Structures algébriques Feuille d`exercices n 1

Institut Galil´ee Licence de Math´ematiques
Universit´e Paris 13 semestre 5
Structures alg´ebriques
Feuille d’exercices n◦1
Exercice 1. (1) Soit la loi a∗b= 2(a+b) sur N.´ Etudier sa commutativit´e et son
associativit´e.
(2) Soient Eun ensemble de cardinal >1 et ∗la loi d´efinie sur Epar a∗b=b.
´
Etudier la commutativit´e et l’associativit´e de la loi ∗. Existe-t-il un ´el´ement neutre
`a gauche ?
Exercice 2. Soit G=]0,1[∪]1,+∞[⊂R, et ∗la loi sur Gd´efinie par a∗b=alog(b). Est-ce
une loi de groupe ?
Exercice 3. Soit Eun ensemble. On d´efinit la loi ∆ sur P(E) en posant
X∆Y= (X∩Yc)∪(Xc∩Y) = (X∪Y)\(X∩Y)
pour X, Y ∈P(E) (diff´erence sym´etrique). Montrer que (P(E),∆) est un groupe ab´elien.
Exercice 4. Soit Eun ensemble. On d´efinit la loi ∗sur P(E) en posant
X∗Y=(X∪Ysi X∩Y=∅
Esinon
Montrer que ∗est associative et commutative.
Exercice 5. Soit ∗une loi de composition sur un ensemble Gqui est associative. On
suppose qu’il existe e∈Gtel que pour tout x∈G, on a e∗x=x, et il existe y∈Gtel
que y∗x=e. Montrer que (G, ∗) est un groupe.
Exercice 6. Soit G=x∈R×,(∃(a, b)∈Q2), x =a+b√3. Montrer que c’est un
sous-groupe de R×pour la multiplication.
Exercice 7. Montrer que, pour n∈Z×={±1}et m∈Z, les applications
fn,m :Z→Z
a7→ na +m
forment un groupe non ab´elien (pour la composition).
Exercice 8. (1) Combien y-a-t-il de lois de composition sur un ensemble `a n´el´ements ?
Pour n= 2 , combien sont commutatives, unitaires ?
(2) Trouver sur un ensemble `a deux ´el´ements {a,b}, une loi de composition associative
et non commutative, puis une loi commutative et non associative.
(3) Combien a-t-on de lois de groupe sur un ensemble `a 1, 2 ou 3 ´el´ements ?
Exercice 9. (1) Soit Ul’ensemble des nombres complexes de module 1. V´erifier que
(U, .) est un groupe.
1

2
(2) ´ Etant donn´e un entier n > 0, montrer que l’ensemble Undes racines n-i`emes de
l’unit´e est un sous-groupe de U. Quel est son ordre ?
Exercice 10. Soient (G, ∗) un groupe et gun ´el´ement de G. Montrer que l’application
x7→ g∗xest une bijection de Gdans lui-mˆeme.
Exercice 11. (1) Montrer, pour un groupe G, que l’application x7→ x−1est un ho-
momorphisme si et seulement si Gest ab´elien.
(2) Montrer, pour un groupe G, que l’application x7→ x2est un homomorphisme si et
seulement si Gest ab´elien.
Exercice 12. Soit (G, ∗) un groupe fini. Montrer que, pour tout aet tout bde Gles
´el´ements aet a−1ont mˆeme ordre, que les ´el´ements aet b∗a∗b−1ont mˆeme ordre, puis
que les ´el´ements a∗bet b∗aont mˆeme ordre.
Exercice 13. Soient Gun groupe et eson ´el´ement neutre.
(1) Montrer que si x2=epour tout x∈G, alors Gest ab´elien.
(2) Si x3=epour tout x∈G, le groupe Gest-il n´ecessairement ab´elien ?
Exercice 14. Soit Gun groupe qui contient un seul ´el´ement xd’ordre 2. Montrer que
x∗g=gx pour tout g∈G.
Exercice 15. Montrer que, dans un groupe commutatif G, l’ensemble des ´el´ements d’ordre
fini forme un sous-groupe de G. Est-ce vrai pour un groupe non commutatif ? (Consid´erer
les sym´etries par rapport `a deux droites parall`eles).
Exercice 16. V´erifier que l’intersection de deux sous-groupes H1et H2d’un groupe Gest
un sous-groupe de G. Montrer qu’il en est de mˆeme de leur r´eunion si et seulement si on
aH1⊆H2ou H2⊆H1.
Exercice 17. Soient Gun groupe et a, b ∈Gd’ordres met nrespectivement, tels que
ab =ba et pgcd(m, n) = 1. Montrer que ab est d’ordre mn. Trouver un contre-exemple
lorsqu’on ne suppose pas ab =ba ou pgcd(m, n) = 1.