EX1 : ( 3 points ) Les questions suivantes sont indépendantes.
1. On dispose de 10 jetons numérotés de 1à10. On en extrait simultanément trois pour former un « paquet ». Combien de paquets
contenant au moins un jeton avec numéro pair, peut-on ainsi former ?
Soit E={1;2;3;4; 5;6;7; 8;9;10}l’ensemble représentant les 10 jetons numérotés.
Un « paquet » est une combinaison de 3 éléments de E, il y en a : Ã10
3!=10!
3!7! =120 . Le nombre de paquets ne contenant aucun
jeton avec numéro pair est le nombre de combinaisons de 3 éléments de E0={1;3; 5;7;9}, il y en a : Ã5
3!=5!
3!2! =10 .
Finalement, le nombre de paquets contenant au moins un jeton avec numéro pair est de : Ã10
3!−Ã5
3!=120 −10 =110
2. A et B sont deux événements tels que : P (A)=0,4 P(B)=0,5 P³A∪B´=0, 35 . Combien vaut P (A∩B)?
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)et P(A∪B)=1−P³A∪B´=1−0,35 =0,65
donc P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0, 4 +0,5 −0,65 =0,25
3. On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. On place successivement et au hasard trois jetons dans trois cases différentes.
Quelle la probabilité de l’événement : « On a placé un seul jeton par ligne et par colonne » ?
Soit E={C1;C2;C3;C4;C5;C6;C7;C8;C9}l’ensemble représentant les 9 cases de la grille. Les jetons étant indiscernables, une
issue de cette expérience aléatoire correspond à un choix de 3 cases, c’est une combinaison de 3 éléments de E
il y a donc : Ã9
3!=9!
3!6! =84 dispositions possibles et elles sont toutes équiprobables.
Dénombrons les issues favorables à l’événement : « On a placé un seul jeton par ligne et par colonne »
on place un jeton sur la 1ière colonne ; il y a 3 choix possibles
on place un jeton sur la 2ième colonne ; il y a 2 choix possibles ( car on ne peut le mettre sur la même ligne que le premier )
on place un jeton sur la 3ième colonne ; il y a 1 choix possible
il y a donc : 3! =3×2×1=6 dispositions favorables.
Finalement, la probabilité de placer un seul jeton par ligne et par colonne est de : 3×2×1
¡9
3¢=6
84 =1
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EX2 : ( 3 points ) Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où
il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude
statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que
parmi les écrans réparés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès.
On note T1l’évènement : « le premier test est positif ». On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1et C.
Je note T2l’évènement : « le deuxième test est positif ».
p(T1)=0,7 et p(C)=p(T1)+p³T1∩T2´=0,7 +0,3 ×0,65 =0, 7 +0,195 =0,895
2. La fabrication d’un écran revient à 1000 €au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 €de plus si l’écran doit
être testé une seconde fois. Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client. On introduit la variable aléatoire X qui,
à chaque écran fabriqué, associe le « gain »(éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a et exprimer l’espérance de X en fonction de a.
Les écrans passant le premier test procurent un « gain » de a−1 000 ; ceux passant le second test un « gain » de a−1050 et
les autres un « gain » de −1 050.
D’où la loi de probabilité :
« gain » 1ertest 2etest refusés
X a −1 000 a−1 050 −1 050
p(X=xi)0,7 0,195 0,105
E(X)=0, 7 ×(a−1 000) +0, 195 ×(a−1 050) +0, 105 ×(−1 050) ⇐⇒ E(X)=0,895a−1 015 .
b. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices?
L’entreprise peut espérer un bénéfice si l’espérance de gain est positive,
soit E(X)>0⇐⇒ a>1015
0,895 ⇐⇒ a'1 134,08 €. (à un centime près par excès)
TS. Contrôle 9 - Correction ♣