Chap 5. Probabilités conditionnelles

Chap 5. Probabilités conditionnelles
Terminale S
Blaise Pascal (1623 - 1662)
Mathématicien, physicien, philosophe, moraliste et théologien français, il publie un traité
de géométrie projective à seize ans ; ensuite
il développe, en 1654, une méthode de résolution du « problème des partis » qui, donne
naissance au cours du XVIIIe siècle au calcul
des probabilités.
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I. Conditionnement par un événement
Problème n°1 :
On lance un dé équilibré une fois et on étudie les deux événements suivants :
: « le nombre est inférieur ou égal à 5 »
: « le nombre est supérieur ou égal à 3 »
Supposons que soit réalisé, quelle est alors la probabilité
que ! soit réalisé aussi ?
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Problème n°2 :
Un candidat à un examen sait qu’il se verra proposer à l’oral soit
une question de type avec une probabilité 0,6 pour laquelle il
estime ses chances d’avoir la moyenne à 40%, soit une question
de type avec une probabilité 0,4 pour laquelle il estime ses
chances d’avoir la moyenne à 70%.
Quelle est la probabilité pour ce candidat d’obtenir la
moyenne ?
Sachant qu’il a eu la moyenne, quelle est la probabilité pour
qu’il ait été interrogé sur une question de type ! ?
Sachant qu’il n’a pas eu la moyenne, quelle est la probabilité
pour qu’il ait été interrogé sur une question de type ?
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Définition :
Une loi de probabilité # est définie sur un ensemble Ω.
et sont deux événements avec #% & ≠ 0.
La probabilité de l’événement sachant , notée #) % &, est dé*% ∩!&
finie par * %!& =
.
*% &
Exemple 1 :
Un SAV a constaté que les retours d’un appareil sont dus dans
30% des cas à une panne , dans 40% des cas à une panne et
dans 3% des cas à la simultanéité des deux pannes. Un appareil
choisi au hasard présente la panne . Quelle est la probabilité
qu’il ait aussi la panne ?
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Conséquence :
Une loi de probabilité # est définie sur un ensemble Ω.
et sont deux événements avec #% & ≠ 0.
La probabilité de l’intersection entre et est :
*% ∩ !& = *% &×* %!&.
Exemple 2 :
Tous les élèves de Terminale ont passé un test de certification
en anglais. 80% ont réussi le test. Parmi ceux qui ont réussi,
95% n’ont jamais redoublé et parmi ceux qui ont échoué, 2%
n’ont jamais redoublé. Un élève est choisi au hasard, quelle est la
probabilité qu’il a réussi le test sans jamais redoubler ?
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Définition :
Les événements , et 7 forment une partition de l’univers Ω
lorsqu’ils sont incompatibles deux à deux et que leur réunion est
Ω:
∩ = ∅,
∩ 7 = ∅ et
∩7 =∅
∪ ∪7 =Ω
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Propriété : Soit ,
et 7 une partition de Ω et @ un événement
@ = % ∩ @& ∪ % ∩ @& ∪ %7 ∩ @& où ∩ @, ∩ @ et 7 ∩ @ sont
incompatibles deux à deux
donc #%@& = #% ∩ @& + #% ∩ @& + #%7 ∩ @&
*%C& = *% &×* %C& + *%!&×*! %C& + *%D&×*D %C&
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Exemple 3 :
Pour se rendre à un endroit donné Alexandre dispose de 4 chemins possibles notés , , 7 et @.
1
1
1
1
#%« choisir »& = #% & =
#% & =
# %7 & =
# %@ & =
3
4
12
3
J
La probabilité d’arriver en retard par le chemin est .
La probabilité d’arriver en retard par le chemin
est
KL
J
JL
J
et
la probabilité d’arriver en retard par le chemin 7 est .
M
En passant par le chemin @, Alexandre n’est jamais en retard.
Quelle est la probabilité pour qu’Alexandre soit en retard ?
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II. Indépendance de deux événements
Deux événements et sont indépendants lorsque la réalisation ou non de n’a pas d’influence sur la réalisation de donc
#P % & = #% &
et
#) % & = #% &
or #P % & =
Q%)∩P&
Q%P&
= #% & donc #% ∩ & = #% &×#% &
Définition
Deux événements
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et
sont indépendants lorsque
*% ∩ !& = *% &×*%!&
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Propriété :
Si et sont deux événements indépendants alors ̅ et
aussi indépendants.
sont
Démonstration %ROC& :
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∩
et ̅ ∩
forment une partition de
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donc #% & = #% ∩ & + #% ̅ ∩ &
or
et
sont indépendants donc #% ∩ & = #% &×#% &
par conséquent #% ̅ ∩ & = #% & − #% ∩ &
#% ̅ ∩ & = #% & − #% &×#% &
#% ̅ ∩ & = V1 − #% &W×#% &
or #% ̅& = #%Ω& − #% & = 1 − #% &
et donc #% ̅ ∩ & = #% ̅&×#% &
On en déduit que ̅ et sont indépendants eux aussi∎
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Remarque :
De la même façon, on peut démontrer que si et sont indépendants alors et [ sont aussi indépendants ainsi que ̅ et [ .
Exemple 4 :
On lance une pièce équilibrée deux fois de suite.
: « Obtenir Pile au 1er lancer »
: « Obtenir Face au 2e lancer »
7 : « Obtenir au moins une fois Pile »
Les événements
Les événements
et ! sont-ils indépendants ?
et D sont-ils indépendants ?
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