Partiel 1

Université de Nice
2004-05
Licence de mathématiques (L3)
Compléments d’algèbre et arithmétique
Partiel 1
la multiplication, noté (Z/16Z)∗ . Les groupes abéliens
d’ordre 8 = 23 sont associés aux partitions de 3 : 1+1+1,
1.1. Les deux groupes Z/130Z et Z/26Z × Z/5Z
2+1 et 3. Pour les distinguer on considère les éléments
sont-ils isomorphes ? Si oui, expliciter un isomord’ordre maximum : cet ordre est 8 dans Z/8Z, 4 dans
phisme, sinon dire pourquoi.
Z/4Z × Z/2Z et 2 dans (Z/2Z)3 .
Le théorème chinois montre que l’application
On remarque que (−x)2 = x2 . Les carrés des éléments
Z/130Z −→ Z/26Z × Z/5Z
de (Z/16Z)∗ sont
x 7−→ (x [mod 26], x [mod 5])
x : −7 −5 −3 −1 1 3 5 7
Exercice 1.
x2 :
est un isomorphisme de groupes.
1.2. Mêmes questions avec les groupes Z/104Z et
Z/26Z × Z/4Z.
1
9
9
1
1
9 9
1
les puissances 4 èmes sont donc toutes égales à 1 puisque
9 et -7 sont égaux modulo 16. Conclusion : pas d’élément
d’ordre 8, mais 4 éléments d’ordre 4. Il ne peut s’agir que
du groupe Z/4Z × Z/2Z.
Un isomorphisme de groupes conserve l’ordre des éléments. Dans Z/104Z, qui est cyclique, il existe un élément d’ordre 104, alors que tout élément de Z/26Z × Exercice 3. Dans GLn (R), on considère l’ensemZ/4Z est annulé par le ppcm de 26 et 4 qui est 52.
ble H des matrices diagonales dont les éléments
2
1.3. Pour chacun des deux groupes (Z/3Z) ×Z/9Z diagonaux sont égaux à 1 ou -1. Montrer que c’est
et (Z/9Z)2 , déterminer les éléments d’ordre 3. un sous-groupe abélien de GLn (R). Quel est son
Conclure. Y a-t-il un résultat du cours qui donne ordre ? Quelle est sa décomposition primaire ?
Montrer que l’application
également cette conclusion ?
det : H
M
Puisque 3 est premier, un élément annulé par 3 est soit
l’élément neutre 0, soit d’ordre 3. Les éléments annulés
par 3 dans un groupe abélien forment un sous-groupe.
Dans Z/9Z c’est le sous-groupe des multiples de la classe
de 3, sous-groupe cyclique d’ordre 3.
Donc, dans (Z/3Z)2 × Z/9Z, c’est un groupe isomorphe
à (Z/3Z)3 et dans (Z/9Z)2 , c’est un groupe isomorphe
à (Z/3Z)2 . Le sous-groupe des éléments annulés par 3
étant conservé par isomorphisme, les deux groupes proposés ne sont pas isomorphes.
Le théorème qui classe les groupes d’ordre pn (ici p = 3 et
n = 4) montre que ces deux décompositions, correspondant à des partitions différentes de 4 (2+1+1 et 2+2),
ne sont pas isomorphes.
−→
7−→
R∗
det(M )
est un morphisme de groupes abéliens. Quelle est
son image ? Quel est son noyau ?
Les matrices de H sont en nombre 2n . C’est un groupe
abélien puisque le produit de deux matrices diagonales
est une matrice diagonale dont les coefficients sont les
produits terme à terme des coefficients des facteurs.
Comme tout élément est de carré In , H est isomorphe
au groupe (Z/2Z)n .
Le déterminant est un morphisme de groupes de GLn (R)
vers R∗ qui induit un morphisme de H vers le groupe à
deux éléments ({1, −1}, ×) isomorphe à Z/2Z. Le noyau
est un sous-groupe d’ordre 2n−1 de H. Ses éléments sont
Exercice 2. Dans Z/16Z, on considère l’ensemble
les matrices dont la diagonale comporte un nombre pair
G des éléments d’ordre 16 (pour l’addition). Déde −1. Ils sont tous d’ordre 2. Le noyau est donc isocrire G et rappeler rapidement pourquoi c’est un
morphe à (Z/2Z)n−1 .
groupe abélien pour la loi induite par la multiplication de Z/16Z.
Exercice 4. Dans R2 on se donne deux vecteurs
Soit d le nombre des éléments de G. Donner la
13
7
v1 =
et v2 =
liste des groupes abéliens d’ordre d à isomor4
1
phisme près. Donner celui d’entre eux qui est
et on désigne par L le sous-groupe engendré par
isomorphe à G et expliciter un isomorphisme.
ces vecteurs dans Z2 .
Les éléments d’ordre 16 dans Z/16Z sont les classes modulo 16 des nombres premiers avec 16, c’est-à-dire des 4.1. Dire pourquoi L est libre et donner son rang.
nombres impairs. Il y en a donc 8, qui sont les classes Soit v un vecteur de Z2 . Montrer que le vecteur
de -7,-5,-3,-1,1,3,5,7. Ils forment un groupe abélien pour 15v appartient à L.
1
2
L est un sous-groupe d’un groupe abélien libre. Il est nombre de 15 : n2 = 0 et n1 = 0, 1, . . . , 14. Autrement
donc libre. Son rang est 2 puisque les deux vecteurs v1 dit, toute classe d’équivalence modulo L a un et un seul
et v2 ne sont pas proportionnels.
élément dans Z2 ∩ ∆ du type (n1 , 0) avec n1 entier et
On peut d’ailleurs vérifier directement que l’application 0 ≤ n1 < 15.
Z2 −→ L
(n1 , n2 ) 7−→ n1 v1 + n2 v2
est un isomorphisme.
Un vecteur v de Z2 est dans L s’il existe deux entiers n1
et n2 tels que v = n1 v1 + n2 v2 , c’est-à-dire si v = M n
avec
13 7
n1
M=
et n =
.
4 1
n2
Posons
1 −7
A :=
.
−4 13
On a l’identité
M A = AM = det M I2 = −15I2
On en déduit que 15v = M (−Av) est dans L.
4.2. Montrer que les vecteurs
1
7
w1 =
et w2 =
0
1
forment une Z-base de Z2 et que (15w1 , w2 ) est une
Z-base de L.
Comme w1 est dans Z2 , on vient de voir que 15w1 est
dans L. Il s’écrit 15w1 = −v1 + 4v2 . La matrice P des
coordonnées de (w1 , w2 ) dans la Z-base (v1 , v2 ) s’écrit
donc
−1 0
P =
.
4 1
C’est une matrice à coefficients entiers de déterminant
−1, ce qui montre que (15w1 , w2 ) est une Z-base de L.
Soient α1 et α2 deux réels de l’intervalle [0, 1[.
Montrer que le vecteur 15α1 w1 + α2 w2 est dans
L si et seulement si α1 = α2 = 0. Soit ∆ le parallélogramme de R2 défini par
∆ = {15α1 w1 + α2 w2 | α1 , α2 ∈ [0, 1[}.
Vérifier que (15w1 , w2 ) est une base de R2 en tant
qu’espace vectoriel sur R. Montrer que tout élément de Z2 est équivalent, modulo L, à un élément
de Z2 ∩ ∆.
Supposons que 15α1 w1 + α2 w2 est dans L. Il existe donc
deux entiers n1 et n2 tels que
(α1 − n1 )15w1 + (α2 − n2 )w2 = 0.
Comme (w1 , w2 ) est une base de R2 , on en déduit que
α1 et α2 sont entiers, donc nuls puisque dans l’intervalle
[0, 1[.
Comme (w1 , w2 ) est une Z-base de Z2 , tout élément de
Z2 est équivalent, modulo L, à une unique combinaison
n1 w1 + n2 w2 avec n1 , n2 entiers, 0 ≤ n1 /15 < 1 et 0 ≤
n2 < 1. On en déduit que les seules possibilités sont au
4.3. Calculer l’aire de ∆. Compter les éléments
de Z2 ∩ ∆. Quel est l’ordre du groupe Z2 /L ? Quel
est l’ordre des classes dans Z2 /L des vecteurs w1
et w2 ? Identifier le groupe Z2 /L et en donner un
système de générateurs.
L’aire de ∆ est donnée par la valeur absolue du déterminant det(15w1 , w2 ) calculé dans la base canonique de
Z2 . Elle vaut donc 15, l’aire unité étant celle du carré
construit sur les vecteurs de la base canonique. On vient
de voir que Z2 ∩ ∆ contient 15 points, ce qui montre que
le nombre de classes d’équivalence modulo L est égal à
15.
Le vecteur w2 est dans L, donc nul dans le quotient,
tandis que la classe de w1 est d’ordre 15 : en effet, 15w1 ∈
L et si 0 < n1 < 15, le vecteur n1 w1 est dans Z2 ∩ ∆
et ne peut pas être dans L. Le groupe Z2 /L est donc
un groupe abélien cyclique d’ordre 15, engendré par la
classe de w1 .