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Cours de math´ematique pour 1`ere ann´e Bac
Erraji Elmahdi
July 17, 2016

Contents
1 Introduction `a la logique 2
1.1 Logique .............................. 2
1.1.1 Assertion ......................... 2
1.1.2 Op´erateurs ........................ 2
1.2 Assertion a param´etre et quantificateur . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Assertion a param´etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Quantificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Raisonnement........................... 4
1.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Raisonnement par contrapos´e . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Absurde.......................... 5
1.3.4 Raisonnement par contre exemple . . . . . . . . . . . 5
1.3.5 R´eccurence ........................ 5
2 Ensembles et applications 6
2.1 Ensembles: ............................ 6
2.1.1 D´efinisions ........................ 6
2.1.2 Op´erations sur les ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 R´egles de calcules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Produit cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Applications............................ 8
2.2.1 D´efinitions ........................ 8
2.2.2 Image direct et Image r´eciproque: . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Injection, Surjection et Bijection . . . . . . . . . . . . 9
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Chapter 1
Introduction `a la logique
1.1 Logique
1.1.1 Assertion
D´efinition Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux
en mme temps.
Une assertion est not´e par un des symbole latin p, q, r, ...
Example Les phrase suivante sont des assertions:
•p: Il pleut.
•q: Je suis plus grand que toi.
•r: 2 + 2 = 4
•k: Pour tout x∈Ron a x2≥0.
La phrase suivant n’est pas une assertion:
p(x,y): xet ysont des elements de Rtel que: x≤y
1.1.2 Op´erateurs
D´efinition soit pet qdeux assertions :
1. L’assertion ”pet q” est vraie lorsque pest vraie et qest vraie.
2. L’assertion ”pou q” est vraie si au moins l’une des deux est vraie.
3. L’assertion ”¬p” est vraie lorsque pest fausse (L’op´erateur de n´egation)
4. L’assertion ”p⇒q” est vraie si au moin ¬pest vraie ou bien qest
vraie (L’implication)
5. L’assertion ”p⇔q” est vraie si les deux sont vraie ou bien les deux
sont fausses. (L’´equivalence)
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Alg´ebre Professeur: Elmahdi Erraji
Tableau de v´erit´e:
p q p et q p ou q p ⇒q¬p
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1
Proposition 1.1.1 soit p, q, r trois assertions alors on a:
1. p⇔ ¬(¬p)
2. pet q⇔qet p
3. pou q⇔qou p
4. ¬(pou q)⇔ ¬qet ¬p
5. ¬(pet q)⇔ ¬qou ¬p
6. (pet (qou r)) ⇔(pet q)ou (pet r)
7. (pou (qet r)) ⇔(pou q)et (pou r)
8. (p⇒q)⇔(¬q⇒ ¬p)
Preuve Exercice: utilisez le tableaux de v´erit´e.
1.2 Assertion a param´etre et quantificateur
1.2.1 Assertion a param´etre
D´efinition une assertion a param´etre est une phrase math´ematique qui
d´epends d’un param´etre appartenant `a un ensemble arbitraire. Elle devient
une assertion lorsqu’on fixe le param´etre.
Example p(x)=”x≥1” x∈Rest une assertion `a param´etre.
p(5) est une assertion vraie.
1.2.2 Quantificateur
D´efinition soit p(x)x∈Eune assertion `a param´etre.
•L’expression ∀x∈E p(x), est vraie lorsque p(x) est vraie pour toute
xdans E.∀est le quantificateur universel.
•L’expression ∃x∈E p(x), est vraie lorsqu’il existe xdans Etel que
p(x) est vraie. ∃est le quantificateur existentielle.
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Alg´ebre Professeur: Elmahdi Erraji
•L’expression ∃!x∈E p(x), est vraie lorsqu’il existe un unique ´el´ement
xde Etel que p(x) est vraie.
Example •”∀x∈[0.1] (x2≥1)” est une assertion vraie.
•”∃x∈]− ∞,0[ (x≥0)” est une assertion fausse.
La n´egation des quantificateur
•La n´egation de ”∀x∈E p(x)” est ”∃x∈E¬p(x)”.
•La n´egation de ”∃x∈E p(x)” est ”∀x∈E¬p(x)”.
1.3 Raisonnement
1.3.1 Raisonnement direct
C’est l’argument la plus classique est le plus utiliser comme argument pour
montrer les assertions on se basant sur des hypoth`eses. Si ona des donn´ee
(hypoth`eses) sous forme d’assertion pet on veut montrer la v´erit´e d’une
autre assertion q, on justifie la v´erit´e de l’assertion p⇒qpuis on conclue la
v´erit´e de qon se basant sur p.
si pest vrai et p⇒qest vraie alors qest vraie.
Example soit a, b ∈Qmontrer que a+b∈Q??
a∈Qet b∈Q⇒a=p
qet b=p0 q0avec p, p0∈Zet q, q0∈N
⇒a+b=pq0+qp0
qq0avec p, p0∈Zet q, q0∈N
⇒a+b∈Q
1.3.2 Raisonnement par contrapos´e
Parfois les raisonnement direct parait inefficace pour ateindre notre objectif.
Dans ce cas on consid`ere la n`egation du r´esultat comme hypoth`ese et la
n`egation de l’hypoth`ese est le r´esultat esp´er´e, puisqu’on a:
(p⇒q)⇔(¬q⇒ ¬p)
Example Soit n∈Nmontrons que n2est pair alors nest pair:
Preuve nous supposons que nest impaire est montrons que n2est impaire.
on a: nimpaire ⇒n= 2k+ 1 avec k∈N
⇒n2= 4k2+ 4k+ 1 avec k∈N
⇒n2= 2(2k2+ 2k) + 1 avec k∈N
⇒n2impair
d’o`u n2pair ⇒npair
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