Corrig¶e CCP math I PSI 2003

Corrig¶eCCPmathIPSI2003
PARTIEI
I.1L'applicationt7! ¹(t)costestcontinuesurRdoncGprimitived'unefonctioncontinue estde classeC1surR;avec
G0(x)=¹(x)cosx:Dem^emepourH;avec H0(x)=¹(x)sinx:Onen d¶eduit
F0(x)=sinx(¹(x)cosx)+cosxZx
0
¹(t)costdt+sinxZx
0
¹(t)sintdt¡cosx(¹(x)sin(x))
=cosxZx
0
¹(t)costdt+sinxZx
0
¹(t)sintdt=cosxG(x)+sinxH(x)
D'oµuF(0)=0etF0(0)=0
I.2
GetH¶etantde classeC1,onen d¶eduitqueF0estde classeC1etdoncqueFestde classeC2et:
F00(x)=¡sinxG(x)+cos2x¹(x)+cosxH(x)+sin2(x)¹(x)=¡F(x)+¹(x):
DoncF00(x)+F(x)=¹(x)
I.3
OnaproblµemedeCauchy
y00 +y=¹;y(0)=0;y0(0)=0;
etd'aprµesleth¶eorµemedeCauchyLipschitzil yaunicit¶edelasolution doncF=':
Remarque:l'¶egalit¶e'(x)=sinxRx
0¹(t)dt¡cosxRx 0¹(t)dts'obtientaussienappliquantlam¶ethodede variationdescon-
stantespour r¶esoudre(E¹).
I.4
I.4.1CommeGestC1on peutd¶eriverlaprimitive:G0(x+2¼)¡G0(x)=¹(x+2¼)cos(x+2¼)¡¹(x)cosx=0car¹est
2¼¡p¶eriodique.Dem^emeH0(x+2¼)¡H0(x)=0:
I.4.2Lafonctionx7! G(x+2¼)¡G(x)estdonc constantesurR(intervalle)¶egaleµa savaleuren2¼;soit:
G(x+2¼)¡G(x)=G(2¼)
Dem^emeH(x+2¼)¡H(x)=H(2¼)
I.4.3
'(x+2¼)¡'(x)=F(x+2¼)¡F(x)=(G(x+2¼)¡G(x)) sinx¡(H(x+2¼)¡H(x)) cosx
'(x+2¼)¡'(x)=F(x+2¼)¡F(x)=G(2¼)sinx¡H(2¼)cosx
I.4.4Lafamille(cos;sin)¶etantlibre,Fest2¼-p¶eriodiquesietseulementsiG(2¼)=H(2¼)=0
I.4.5Avec ¹=sinonaG(2¼)=R2¼
0sintcostdt=0etH(2¼)=R2¼ 0sin2tdt=¼6=0donc'sinn'estpas2¼-p¶eriodique.
M^eme conclusion pour'coscaralorsG(2¼)=¼6=0:
I.4.6Pour¹=sinonad'aprµesI4.4.3.
'sin(x+2¼)¡'sin(x)=¡¼cos(x)
doncpourtoutentiernonacommeF(0)=0et'sin(2n¼)¡'sin((2n¡2)x)=¡¼
'sin(2n¼)=F(2n¼)=0£0¡cos(2n¼)£n¼=¡n¼
donc'sinn'estpasborn¶ee.
Dem^emepour¹=cosetpourtoutentiernona
'cos³2n¼+¼
2´=n¼+Gcos³¼ 2´
donc'cosn'estpasborn¶ee.
Autrem¶ethode:onpeutaussicalculer
'sin(x)=1
2sinx¡x 2cosx
et
'cos(x)=1
2xsinx:

I.4.7Pour¹=jsinj
G(2¼)=Z2¼
0
jsintjcostdt=Z¼
0
sintcostdt¡Z2¼
¼
sintcostdt;
etenfaisantt=¼+udansladeuxiµemeint¶egrale celadonneG(2¼)=0:Onobtientdem^emeH(2¼)=0,
'est2¼p¶eriodique
.
I.4.8'¶etant2¼-p¶eriodique:'(R)='([0;2¼]).Lafonction'¶etantcontinue,onal'imaged'un segmentparunefonction
continue etdonc'(R)estborn¶e.
Pard¶erivation d'unefonctionC2;2¼p¶eriodique'0et'00 sontaussicontinueset2¼-p¶eriodiquesetdoncborn¶ees.
Ájsinj;Á0
jsinj;Á"jsinjsontborn¶es surR
PARTIEII
II.1t7! e¡tjsintjestcontinuepositivesurR+et8t2R+;06e¡tjsintj6e¡tce quimontrequet7! e¡tjsintjest
int¶egrablesurR+parmajoration(puisquet7! e¡tl'est)
II.2
I
I.2.1v0=R¼
0e¡tjsintjdt=R¼ 0e¡tsintdt
Oncalculedonc:R¼
0e¡teitdt=R¼ 0e(¡1+i)tdt=he(¡1+i)t ¡1+ii¼
0=¡e¡¼¡1
¡1¡i=¡1¡i 2(¡e¡¼¡1)
ce quidonne en prenantlapartieimaginaire:v0=e¡¼+1
2:
I
I.2.2Avec le changementdevariableC1t=n¼+uonobtient:
vn=Z¼
0
e¡n¼¡ujsinujdu=e¡n¼v0=(e¡¼)nv0:
soit½=e¡¼
I
I.2.3Pn>0vnestdoncunes¶erieg¶eom¶etriquederaison2]¡1;1[donc convergente.Deplus sasomme est¶egaleµa
v0
1¡½=1 2
e¡¼+1
(1¡e¡¼)
I
I.2.4Lafonctiont7! e¡tjsintj¶etantint¶egrablesurR+l'int¶egraleg¶en¶eralis¶ee R+1
0e¡tjsintjdtconverge et
Z+1
0
e¡tjsintjdt=lim
X!+1ZX
0
e¡tjsintjdt
pourcalculerlalimite(dontonconna^³tl'existence)on peutappliquerle critµeres¶equentielen utilisantlasuite(n¼)
Z+1
0
e¡tjsintjdt=lim
n!+1Zn¼
0
e¡tjsintjdt=
+1
X
n=0
vn
R+1
0e¡tjsintjdt=1 2
e¡¼+1
(1¡e¡¼)
II.3
I
I.3.1Nousavonsvuque'¶etaitborn¶ee surR+:Donc
8t2R+;je¡t'(t)j6k'k1e¡t:
Doncl'applicationt7! e¡t'(t)estcontinue etmajor¶ee envaleurabsolueparunefonctionint¶egrablesurR+ce qui
prouvequ'elle estint¶egrablesurR+:Dem^emee¡t'0(t)ete¡t'"(t).
2

I
I.3.2SoitX2R+.Onaparpartie,eten utilisant'(0)='0(0)=0
ZX
0
'(t)e¡tdt=[¡e¡t'(t)]X
0+ZX
0
'0(t)e¡tdt
=¡'(X)e¡X+[¡e¡t'0(t)]X
0+ZX
0
'00(t)e¡tdt
=¡'(X)e¡X¡'0(X)e¡X+ZX
0
'00(t)e¡tdt:
Enfaisant tendreXvers+1(lesint¶egralesg¶en¶eralis¶eesconvergent) onobtient:
R+1
0'(t)e¡tdt=R+1 0'00(t)e¡tdt
Or'(t)+'00(t)=¹(t)donc'(t)e¡t+'00(t)e¡t=¹(t)e¡tce quidonne
2Z+1
0
'(t)e¡tdt=Z+1
0
¹(t)e¡tdt
etdoncR+1
0'(t)e¡tdt=1 4
1+e¡¼
1¡e¡¼
PARTIEIII
III.1
I
I.1.1¹est2¼-p¶eriodique,continue etC1parmorceauxsurRdoncleth¶eorµemede convergence normales'applique etlas¶erie
deFourierde¹convergenormalementsurRvers¹:
I
I.1.2Dem^emepour'puisque'est2¼-p¶eriodique etde classeC1surR:
III.2
I
I.2.1¹¶etantpaireonapourtoutnentiernaturelbn(¹)=0et
an(¹)=2
¼Z¼
0
¹(t)cos(nt)dt
=2
¼Z¼
0
sintcos(nt)dt
=1
¼Z¼
0
(sin(n+1)t¡sin(n¡1)t)dt:
On distinguen=1
a1(¹)=1
¼Z¼
0
sin(2t)dt=0
etn6=1
an(¹)=1
¼·cos(n¡1)t n¡1¡cos(n+1)t n+1¸¼
0
=1
¼·((¡1)n¡1¡1)µ1 n¡1¡1 n+1¶¸
=2
¼
(¡1)n¡1¡1
(n¡1)(n+1):
Soitpourtoutentiernaturelp:
a2p(¹)=¡4
¼(4p2¡1)
a2p+1(¹)=0
3

I
I.2.2Enappliquantler¶esultatdeIII.1.1ona
8t2R,jsintj=2
¼¡4 ¼P+1
p=1
cos(2pt)
4p2¡1
quidonnepourt=0
0=2
¼¡4 ¼
+1
X
p=1
1
4p2¡1
etdoncP+1
p=11
4p2¡1=1 2:
I
I.2.3On prouvelaconvergence etonobtientdepluslasommegr^ace auth¶eorµemedeParsevalquis'appliqueµa ¹puisque¹est
2¼-p¶eriodique etcontinueparmorceauxsurR
1
¼Z2¼
0
sin2tdt="a2
0
2+
+1
X
p=1
a2
2p#
soit
2
¼Z¼
0
sin2tdt="8
¼2+16 ¼2
+1
X
p=1
1
(4p2¡1)2#
soit
1=8
¼2+16 ¼2
+1
X
p=1
1
(4p2¡1)2
et¯nalementP+1
p=11
(4p2¡1)2=¼2 16 ¡1 2
III.3
remarque:d'aprµesleIonsaitque'est2¼p¶eriodique.Depluscommesolution del'¶equation di®¶erentielle'2C2(R;R)
I
I.3.1G(x)=Rx
0jsintjcostdtetdoncG(¡x)=R¡x 0jsintjcostdt=¡G(x)aprµesavoirfaitle changementdevariableu=¡t:
DoncGestimpaire.Dem^emeHestpaire.Onen d¶eduitque'estpaire.Etdoncbn(')=0pourn2N¤:
I
I.3.2'¶etantC2,2¼p¶eriodiqueonsaitquecn('")=(in)2cn(')=¡n2cn(')doncan('00)=¡n2an(')
I
I.3.3Ona'+'00 =¹etdoncparlin¶earit¶edescoe±cientsdeFourieran(')+an('00)=an(¹)
soit (1¡n2)an(')=an(¹):
Doncpourn6=1 onaan(')=1
1¡n2an(¹)ce quidonne
8p2N;a2p(')=¡4
¼
1
(1¡4p2)(4p2¡1)=4 ¼(4p2¡1)2
et
8p2N¤;a2p+1(')=0:
I
I.3.4III:1:2donnedonc:
8x2R;'(x)=2
¼+a1(')cosx+4 ¼
+1
X
p=1
cos(2px)
(4p2¡1)2
Pourx=0 onobtient
'(0)=0=2
¼+a1(')+4 ¼
+1
X
p=1
1
(4p2¡1)2
d'oµu,sachantP+1
p=11
(4p2¡1)2=¼2 16 ¡1 2
a1(')=¡¼
4:
'(x)=2
¼¡¼ 4cosx+4 ¼P+1 p=1
cos(2px)
(4p2¡1)2
4

III.4Onjusti¯elaconvergence delas¶erieparlefaitque
1
(4p2¡1)(16p4¡1)»p!1
1
64p6>0:
En notantai=ai(')ona
Z+1
0
e¡t'(t)dt=Z+1
0
e¡t"2
¼+a1cost+
+1
X
p=1
a2pcos(2pt)#dt
=2
¼Z+1
0
e¡tdt+a1Z+1
0
coste¡tdt+Z+1
0Ã+1
X
p=1
a2pcos(2pt)e¡t!dt:
Ils'agitdoncmaintenantdejusti¯erl'int¶egrationtermeµa termedelas¶erie:
²t7! a2pcos(2pt)e¡testcontinue etint¶egrablesurR+carjcos(2pt)e¡tj·e¡t
²las¶eriedefonctionsPa2pcos(2pt)e¡tconvergesimplementsurR+versunefonctioncontinue('¡a0¡a1cos)
²R+1
0ja2pcos(2pt)e¡tjdt6R+1 0a2pe¡tdt=ja2pj=4 ¼(4p2¡1)2»p!1 1 16¼p4(>0) termeg¶en¶erald'unes¶erie convergente.
Leth¶eorµemed'int¶egrationtermeµa termepourles s¶eriesdefonctions s'applique etpermetdoncle calcul :
Z+1
0
cos(nt)e¡tdt=Re·Z+1
0
e(¡1+in)tdt¸=Re·e(¡1+in)t
¡1+in¸+1
0
=Re·¡1
¡1+in¸=1 1+n2
d'oµuR+1
0coste¡tdt=1 2etR+1 0cos(2pt)e¡tdt=1 1+4p2donc
Z+1
0
e¡t'(t)dt=2
¼+1 2³¡¼ 4´+4 ¼
+1
X
p=1
1
(4p2¡1)2(4p2+1)
=1
4
1+e¡¼
1¡e¡¼d'aprµesleII
etdonc+1
X
p=1
1
(4p2¡1)2(4p2+1)=¼ 4·1 4
1+e¡¼
1¡e¡¼¡2 ¼+¼ 8¸
etdonc:+1
X
p=1
1
(4p2¡1)(16p4¡1)=¼ 4·1 4
1+e¡¼
1¡e¡¼¡2 ¼+¼ 8¸
III.5
I
I.5.1G'(2¼)=R2¼
0'(t)costdt=¼a1(')<0doncÁn'estpas2¼-p¶eriodiqued'aprµesle critµeredeI.4.4.
I
I.5.2OnaÁ(x)=sinxG'(x)¡cosxH'(x)donc
Á³2n¼+¼
2´=Á³¼ 2´+nGÁ(2¼)¡!¡1
ce quiprouvequeÁn'estpasborn¶ee surR:
I
I.5.3Soitx>0:Alors
jG'(x)j=¯¯¯¯Zx
0
'(t)costdt¯¯¯¯6Zx
0
k'k1dt·k'k1x
etdem^eme
jH'(x)j=¯¯¯¯Zx
0
'(t)sintdt¯¯¯¯6k'k1x
Onen d¶eduit
jÁ(x)j=jF'(x)j62xk'k1
etdoncje¡tÁ(t)jestcontinuepositivesurR+ett2je¡tÁ(t)j·2k'k1t3e¡t
Ainsi l'applicationt7! e¡tÁ(t)estcontinuesurR+,n¶egligeabledevantunefonctionint¶egrablesurR+,elle estdonc
int¶egrablesurR+:
5