Partiel 1

Universit´ e de Nice Licence de math´ ematiques (L3)
2004-05 Compl´ ements d’alg` ebre et arithm´ etique
Partiel 1
Exercice 1.
1.1.Les deux groupes Z/130Z et Z/26Z×Z/5Z
sont-ils isomorphes ? Si oui, expliciter un isomor-
phisme, sinon dire pourquoi.
Le th´eor`eme chinois montre que l’application
Z/130Z−→ Z/26Z×Z/5Z
x7−→ (x[mod 26], x [mod 5])
est un isomorphisme de groupes.
1.2.Mˆemes questions avec les groupes Z/104Z et
Z/26Z×Z/4Z.
Un isomorphisme de groupes conserve l’ordre des ´el´e-
ments. Dans Z/104Z, qui est cyclique, il existe un ´el´e-
ment d’ordre 104, alors que tout ´el´ement de Z/26Z×
Z/4Zest annul´e par le ppcm de 26 et 4 qui est 52.
1.3.Pour chacun des deux groupes (Z/3Z)2×Z/9Z
et (Z/9Z)2, d´eterminer les ´el´ements d’ordre 3.
Conclure. Y a-t-il un r´esultat du cours qui donne
´egalement cette conclusion ?
Puisque 3 est premier, un ´el´ement annul´e par 3 est soit
l’´el´ement neutre 0, soit d’ordre 3. Les ´el´ements annul´es
par 3 dans un groupe ab´elien forment un sous-groupe.
Dans Z/9Zc’est le sous-groupe des multiples de la classe
de 3, sous-groupe cyclique d’ordre 3.
Donc, dans (Z/3Z)2×Z/9Z, c’est un groupe isomorphe
`a (Z/3Z)3et dans (Z/9Z)2, c’est un groupe isomorphe
`a (Z/3Z)2. Le sous-groupe des ´el´ements annul´es par 3
´etant conserv´e par isomorphisme, les deux groupes pro-
pos´es ne sont pas isomorphes.
Le th´eor`eme qui classe les groupes d’ordre pn(ici p= 3 et
n= 4) montre que ces deux d´ecompositions, correspon-
dant `a des partitions diff´erentes de 4 (2+1+1 et 2+2),
ne sont pas isomorphes.
Exercice 2.Dans Z/16Z, on consid`ere l’ensemble
Gdes ´el´ements d’ordre 16 (pour l’addition). D´e-
crire Get rappeler rapidement pourquoi c’est un
groupe ab´elien pour la loi induite par la multipli-
cation de Z/16Z.
Soit dle nombre des ´el´ements de G. Donner la
liste des groupes ab´eliens d’ordre d`a isomor-
phisme pr`es. Donner celui d’entre eux qui est
isomorphe `a Get expliciter un isomorphisme.
Les ´el´ements d’ordre 16 dans Z/16Zsont les classes mo-
dulo 16 des nombres premiers avec 16, c’est-`a-dire des
nombres impairs. Il y en a donc 8, qui sont les classes
de -7,-5,-3,-1,1,3,5,7. Ils forment un groupe ab´elien pour
la multiplication, not´e (Z/16Z)∗. Les groupes ab´eliens
d’ordre 8 = 23sont associ´es aux partitions de 3 : 1+1+1,
2+1 et 3. Pour les distinguer on consid`ere les ´el´ements
d’ordre maximum : cet ordre est 8 dans Z/8Z, 4 dans
Z/4Z×Z/2Zet 2 dans (Z/2Z)3.
On remarque que (−x)2=x2. Les carr´es des ´el´ements
de (Z/16Z)∗sont
x:−7−5−3−11357
x2: 1 9 9 1 1 9 9 1
les puissances 4 `emes sont donc toutes ´egales `a 1 puisque
9 et -7 sont ´egaux modulo 16. Conclusion : pas d’´el´ement
d’ordre 8, mais 4 ´el´ements d’ordre 4. Il ne peut s’agir que
du groupe Z/4Z×Z/2Z.
Exercice 3.Dans GLn(R), on consid`ere l’ensem-
ble Hdes matrices diagonales dont les ´el´ements
diagonaux sont ´egaux `a 1 ou -1. Montrer que c’est
un sous-groupe ab´elien de GLn(R). Quel est son
ordre ? Quelle est sa d´ecomposition primaire ?
Montrer que l’application
det : H−→ R∗
M7−→ det(M)
est un morphisme de groupes ab´eliens. Quelle est
son image ? Quel est son noyau ?
Les matrices de Hsont en nombre 2n. C’est un groupe
ab´elien puisque le produit de deux matrices diagonales
est une matrice diagonale dont les coefficients sont les
produits terme `a terme des coefficients des facteurs.
Comme tout ´el´ement est de carr´e In,Hest isomorphe
au groupe (Z/2Z)n.
Le d´eterminant est un morphisme de groupes de GLn(R)
vers R∗qui induit un morphisme de Hvers le groupe `a
deux ´el´ements ({1,−1},×) isomorphe `a Z/2Z. Le noyau
est un sous-groupe d’ordre 2n−1de H. Ses ´el´ements sont
les matrices dont la diagonale comporte un nombre pair
de −1. Ils sont tous d’ordre 2. Le noyau est donc iso-
morphe `a (Z/2Z)n−1.
Exercice 4.Dans R2on se donne deux vecteurs
v1=13
4et v2=7 1
et on d´esigne par Lle sous-groupe engendr´e par
ces vecteurs dans Z2.
4.1.Dire pourquoi Lest libre et donner son rang.
Soit vun vecteur de Z2. Montrer que le vecteur
15vappartient `a L.
1

2
Lest un sous-groupe d’un groupe ab´elien libre. Il est
donc libre. Son rang est 2 puisque les deux vecteurs v1
et v2ne sont pas proportionnels.
On peut d’ailleurs v´erifier directement que l’application
Z2−→ L
(n1, n2)7−→ n1v1+n2v2
est un isomorphisme.
Un vecteur vde Z2est dans Ls’il existe deux entiers n1
et n2tels que v=n1v1+n2v2, c’est-`a-dire si v=Mn
avec
M=13 7
4 1et n=n1 n2.
Posons
A:= 1−7
−4 13 .
On a l’identit´e
MA =AM = det MI2=−15I2
On en d´eduit que 15v=M(−Av) est dans L.
4.2.Montrer que les vecteurs
w1=1
0et w2=7 1
forment une Z-base de Z2et que (15w1, w2)est une
Z-base de L.
Comme w1est dans Z2, on vient de voir que 15w1est
dans L. Il s’´ecrit 15w1=−v1+ 4v2. La matrice Pdes
coordonn´ees de (w1, w2) dans la Z-base (v1, v2) s’´ecrit
donc
P=−1 0
4 1.
C’est une matrice `a coefficients entiers de d´eterminant
−1, ce qui montre que (15w1, w2) est une Z-base de L.
Soient α1et α2deux r´eels de l’intervalle [0,1[.
Montrer que le vecteur 15α1w1+α2w2est dans
Lsi et seulement si α1=α2= 0. Soit ∆le pa-
rall´elogramme de R2d´efini par
∆ = {15α1w1+α2w2|α1, α2∈[0,1[}.
V´erifier que (15w1, w2)est une base de R2en tant
qu’espace vectoriel sur R. Montrer que tout ´el´e-
ment de Z2est ´equivalent, modulo L, `a un ´el´ement
de Z2∩∆.
Supposons que 15α1w1+α2w2est dans L. Il existe donc
deux entiers n1et n2tels que
(α1−n1)15w1+ (α2−n2)w2= 0.
Comme (w1, w2) est une base de R2, on en d´eduit que
α1et α2sont entiers, donc nuls puisque dans l’intervalle
[0,1[.
Comme (w1, w2) est une Z-base de Z2, tout ´el´ement de
Z2est ´equivalent, modulo L, `a une unique combinaison
n1w1+n2w2avec n1, n2entiers, 0 ≤n1/15 <1 et 0 ≤
n2<1. On en d´eduit que les seules possibilit´es sont au
nombre de 15 : n2= 0 et n1= 0,1, . . . , 14. Autrement
dit, toute classe d’´equivalence modulo La un et un seul
´el´ement dans Z2∩∆ du type (n1,0) avec n1entier et
0≤n1<15.
4.3.Calculer l’aire de ∆. Compter les ´el´ements
de Z2∩∆. Quel est l’ordre du groupe Z2/L ? Quel
est l’ordre des classes dans Z2/L des vecteurs w1
et w2? Identifier le groupe Z2/L et en donner un
syst`eme de g´en´erateurs.
L’aire de ∆ est donn´ee par la valeur absolue du d´etermi-
nant det(15w1, w2) calcul´e dans la base canonique de
Z2. Elle vaut donc 15, l’aire unit´e ´etant celle du carr´e
construit sur les vecteurs de la base canonique. On vient
de voir que Z2∩∆ contient 15 points, ce qui montre que
le nombre de classes d’´equivalence modulo Lest ´egal `a
15.
Le vecteur w2est dans L, donc nul dans le quotient,
tandis que la classe de w1est d’ordre 15 : en effet, 15w1∈
Let si 0 < n1<15, le vecteur n1w1est dans Z2∩∆
et ne peut pas ˆetre dans L. Le groupe Z2/L est donc
un groupe ab´elien cyclique d’ordre 15, engendr´e par la
classe de w1.