Bordeaux

CAPES DE MATH ´ EMATIQUES
Concours 2010 ´
Ecrit Math´ ematiques G´ en´ erales Renaud Coulangeon
Universit´ e Bordeaux 1
Feuille no3
Th´ eorie des groupes.
Dans toute la suite, si Gest un groupe, et Sune partie de G, on d´ esigne par < S > le sous-groupe engendr´ e
par S, autrement dit le plus petit-sous-groupe contenant S.
Exercice 1. Montrer qu’un groupe monog` ene est, soit infini et isomorphe ` aZ, soit fini et isomorphe ` aZ/nZ
pour un certain n∈N(on rappelle qu’un groupe Gest monog` ene s’il est engendr´ e par l’un de ses ´ el´ ements,
autrement dit s’il existe x∈Gtel que G=<x>).
Exercice 2. Soit G=<x>un groupe cyclique d’ordre n. Montrer que xk= 1Gsi et seulement si k∈nZ.
Montrer que l’ordre de l’´ el´ ement xkest n
n∧kpour tout k≥1. En d´
eduire le nombre de g´ en´ erateurs de G.
Application : Quels sont les g´ en´ erateurs de Z/18Z?
Combien y a-t-il d’´ el´ ements d’ordre 2 dans Z/nZ?
Exercice 3. a) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
b) Soit Gun groupe cyclique d’ordre n. Montrer que pour tout diviseur dde n, il existe un et un seul sous-
groupe d’ordre d. Montrer que ce sous-groupe est pr´ ecis´ ement ´ egal ` a{g∈G, gd= 1G}. Ce r´ esultat est-il vrai
en g´ en´ eral ?
Exercice 4. Montrer que le produit direct G1×G2de deux groupes cycliques G1et G2est cyclique si et
seulement si l’ordre de G1et celui de G2sont premiers entre eux.
Exercice 5. Montrer qu’un sous-groupe de (R,+) est, soit engendr´ e par un ´ el´ ement a, soit dense dans R.
Exercice 6. Montrer que tout groupe Gest isomorphe ` a un sous-groupe du groupe Sgdes permutations de G
(on pourra consid´ erer ` ag∈Gfix´ e l’application x7→ gx).
Exercice 7. Soit nun entier ≥1. On note (Z/nZ)×l’ensemble des ´ el´ ements de Z/nZqui sont inversibles pour
la multiplication.
a) D´ emontrer que (Z/nZ)×est un groupe ab´ elien fini. On note ϕ(n)son ordre.
b) Calculer ϕ(pr)pour tout nombre premier pet tout entier r≥1.
c) D´ emontrer que si met nsont premiers entre eux, alors (Z/mZ)××(Z/nZ)×est isomorphe ` a(Z/mnZ)×.
d) En d´ eduire que ϕ(n) = nQ
p|n
(1 −1/p).
e) Montrer que n=P
d|n
ϕ(d).
Exercice 8. Soit Gun groupe tel que pour tout x∈Gon ait x2=e, o` ueest l’´ el´ ement neutre de G.
a) Montrer que Gest commutatif.
b) Soient Hun sous-groupe de Gdistinct de Get aun ´ el´ ement de Gn’appartenant pas ` aH. Montrer que H∪aH
est un sous-groupe de Gcontenant strictement Het que H∩aH =∅. Montrer que H∪aH 'H×Z/2Z.
c) Montrer que si de plus Gest un groupe fini, son ordre est une puissance de 2.
Exercice 9. Soit Gun groupe d’´ el´ ement neutre e. On consid` ere deux ´ el´ ements aet bde Gtels que ab =ba.
a) On suppose aet bd’ordre fini. Montrer que ab est d’ordre fini et que l’ordre de ab divise le PPCM de l’ordre
de aet de l’ordre de b.
b) On suppose que < a > ∩< b >={e}. Montrer que ab est d’ordre fini si et seulement si aet bsont d’ordre
fini et que dans ce cas l’ordre de ab est ´ egal au PPCM des ordres de aet de b.
c) Soit a∈G,a6=e. On suppose ad’ordre fini. En consid´ erant b=a−1, montrer que le r´ esultat du b) peut
ˆ
etre faux si l’on enl` eve l’hypoth` ese <a>∩< b >={e}.
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d) Soient aet bdeux ´ el´ ements de Gdont les ordres sont finis et premiers entre eux. Montrer que l’ordre de ab
est ´ egal au produit des ordres de aet de b, soit en utilisant b), soit directement.
Exercice 10. Si aet bsont deux ´ el´ ements d’ordre fini d’un groupe G, et si, contrairement ` a l’exercice pr´ ec´ edent,
on ne suppose plus que ab =ba, que peut-on dire de l’ordre de ab ? (indication : consid´ erer les matrices
0 1
−1 0et −1 1 −1 0dans SL2(Z)).
Exercice 11. Soit G={x1,· · · , xn}un groupe ab´ elien d’ordre net a1,a2,· · · ,anles ordres respectifs de x1,
x2,· · · ,xn.
1. Montrer que ndivise a1a2· · · an(indication : on pourra construire un morphisme surjectif de Z/a1Z×
· · · Z/anZsur G).
2. En d´ eduire que pour tout nombre premier pdivisant n, il existe dans Gun ´ el´ ement d’ordre p.
3. Soit m= ppcm {a1, a2,· · · , an}. Montrer qu’il existe x∈Gd’ordre m(indication : consid´ erer la
d´ ecomposition en facteurs premiers du ppcm de a1,a2,· · · ,an).
Exercice 12. Montrer que tout sous-groupe fini Gdu groupe multiplicatif K×=K\{0}d’un corps commutatif
Kest cyclique. (indication : montrer que Gest contenu dans l’ensemble des racines du polynˆ ome Xm−1, o` u
mest le ppcm des ordres des ´ el´ ements de G)
Exercice 13. Soit Gun groupe fini d’ordre pair (pas n´ ecessairement ab´ elien). On pose A={x∈G:x2=
1G}et B=G\A.
a) D´ emontrer que le cardinal de Best pair (remarquer qu’un ´ el´ ement de Bn’est pas son propre inverse).
b) D´ emontrer que si Best vide alors Gest ab´ elien.
c) Montrer que Gcontient un ´ el´ ement d’ordre 2.
Exercice 14. Soit Gest un groupe d’ordre pq avec p > q,pet qpremiers. Montrer que Gcontient au plus un
sous-groupe d’ordre p, et que celui-ci, s’il existe, est normal.
Exercice 15. Soit Gun groupe, Het Kdeux sous groupes, avec Hnormal dans G.
1) Rappeler pourquoi HK := {hk |h∈H, k ∈K}est un sous-groupe.
2) ´ Etablir l’isomorphisme :
HK/H 'K/H ∩K .
***
Le but des 5 exercices qui suivent est de d´ ecrire ` a isomorphisme pr` es tous les groupes d’ordre inf´ erieur ou ´ egal
`
a 8.
Exercice 16. Pour commencer que peut-on dire des groupes d’ordre premier ?
Exercice 17. Montrer qu’un groupe d’ordre 4 est soit isomorphe ` aZ/4Z, soit isomorphe ` aZ/2Z×Z/2Z.
Exercice 18. Soit Gun groupe d’ordre 6. Montrer que si Gn’est pas cyclique, Gest non commutatif et engendr´ e
par un ´ el´ ement d’ordre 2 et un ´ el´ ement d’ordre 3. Trouver tous les sous-groupes et tous les sous-groupes
normaux d’un tel groupe. En d´ eduire qu’un groupe d’ordre 6 est soit isomorphe ` aZ/6Z, soit isomorphe au
groupe sym´ etrique S3des permutations de {1,2,3}.
Exercice 19. Soit Gun groupe ab´ elien d’ordre 8 d’´ el´ ement neutre e.
a) On suppose qu’il existe dans Gun ´ el´ ement ad’ordre 8. Montrer que Gest isomorphe ` aZ/8Z.
b) On suppose qu’il n’y a pas d’´ el´ ement d’ordre 8 dans Gmais qu’il existe un ´ el´ ement ad’ordre 4.
•Soit bun ´ el´ ement de Gn’appartenant pas ` a< a >. Montrer que b2=eou b2=a2. En d´ eduire l’existence
d’un ´ el´ ement de Gn’appartenant pas ` a<a>et qui soit d’ordre 2.
•Montrer que Gest isomorphe ` aZ/4Z×Z/2Z.
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c) On suppose enfin que tous les ´ el´ ements de G\ {e}sont d’ordre 2. En consid´ erant la table de multiplication
de G, montrer que Gest isomorphe ` aZ/2Z×Z/2Z×Z/2Z.
d) Conclure qu’un groupe ab´ elien d’ordre 8 est n´ ecessairement isomorphe ` aZ/8Z,Z/4Z×Z/2Zou Z/2Z×
Z/2Z×Z/2Z.
Exercice 20. Soit maintenant Gun groupe non ab´ elien d’ordre 8 d’´ el´ ement neutre e.
a) Montrer qu’il existe dans Gun ´ el´ ement d’ordre 4. Soit aun tel ´ el´ ement.
b) Montrer que <a>est un sous-groupe normal de G.
c) Soit b /∈< a >. Montrer que Gest engendr´ e par aet b.
d) Montrer que b2=eou b2=a2.
e) En calculant l’ordre de bab−1montrer que ba =a3b.
f) En d´ eduire que tout groupe non ab´ elien d’ordre 8 est isomorphe soit ` aG1engendr´ e par aet btels que a4= 1,
b2= 1,ba =a3b, soit ` aG2engendr´ e par aet btels que a4= 1,b2=a2,ba =a3b, et que G1et G2ne sont
pas isomorphes.
***
Exercice 21. Soit pun nombre premier et nun entier ≥1.
a) (Fermat) Montrer que pour tout entier mon a mp≡m(mod p).
b) (Euler) Montrer que pour tout entier mpremier avec n, on a mϕ(n)≡1 (mod n).
c) (Wilson) Montrer l’equivalence entre :
(i) qest un nombre premier.
(ii) (q−1)! ≡ −1 (mod q).
Exercice 22.
1. D´ emontrer que pour n>2,Snadmet pour syst` eme de g´ en´ erateurs les permutations (1, i),i= 2, . . . , n.
2. Montrer que Snest engendr´ e par les transpositions (k, k + 1),k= 1 . . . n −1.
3. Montrer que Snest engendr´ e par les deux ´ el´ ements σ= (1 2 . . . n)et τ= (1 2) (on pourra calculer
σiτσ−i)
4. D´ emontrer que pour n>3,Anadmet pour syst` eme de g´ en´ erateurs les 3-cycles (1,2, i),i= 3, . . . , n.
Exercice 23.
1. D´ emontrer que pour n>3les 3-cycles sont conjugu´ es dans Sn.
2. D´ emontrer que pour n>5les 3-cycles sont conjugu´ es dans An. Etudier les cas n= 3,4.
Exercice 24. Soit nun entier sup´ erieur ou ´ egal ` a3. Soit σ∈Sntelque στσ−1=τpour tout τdans Sn. En
prenant τ= (i, j), d´ emontrer que σest la permutation identit´ e. Que peut-on dire de Z(Sn)?
Exercice 25. Soit Eun ensemble ` an´ el´ ements, par exemple E={1, . . . , n}. Le groupe G=Snop` ere
naturellement sur E, par permutation des ´ el´ ements.
1. Montrer que le stabilisateur d’une partie X` ak´ el´ ements est isomorphe ` aSk×Sn−k. En d´ eduire le
cardinal de l’orbite de X. Quel r´ esultat (bien connu...) retrouve-t-on ?
2. En s’inspirant de la question pr´ ec´ edente, calculer le nombre de partitions de Ede type (n1, . . . , ns),
c’est-` a-dire le nombre de partitions de Ede la forme
E=E1∪ · · · ∪ Es,avec Card Ei=ni.
Exercice 26. Soit Gun groupe fini d’ordre n, d’´ el´ ement neutre e, et pun nombre premier. On d´ efinit
E:= {(x1,· · · , xp)∈Gp|x1· · · xp=e}.
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1. Quel est le cardinal de E?
2. Montrer que si (x1,· · · , xp)appartient ` aE, alors (x2,· · · , xp−1, xp, x1)´ egalement. En d´ eduire une
action du groupe Z/pZsur E.
3. On note tle nombre d’orbites ponctuelles sous l’action pr´ ec´ edente. Montrer que np−1≡tmod p.
(a) Si pdivise n, en d´ eduire que Gposs` ede au moins un ´ el´ ement d’ordre p(c’est le th´ eor` eme de
Cauchy).
(b) Si pne divise pas n, quel r´ esultat classique retrouve-t-on ?
Exercice 27. Soit Gun groupe d’ordre pn, avec ppremier et n>1, et Hun sous-groupe normal non r´ eduit ` a
l’´ el´ ement neutre. En faisant op´ erer Gsur Hpar conjugaison, montrer que H∩Z(G)6={e}.
Exercice 28. Soit Gun groupe fini d’ordre net Hun sous-groupe normal de Gayant pour ordre le plus petit
facteur premier divisant n. Montrer en faisant agir Gsur Hpar conjugaison que Hest inclus dans le centre de
G.
Exercice 29. Soit Gun groupe d’ordre net Hun sous-groupe de Gd’indice ple plus petit facteur premier
divisant n. Montrer que Hest normal.
Indication : on fera agir Hpar translation ` a gauche sur l’ensemble des classes ` a gauche modulo H.
Exercice 30. Soit Gun groupe d’ordre p2avec ppremier.
1. Montrer que G/Z(G)est cyclique et en d´ eduire que Gest ab´ elien.
2. Conclure que Gest isomorphe ` aZ/p2Zou Z/pZ×Z/pZ.
Exercice 31. Soit G=< a, b > un groupe d’ordre 2navec ad’ordre n,bd’ordre 2et ab d’ordre n. Montrer
que Gest isomorphe au groupe di´ edral d’ordre 2n.
Exercice 32.
1. Formule de Burnside Soit Gun groupe fini op´ erant sur un ensemble fini E. On note kle nombre d’orbites
deux ` a deux disjointes de Esous cette action. ´ Etablir la formule :
k=1
|G|X
g∈G
Card Fixg,
o` u pour tout g∈Gon a pos´ eFixg={x∈E|g·x=x}.
Indication : consid´ erer l’ensemble F={(g, x)∈G×E|g·x=x}. En ´ ecrivant
F=∪g∈G{(g, x), x ∈E|g·x=x}=∪x∈E{(g, x), g ∈G|g·x=x},
trouver deux expressions pour le cardinal de Fet conclure.
2. Application : le probl` eme de la roulette. Soit une roulette ` ansecteurs, n>2, que l’on veut colorier ` a
l’aide de qcouleurs, chaque secteur ´ etant peint de fac¸on arbitraire avec l’une de ces qcouleurs. Deux
coloriages sont identiques si on les d´ eduit l’un de l’autre par une rotation d’angle 2kπ
navec kconvenable.
Montrer que le nombre C(n, q)de coloriages possibles est :
C(n, q) = 1
nX
d|n
ϕ(d)qn/d,
o` uϕ(d) = |(Z/dZ)×|, fonction indicatrice d’Euler.
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