EX 1 : ( 3 points ) Les questions suivantes sont indépendantes. 1

TS. Contrôle 9 - Chapitres : Probabilités - Intégration
E X 1 : ( 3 points )
♣ le 23-04-10
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. On dispose de 10 jetons numérotés de 1 à 10. On en extrait simultanément trois pour former un « paquet ». Combien de paquets
contenant au moins un jeton avec numéro pair, peut-on ainsi former ?
³
´
2. A et B sont deux événements tels que : P (A) = 0, 4 P (B ) = 0, 5 P A ∪ B = 0, 35 . Combien vaut P (A ∩ B ) ?
3. On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. On place successivement et au hasard trois jetons dans trois cases
différentes. Quelle la probabilité de l’événement : « On a placé un seul jeton par ligne et par colonne » ?
E X 2 : ( 3 points ) Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en
usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est
détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de
fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès.
On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ». On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1 et C .
2. La fabrication d’un écran revient à 1000 € au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 € de plus si l’écran doit
être testé une seconde fois. Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif ) au client. On introduit la variable aléatoire X
qui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain »(éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a et exprimer l’espérance de X en fonction de a.
b. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
E X 3 : ( 4 points ) Le jour J 0 où il a été fait chevalier, le seigneur PERCEVAL ne s’est pas rendu à la TAVERNE DES DEUX RENARDS.
À partir de ce jour, la vie de Perceval a suivi la règle suivante :
– s’il va à la taverne le jour J n , il y retourne le lendemain (jour J n+1 ) avec une probabilité de 0, 4.
– s’il ne va pas à la taverne le jour J n , il va à la taverne le jour suivant avec une probabilité de 0, 8.
1. Déterminer la probabilité de l’événement : « Il ne va pas à la taverne le jour J 1 et il y va le jour J 2 ».
2. Chaque visite à la taverne coûte 50 écus à Perceval. On appelle X la variable aléatoire qui compte la somme totale dépensée
par Perceval les trois premiers jours après son adoubement, c’est à dire les jours J 1 , J 2 et J 3 .
Donner la loi de probabilité de X en utilisant un arbre et calculer l’espérance de X .
3. Sachant que Perceval a été vu à la taverne le jour J 2 , quelle est la probabilité qu’il se soit rendu à la taverne le jour J 1 ?
Z2
E X 4 : ( 3 points )
On considère les intégrales : I =
−1
2
dx
p
2x + 5
Z1
J=
0
x
dx
1 + x2
Z1
K=
0
x3
dx
1 + x2
1. Calculer I
2. Calculer J ; calculer J + K ; en déduire la valeur de K .
1
E X 5 : ( 2 points ) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x) = 2x
. On appelle Γ la courbe représentant g dans un repère
e −1
°
°
°
°
³ →
´
e2x
− →
−
− °
− °
°→
°→
orthogonal O, ı ,  avec ° ı ° = 2 cm et °  ° = 4 cm. Montrer que pour tout x > 0, on a : g (x) = 2x
−1
e −1
2
puis calculer, et exprimer en unités d’aire puis en cm , l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Γ et les droites
1
d’équation x = et x = 2.
4
Z1
E X 6 : ( 3 points ) On considère la suite (u n ) définie par : pour tout entier naturel n non nul, u n = (1 − t )n et d t .
0
1. Montrer que la fonction f : t 7→ (2 − t ) et est une primitive de g : t 7→ (1 − t ) et sur [0 ; 1]. En déduire la valeur de u 1 .
2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul, u n+1 = (n + 1) u n − 1.
E X 7 : ( 2 points ) On considère une fonction f définie et continue sur R.
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier votre réponse.
Zt
¬ Si f est positive sur R alors, pour tout réel t , f (x) d x est un nombre réel positif.
Z1
0
­ Si f (x) d x est un nombre positif alors la fonction f est positive sur [0 ; 1].
0