Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice

Alg` ebre et Arithm´ etique Math´ ematiques L3
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis Ann´ee 2008-2009
FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG´ ES 6
PROPRI´ ET´ E UNIVERSELLE DES GROUPES QUOTIENTS, SECTIONS ET PRODUITS
Exercice 1 (Th´eor`eme des restes chinois).
Soient deux nombres entiers pet qpremiers entre eux.
(1) Montrer que Z/pqZest isomorphe au produit Z/pZ×Z/qZ.
(2) Un g´en´eral chinois est parti pour une bataille avec 386 soldats. A la fin du combat, il
souhaite compter ses troupes. Il leur ordonne de se mettre en rang de psoldats et il note
le nombre de soldats formant la derni`ere rang´ee. Puis il proc`ede de mˆeme mais en les
faisant se mettre en rang de qsoldats. Quelles valeurs de pet qdoit-il prendre ? Expliquer
comment il s’y prend finalement pour compter pr´ecisement ses soldats.
(3) Que peut-on dire si pn’est pas premier avec q?
(On pourra consid`erer Z/4Zet Z/2Z×Z/2Z.)
Exercice 2 (Produit et quotient).
On rappelle que le produit de deux groupes G1et G2est d´efini par la loi de composition interne
(g1, g2).(h1, h2) := (g1.h1, g2.h2)
sur le produit cart´esien des ensembles sous-jacents G:= G1×G2. Les groupes G1et G2s’injectent
dans le produit Gpar
i1:G1G1×G2, g17→ (g1, e2),
i2:G2G1×G2, g27→ (e1, g2),
o`u e1et e2sont les neutres de G1et G2respectivement.
(1) Montrer que l’image de i1, not´ee G1est un sous-groupe distingu´e de G.
(2) Donner un syst`eme de repr´esentants du quotient G/G1qui soit un sous-groupe de G,
donner un sous-groupe de Gqui soit isomorphe au groupe quotient G/G1et donner une
section du groupe quotient G/G1.
(3) Est-il possible de trouver un syst`eme de repr´esentants du quotient G/G1qui soit un sous-
groupe distingu´e de G?
(4) Montrer qu’un groupe Gest isomorphe `a un produit de groupes G∼
=G1×G2si et
seulement si il existe dans Gun sous-groupe distingu´e Nisomorphe `a G1et dont le groupe
quotient G/N admet un syst`eme de repr´esentants Squi soit un sous-groupe distingu´e
isomorphe `a G2.
1

Exercice 3 (Groupes di´edraux [suite]).
On reprend l’exemple du groupe di´edral D6(Exercice 2, Feuille de TD2). On consid`ere le groupe
di´edral D3qui est le groupe des isom´etries d’un triangle ´equilat´eral.
Montrer que D6est isomorphe au produit direct D3×Z/2Z.
Exercice 4 (Groupe sym´etrique, groupe altern´e [suite]).
On reprend l’exercice 4 de la feuille de Travaux Dirig´es 4. On rappelle que le sous-groupe altern´e
An:= {σ∈Sn; sgn(σ)=1}est un sous-groupe distingu´e du groupe sym´etrique Snet le quotient
Sn/Anest isomorphe au groupe Z/2Z.
(1) D´eterminer une section du quotient Sn/An. Est-il possible de trouver une section dont
l’image soit un sous-groupe distingu´e de Sn?
(2) Le groupe Snest-il isomorphe au produit direct An×Z/2Z?
Exercice 5.
(1) Montrer que le groupe ab´elien (Q,+,0) n’a pas de sous-groupe isomorphe `a Z2.
(2) Montrer que Qn’est pas isomorphe `a Q2.
(3) ´ Ecrire Rcomme somme directe de copies de Q.
(4) Montrer que Rest isomorphe `a R2.
2