Logique/Ensembles

Logique/Ensembles
Logique 2
1 Rudiments de logique.
1.1
1.2
1.3
1.4
Assertions, connecteurs, synonymie. .
Connecteurs et et ou . . . . .
Implication, équivalence. . . . . . . .
Quanticateurs. . . . . . . . . . . . .
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2 Ensembles.
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2.1 Vocabulaire, parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Opérations sur les parties d'un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Produit cartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
3
4
6
6
8
9
Rudiments de logique.
1.1 Assertions, connecteurs, synonymie.
La notion d'assertion est considérée comme intuitive : on se donne la dénition vague ci-dessous.
Dénition 1.
Une
assertion est une phrase qui peut prendre deux valeurs de vérité : Vrai (V) ou Faux (F).
Par exemple, les phrases "4 est pair", "1 + 1 = 2" et "1 + 1 = 3" sont des assertions. On peut estimer que
"Il a plu le jour de la rentrée 2016 sur le Lycée Schweitzer" est une assertion. En revanche, "Comment allezvous ?" n'en est pas une. Les assertions "4 est pair", "1 + 1 = 2" sont vraies, l'assertion "1 + 1 = 3" est fausse.
On appelle négation d'une assertion P l'assertion qui est vraie quand P est fausse, et fausse quand P est
vraie. Formalisons.
Dénition 2.
Soit P une assertion. On appelle négation de P , et on note (non P ), ou encore ¬P , l'assertion
dénie par la table de vérité suivante :
P
¬P
V
F
F
V
On peut aussi combiner des assertions à l'aide de connecteurs logiques binaires. Si truc est un tel
connecteur logique, et P et Q deux assertions, P truc Q est une assertion dont la valeur de vérité est
fonction des valeurs de vérité de P et Q.
1
PCSI1
L ycée
Albert
S
chweitzer
Dénition 3.
La table de vérité ci-dessous dénit les connecteurs logiques suivants :
• La conjonction : "et".
• La disjonction : "ou".
• La disjonction exclusive : "ou bien".
• L'implication : "implique" ou "=⇒"
• L'équivalence : "équivaut à" ou "⇐⇒"
P
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
P ou Q
V
V
V
F
P ou bien Q
F
V
V
F
P =⇒ Q
P ⇐⇒ Q
V
F
V
V
V
F
F
V
Exemples.
("Aurélien est un garçon et "Elsa est une lle") est vraie.
("Aurélien est un garçon" ou "Elsa est une lle") est vraie
("Aurélien est un garçon" ou bien "Elsa est une lle") est fausse.
("Aurélien est un garçon" et "Elsa est en PCSI1") est fausse.
("Aurélien est un garçon" ou "Elsa est en PCSI1") est vraie.
("6 est pair"=⇒ "7 est impair") est vraie.
("5 est pair"=⇒ "7 est impair") est vraie.
("5 est impair"=⇒ "7 est pair") est fausse.
("5 est pair"=⇒ "je suis votre père") est... vraie.
En combinant deux à deux des assertions, on peut obtenir des assertions "complexes", du type
(("6 est impair" ou "7 est impair") et "3 est pair") =⇒ ("2 est pair").
Soient P1 , P2 , . . . Pn des assertions. A l'aide de connecteurs logiques, on forme des assertions A(P1 , . . . , Pn )
et B(P1 , . . . , Pn ). Lorsque ces assertions ont la même valeur de vérité, quelles que soient les valeurs de vérité
des assertions P1 , . . . , Pn , on dira dans ce cours qu'elles sont synonymes et on écrira
A(P1 , . . . , Pn ) ≡ B(P1 , . . . , Pn ).
1.2 Connecteurs et et ou .
Proposition 4.
Soient P, Q, R des assertions. On a les synonymies suivantes.
a) ¬(¬P ) ≡ P, (P et P ) ≡ P, (P ou P ) ≡ P .
b) (P et Q) ≡ (Q et P ), (P ou Q) ≡ (Q ou P ).
c) ((P et Q) et R) ≡ (P et (Q et R)), ((P ou Q) ou R) ≡ (P ou (Q ou R)).
d) P et (Q ou R) ≡ (P et Q) ou (P et R) P ou (Q et R) ≡ (P ou Q) et (P ou R).
e) ¬(P et Q) ≡ (¬P ) ou (¬Q), ¬(P ou Q) ≡ (¬P ) et (¬Q)
(formules de Morgan).
2
Remarques.
c) est une propriété d'associativité et montre que certaines parenthèses sont superues.
d) est une propriété de distributivité où et tient lieu de multiplication et ou d'addition.
a) et c) montrent que toute assertion utilisant un et peut être réécrite en n'utilisant que ¬ et ou.
Preuve : On laisse au lecteur le soin d'écrire les tables de vérité nécessaires. Voici celle qui démontre d).
P
Q
R
Q ou R
P et (Q ou R)
P et Q
P et R
(P et Q) ou (P et R)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
1.3 Implication, équivalence.
On énonce dans ce qui suit des synonymies concernant l'implication et on en tire des conclusions
tiques sur la preuve d'une implication, et d'une équivalence.
pra-
Proposition 5.
Soient P, Q des assertions. On a la synonymie
P =⇒ Q ≡ (¬P ) ou Q.
Corollaire 6 (Négation d'une implication).
Soient P et Q deux assertions.
¬ (P =⇒ Q) ≡ P et (¬Q).
Conséquence pratique de la proposition 5 : Preuve directe d'une implication (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.1).
Si P est fausse alors P =⇒ Q sera vraie, quelle que soit la valeur de vérité de Q. En pratique, démontrer
P =⇒ Q demande seulement de vérier que lorsque P est vraie, Q l'est aussi. C'est pourquoi on lit souvent
P =⇒ Q comme
Si P , alors Q .
Pour démontrer une telle implication,
On SUPPOSE P (et on l'écrit) puis on MONTRE Q.
Vocabulaire
Dans P =⇒ Q, l'assertion Q est dite condition nécessaire dans , et P condition susante. En eet,
supposons que l'implication soit vraie. Alors Q est nécessairement vraie si P l'est, et il sut que P soit vraie
pour que Q le soit.
3
Dénition 7.
Soient P et Q deux assertions. On appelle contraposée de l'implication P =⇒ Q, l'implication
(¬Q) =⇒ (¬P ).
Théorème 8.
Soient P, Q des assertions. On a la synonymie
P =⇒ Q
≡
(¬Q) =⇒ (¬P )
Autrement dit, une implication est vraie, si et seulement si sa contraposée l'est.
Conséquence pratique : Preuve par contraposition d'une implication (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.2).
Au lieu de démontrer qu'une implication est vraie, on peut choisir si cela parait plus simple, de démontrer
sa contraposée.
Proposition 9.
Soient P, Q des assertions. On a la synonymie
P ⇐⇒ Q ≡ (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ).
Vu que l'on a pas donné de synonyme pour P ⇐⇒ Q, c'est encore une table de vérité qui sera la plus
convainquante.
Conséquence pratique : Preuve par "double-implication" d'une équivalence (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.3).
Il s'agit, pour démontrer que P ⇐⇒ Q est vraie, de démontrer séparément les implications P =⇒ Q (Q est
une condition nécessaire pour P ) puis Q =⇒ P (Q est une condition susante pour P ).
Exercice. En guise d'application des trois techniques ci-dessus, on propose la preuve pour
l'équivalence
n pair ⇐⇒ n2 est pair
Proposition 10.
Soient P, Q, R des assertions.
Si
P =⇒ Q et Q =⇒ R sont vraies,
alors P =⇒ R est vraie.
Le résultat reste vrai lorsqu'on remplace les implications par des équivalences.
4
n entier, de
1.4 Quanticateurs.
Soit E un ensemble. On se donne P(X) un prédicat sur E , c'est à dire une phrase utilisant la variable
X ∈ E . Lorsque dans le prédicat, on substitue à X un élément de l'ensemble E , on obtient une assertion
P(x). Par exemple, le prédicat "X est pair" permet, lorsqu'on substitue des entiers à X de former les assertions "4 est pair" et "3 est pair".
On rappelle les notations suivantes.
L'assertion "pour tout élément x de E , l'assertion P(x) est vraie" s'écrit
∀x ∈ E
P(x).
L'assertion "il existe un élément de E , disons x, telle que l'assertion P(x) est vraie" s'écrit quant à elle
∃x ∈ E
P(x).
Dans l'assertion ci-dessus, il faut comprendre le "il existe un élément" comme "il existe (au moins) un
élément". En eet, il se peut que l'assertion P(x) soit vraie pour plusieurs éléments x de E . L'assertion
"il existe un unique élément de E , que l'on note x, telle que l'assertion P(x) est vraie" s'écrit à l'aide du
symbole ∃! :
∃!x ∈ E
P(x).
Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables et on peut être amené à utiliser plusieurs quanticateurs.
Soient E, F deux ensembles et P(X, Y ) un prédicat où X prend ses valeurs dans E et Y dans F . Signalons
les synonymies :
∀x ∈ E
(∀y ∈ F
P(x, y))
≡
∀y ∈ F
(∀x ∈ E
P(x, y))
∃x ∈ E
(∃y ∈ F
P(x, y))
≡
∃y ∈ F
(∃x ∈ E
P(x, y))
B En revanche, les assertions suivantes ne sont pas synonymes !
(A) ∀x ∈ E
(∃y ∈ F
P(x, y))
(B) ∃y ∈ F
(∀x ∈ E
P(x, y)).
On lit (A) en deux temps :
• "∀x ∈ E " A partir de maintenant et jusqu'à la n de la phrase, on considère en pensée un élément x
de E particulier (le ∀ nous autorisant à choisir n'importe lequel).
• On considère ensuite l'assertion "∃y ∈ F P(x, y)" (et ne contient pas y ...) On apprend qu'il existe
un élément de F , qu'on va ici appeler y tel que P(x, y) est vraie. Mais ce y qui dépend de x a priori,
et change pour chaque élément x de E que l'on peut considérer.
On lit (B) en deux temps :
• "∃y ∈ F " Pour un (au moins) des éléments de F ce qui suit va être vrai. A partir de maintenant et
jusqu'à la n de la phrase, on considère en pensée un de ces éléments de F que l'on appelle ici y .
• "∀x ∈ E P(x, y)" L'élément y a été xé. La phrase P(x, y) est vraie pour tous les couples (x, y), où
x est n'importe quel élément de E .
Exemple. 1. Une théorie arme que chacun sur Terre a une âme s÷ur. Il faut comprendre cette phrase sous
la forme d'une assertion de type (A) : "pour toute personne sur Terre, il existe une âme s÷ur". Bien sûr,
cette âme s÷ur dépend de la personne considérée. Si on écrivait une assertion de type (B), cela signierait
"il existe des gens qui sont l'âme s÷ur... de tout le monde" ! (ces gens-là auraient une vie compliquée...)
Exemple. 2.
Soit f une fonction dénie sur R. Écrire à l'aide de quanticateurs "la fonction f est majorée sur R". Changer
maintenant l'ordre des quanticateurs. Remarquer alors que l'assertion obtenue est vraie pour toutes les
fonctions.
5
Les deux synonymies ci-dessous montrent comment nier une assertion contenant un quanticateur .
Proposition 11 (Négation d'une proposition contenant des quanticateurs).
Soit P(X) un prédicat sur un ensemble E . On a les synonymies
¬ (∀x ∈ E
P(x))
≡
∃x ∈ E
¬P(x)
¬ (∃x ∈ E
P(x))
≡
∀x ∈ E
¬P(x)
Exemple. Soit f une fonction dénie sur R. On note P l'assertion "f est majorée sur R", c'est à dire :
P :
∃M ∈ R ∀x ∈ R f (x) ≤ M.
On a donc
¬P :
2
∀M ∈ R ∃x ∈ R f (x) > M.
Ensembles.
2.1 Vocabulaire, parties.
À nouveau, on se donne une dénition vague.
Dénition 12.
Un ensemble non vide E est une collection d'éléments, c'est à dire d'objets x tels que l'assertion
"x appartient à E " est vraie.
On suppose qu'il existe un ensemble n'ayant pas d'éléments. On l'appelle ensemble vide et on
le note ∅. Pour tout objet x, l'assertion x ∈ ∅ est fausse.
On conviendra que l'assertion
∀x ∈ ∅ P(x)
est vraie, quel que soit le prédicat P(X). Puisqu'il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide, on peut dire
que tous les éléments de l'ensemble vide sont verts. Ils sont aussi bleus à poils durs, d'ailleurs.
Dénition 13.
On dit que deux ensembles E et F sont égaux s'ils sont tous les deux vides, ou s'ils ont les mêmes
éléments. On écrit alors E = F .
Pour décrire un ensemble non vide, on utilise des accolades, ainsi qu'une description de ses éléments, qui
peut être de deux formes.
• En extension : les éléments sont présentés sous forme de liste, par exemple {1, 2, 3}. Signalons que
l'ordre dans notre liste n'a pas d'importance : {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. L'ensemble
{2k, k ∈ N}
est l'ensemble des entiers naturels pairs, qu'il faut lire {0, 2, 4, 6, . . .} en comprenant le sens des points
de suspension.
Un ensemble ayant un seul élément est appelé singleton.
Un ensemble ayant exactement deux éléments est appelé paire.
6
compréhension : on sélectionne dans un autre ensemble, des éléments possédant une certaine
propriété. Par exemple, l'ensemble des entiers pairs se note, en compréhension
• En
{n ∈ N : ∃p ∈ N : n = 2p}.
L'ensemble des nombres réels positifs se note en compréhension : {x ∈ R : x ≥ 0}.
Dans la notation en compréhension
{x ∈ E : P(x) est vraie}
on écrit, dans l'ordre,
l'accolade, x : l'élément typique, E : l'ensemble de sélection, P(x) : le prédicat de sélection.
Dénition 14.
Soit E un ensemble Une partie de E est un ensemble F tel que l'assertion
∀x ∈ F
x∈E
est vraie. Cette assertion est notée F ⊂ E et se lit F est inclus dans E .
De façon moins abstraite, une partie de E est vide, ou est un ensemble d'éléments de E .
Exemple. Si E = {1, 2, 3}, le singleton {1} est inclus dans E : son unique élément 1 est dans E . On a donc
{1} ⊂ E , à ne pas confondre avec "1 ∈ E ". On a aussi {1, 3} ⊂ E
Remarque. Pour tout ensemble E , les ensembles E et ∅ sont des parties de E .
Conséquence pratique : Preuve par "double-inclusion" d'une égalité entre ensembles (voir aussi Raison-
ner/Rédiger, 5.2.)
Dénition 15.
L'ensemble des parties d'un ensemble E est noté P(E).
Remarque. Pour deux ensembles E et F , F
⊂ E ⇐⇒ F ∈ P(E).
Exemples.
P({1}) = {∅, {1}}, P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, P(∅) = {∅},
P (P({1})) = {∅, {∅}, {{1}}, {∅, {1}}}
Proposition 16.
Soient E et F deux ensembles. On a
E=F
⇐⇒
E ⊂ F et F ⊂ E.
Conséquence pratique : Preuve par "double-inclusion" d'une égalité entre ensembles (voir aussi Raison-
ner/Rédiger, 5.2).
7
2.2 Opérations sur les parties d'un ensemble.
Dénition 17.
Soient A et B deux parties d'un ensemble E . On dénit la
leur intersection A ∩ B par
A ∪ B := {x ∈ E : x ∈ A ou x ∈ B}
et
réunion de A et B , notée A ∪ B , et
A ∩ B := {x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B}.
Figure. Les diagrammes de Venn, ou patates , permettent de visualiser les ensembles ainsi dénis.
Proposition 18.
Soit E un ensemble. Les égalités d'ensembles suivantes sont vraies pour toutes parties A, B, C
dans P(E).
a) A ∪ A = A et A ∩ A = A
b) A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A (commutativité).
c) A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∩ E = A, et A ∪ E = E .
d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) et (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativité).
e) A ∩ (B ∪ C) ≡ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) ≡ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité).
Dénition 19.
Soient A et B deux parties d'un ensemble E . On appelle diérence de A et de B , ( A privé de
B ) la partie
A \ B := {x ∈ E : x ∈ A et x ∈
/ B}.
On appelle
complémentaire de A dans E et on note A ou CEA la partie
A := E \ A = {x ∈ E : x 6∈ A}.
8
Proposition 20.
Soit E un ensemble. Les égalités d'ensembles suivantes sont vraies pour toutes parties A, B, C
dans P(E).
a) ∅ = E et E = ∅.
b) A = A (complémentaire du complémentaire).
c) A ⊂ B =⇒ B ⊂ A.
d) A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = A ∩ B (dualité/formules de Morgan).
2.3 Produit cartésien.
Dénition 21.
1. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit
l'ensemble
cartésien de E et F et on note E × F
{(x, y) : x ∈ E, y ∈ F } .
Les éléments de E × F sont appelés couples.
2. Soient E1 , E2 , . . . En , n ensembles. On appelle produit cartésien de E1 , E2 , . . . , En et on note
E1 × E2 × . . . × En l'ensemble
{(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 , . . . , xn ∈ En } .
Les éléments de E1 , E2 , . . . , En sont appelés n-uplets.
Notation. On note E 2 = E × E . Par exemple, R2 = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R}.
Exemples.
E = {1, 2, 3}, F = {♦, ♥}, E × F = {(1, ♦), (2, ♦), (3, ♦), (1, ♥), (2, ♥), (3, ♥)}.
Notons Card(E) ("cardinal") le nombre d'éléments d'un ensemble E . On remarque sur l'exemple précédent que
Card(E × F ) = 6 = 3 × 2 = Card(E) × Card(F ).
Le résultat sera prouvé en général dans le cours sur le dénombrement. Nous faisons cette remarque dès
maintenant pour expliquer la notation × pour le produit cartésien : il est commode que le cardinal du
produit soit le produit des cardinaux.
9