EX 1 : ( 3 points ) Les questions suivantes sont indépendantes. 1

EX1 : ( 3 points ) Les questions suivantes sont indépendantes.
1. On dispose de 10 jetons numérotés de 1 à 10. On en extrait simultanément trois pour former un « paquet ». Combien de paquets
contenant au moins un jeton avec numéro pair, peut-on ainsi former ?
2. Aet Bsont deux événements tels que : P(A)=0,4 P(B)=0,5 P³A∪B´=0,35 . Combien vaut P(A∩B)?
3. On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. On place successivement et au hasard trois jetons dans trois cases
différentes. Quelle la probabilité de l’événement : « On a placé un seul jeton par ligne et par colonne » ?
EX2 : ( 3 points ) Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en
usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est
détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de
fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès.
On note T1l’évènement : « le premier test est positif ». On note Cl’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1et C.
2. La fabrication d’un écran revient à 1000 €au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 €de plus si l’écran doit
être testé une seconde fois. Un écran est facturé aeuros (aétant un réel positif) au client. On introduit la variable aléatoire X
qui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain »(éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de Xen fonction de aet exprimer l’espérance de Xen fonction de a.
b. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
EX3 : ( 4 points ) Le jour J0où il a été fait chevalier, le seigneur PERCEVAL ne s’est pas rendu à la TAVERNE DES DEUX RENARDS.
À partir de ce jour, la vie de Perceval a suivi la règle suivante :
– s’il va à la taverne le jour Jn, il y retourne le lendemain (jour Jn+1) avec une probabilité de 0,4.
– s’il ne va pas à la taverne le jour Jn, il va à la taverne le jour suivant avec une probabilité de 0,8.
1. Déterminer la probabilité de l’événement : « Il ne va pas à la taverne le jour J1et il y va le jour J2».
2. Chaque visite à la taverne coûte 50 écus à Perceval. On appelle Xla variable aléatoire qui compte la somme totale dépensée
par Perceval les trois premiers jours après son adoubement, c’est à dire les jours J1,J2et J3.
Donner la loi de probabilité de Xen utilisant un arbre et calculer l’espérance de X.
3. Sachant que Perceval a été vu à la taverne le jour J2, quelle est la probabilité qu’il se soit rendu à la taverne le jour J1?
EX4 : ( 3 points ) On considère les intégrales : I=
2
Z
−1
2
d x
p2x+5J=
1
Z
0
x
1+x2d x K =
1
Z
0
x3
1+x2d x
1. Calculer I
2. Calculer J; calculer J+K; en déduire la valeur de K.
EX5 : ( 2 points ) Soit gla fonction définie sur ]0 ; +∞[par : g(x)=1
e2x−1. On appelle Γla courbe représentant gdans un repère
orthogonal ³O, −→ ı,−→ ´avec °
°
°−→
ı°
°
°=2 cm et °
°
°−→
°
°
°=4 cm. Montrer que pour tout x>0, on a : g(x)=e2x
e2x−1−1
puis calculer, et exprimer en unités d’aire puis en cm2, l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Γet les droites
d’équation x=1
4et x=2.
EX6 : ( 3 points ) On considère la suite (un)définie par : pour tout entier naturel nnon nul, un=
1
Z
0
(1−t)netd t .
1. Montrer que la fonction f:t7→(2−t)etest une primitive de g:t7→(1−t)etsur [0 ; 1]. En déduire la valeur de u1.
2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout nnon nul, un+1=(n+1)un−1.
EX7 : ( 2 points ) On considère une fonction fdéfinie et continue sur R.
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier votre réponse.
¬Si fest positive sur Ralors, pour tout réel t,
t
Z
0
f(x)d x est un nombre réel positif.
Si
1
Z
0
f(x)d x est un nombre positif alors la fonction fest positive sur [0 ; 1].
TS. Contrôle 9 - Chapitres : Probabilités - Intégration ♣le 23-04-10