Logique/Ensembles

4 1 + 1 = 2 1 + 1 = 3
4 1+1 = 2 1+1 = 3
P P P
P P P ¬P
P¬P
P Q P Q
P Q

•
•
•
•=⇒
• ⇐⇒
P Q P Q P Q P Q P =⇒Q P ⇐⇒ Q
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
3 =⇒2
P1, P2,...PnA(P1, . . . , Pn)
B(P1, . . . , Pn)
P1, . . . , Pn
A(P1, . . . , Pn)≡ B(P1, . . . , Pn).
P, Q, R
¬(¬P)≡P, (Pet P)≡P, (Pou P)≡P
(Pet Q)≡(Qet P),(Pou Q)≡(Qou P)
((Pet Q) et R)≡(Pet (Qet R)),((Pou Q) ou R)≡(Pou (Qou R))
Pet (Qou R)≡(Pet Q) ou (Pet R)Pou (Qet R)≡(Pou Q) et (Pou R)
¬(Pet Q)≡(¬P) ou (¬Q),¬(Pou Q)≡(¬P) et (¬Q)

c)
d)
a)c)¬
d)
P Q R Q ou R P et (Qou R)Pet Q P et R(Pet Q) ou (Pet R)
P, Q
P=⇒Q≡(¬P) ou Q.
P Q
¬(P=⇒Q)≡Pet (¬Q).
P P =⇒Q Q
P=⇒Q P Q
P=⇒Q
P Q
P Q
P=⇒Q Q P
Q P P
Q

P Q P =⇒Q
(¬Q) =⇒(¬P).
P, Q
P=⇒Q≡(¬Q) =⇒(¬P)
P, Q
P⇐⇒ Q≡(P=⇒Q) et (Q=⇒P).
P⇐⇒ Q
P⇐⇒ Q P =⇒Q Q
P Q =⇒P Q P
n
n⇐⇒ n2
P, Q, R
P=⇒Q Q =⇒R P =⇒R

EP(X)E
X∈E X E
P(x)X X
4 3
x E P(x)
∀x∈EP(x).
E x P(x)
∃x∈EP(x).
P(x)x E
E x P(x)
∃!
∃!x∈EP(x).
E, F P(X, Y )X E Y F
∀x∈E(∀y∈FP(x, y)) ≡ ∀y∈F(∀x∈EP(x, y))
∃x∈E(∃y∈FP(x, y)) ≡ ∃y∈F(∃x∈EP(x, y))
B
(A)∀x∈E(∃y∈FP(x, y)) (B)∃y∈F(∀x∈EP(x, y)).
(A)
• ∀x∈E x
E∀
• ∃y∈FP(x, y)y
F y P(x, y)y x
x E
(B)
• ∃y∈F F
F y
• ∀x∈EP(x, y)yP(x, y) (x, y)
x E
(A)
(B)
fRfR