TRIGONOMÉTRIE

1
T
T
TR
R
RI
I
IG
G
GO
O
ON
N
NO
O
OM
M
MÉ
É
ÉT
T
TR
R
RI
I
IE
E
E
YD.04
§4MESURES d'ANGLES :
Toute l'approche, que nous allons faire ici, résulte
d'une nouvelle conception de la notion d'angle.
Nous avons défini un angle comme l'intersection de
deux demi–plans. C'est donc un ensemble infini de
points du plan. La mesure d'angle que nous avons
admise est celle de degré. Elle permet de comparer un
angle ! donné à un angle plein qui a arbitrairement
été défini par la mesure de 360° pour satisfaire, d'une
part à une aproxi-mation de l'année solaire et d'autre
part à un simple critère de divisibilité!:
fig.(1)
!
"2
"1
360 ayant 24 diviseurs dont 9 parmi les 10 premiers naturels.
De façon tout aussi arbitraire une autre mesure a été fondée sur le partage de l'angle droit en 100 parties égales,
pour satisfaire plus directement à notre système décimal, il s'agit du grade, en abrégé grad.
Mais aucune de ces deux mesures ne satisfaite pleinement aux exigences de la mathématique .
Ce qui caractérise fondamentalement un angle c'est que pour
tout cercle centré en son sommet, le rapport entre l'arc Li
intercepté et son rayon ri est une constante :
Li
ri = 2·" · !° 360° = 2·" · !!grad 400!grad = cte .
C'est ce rapport métrique ( entre deux mesures de longueur
conçues dans la même unité ) que nous retiendrons pour
définir une mesure d'angle, le radian , en abrégé rad :
!!!!(!rad!)!!!=!!Li
ri
!!!=!!!longueur!d'arc
rayon !!!!!
!
r
1
r
2r3
1
L
3
L
2
L
O
fig.(2)
Remarquons qu'ainsi mesuré en radians, l'angle ! est conçu comme un nombre réel.
De plus si nous nous ramenons au cercle concentrique de rayon unité, nous voyons que la définition que nous
venons de donner nous conduit à en donner une nouvelle qui sera admise comme définitive :
Un angle de ! rad est un angle qui intercepte un arc de longueur
! unités métriques sur le cercle de rayon unité .
L'argument que nous venons de donner nous intimera de nous référer, en trigonométrie, à des angles rapportés
au cercle de rayon unité que l'on nomme cercle trigonométrique.
Le tableau ci–dessous permet de visualiser la correspondance entre les mesures prises en degré ou en radian :

2
DEGRÉS
0°
30°
45°
60°
90°
180°
360°
RADIANS
0
"
6
"
4
"
3
"
2
"
2·"
Pour effectuer toute transformation de mesure selon l'un des 3 modes énoncés ci–dessus, nous retiendrons que :
!!!!!!(!rad!)!
2·"!!!=!!!!(!deg!)! 360° !!!=!! !!(!grad!)! 400!(!grad!)!!!! , ( cf. C.R.M. p.29 ).
Pour mieux comprendre la notion de radian voici une
illustration de la correspondance entre des arcs du cercle
trigonométrique et la droite réelle.
Nous pouvons concevoir cette correspondance comme un
enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :
nous voyons déjà ici que chaque point de la circonférence
sera recouvert par des points réels qui diffèrent d'un multiple
de 2·", nous dirons que 2·" constitue la période de ce
recouvrement.
Mais nous aurons l'occasion de revenir sur le cercle
trigonométrique dans le chapitre intitulé "fonctions
trigonométriques".
Pour l'heure, concentrons–nous sur le propos de ce chapitre qui,
comme son titre l'indique, a pour objet la trigonométrie dans le
triangle rectangle.
fig.(3)
IR
!
2
2
1
–1
1 radian
2 radian
6 radian
( 0 ; 0 )
( 0 ; 1 )
( –2 ; 0 )
( 0 ; –1 )
!
2
3!
2
0,2813... rad
!
!
3
Étymologiquement, le mot trigonométrie est composé des deux racines grecques
trigonos = à trois angles et metron = mesure ;
en mathématique, la trigonométrie a donc tout naturellement pour objet l'étude des différents rapports de
mesure dans le triangle et les définitions de ces rapports seront données plus
particulièrement dans le triangle rectangle.
§5DÉFINITIONS des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Ayant choisi ! , l'un des deux angles aigus du triangle rectangle, nous distinguerons parmi les deux cathètes
celle qui lui est adjacente ( SA ou SA' ) et celle qui lui est opposée ( AB ou A'B' ), ( cf. fig.(4) ci–dessous ).
Une application immédiate du théorème de Thalès
relatives à deux triangles rectangles semblables nous
conduit à énoncer les proportions suivantes :
!! SA' !!
SA =
!! SB' !!
SB =
!! A'B' !!
AB
S
fig.(4)
AA'
B
B'
!
1
dont il est aisé de déduire les autres proportions que voici et qui, chacune
exprimant un nombre réel, seront désignées par des vocables mémorables , ( cf. C.R.M. p.29 )!:

3
!! A'B' !!
SB' =
!! AB !!
SB = !!cathète!!opposée!!
hypoténuse , ce rapport est appellé sinus de ! et noté sin( ! ) ;
!! SA' !!
SB' =
!! SA !!
SB = !!cathète!!adjacente!!
hypoténuse , rapport appellé cosinus de ! et noté cos( ! ) ;
!! A'B' !!
SA' =
!! AB !!
SA = !!cathète!!opposée!!
cathète!!adjacente , rapport appellé tangente de ! et noté tan( ! ).
Il est important de bien distinguer le vocabulaire propre à la trigonométrie de celui que nous avons énoncé pour
les grandeurs proportionnelles : nous parlons ici de la tangente d'un angle alors que nous parlions de la pente
d'une droite représentative d'affinité.
Ces définitions étant arbitraires, rien ne fait obstacle à en retenir d'autres encore :
!!cathète!!adjacente!!
cathète!!opposée , rapport appellé cotangente de ! et noté cotan( ! ) ,
hypoténuse
cathète adjacente , rapport appellé sécante de ! et noté sec( ! ) ,
hypoténuse
cathète opposée , rapport appellé cosécante de ! et noté cosec( ! ) .
Répétons–le encore, ces 6 rapports trigonomé-triques sont
indépendants des unités de grandeurs d'angles et de côtés,
ce sont des nombres réels.
Les fig.(5) et (6) permettent de visualiser la grandeur
numérique de ces rapports , référée à une cathète unitaire
en fig.(5) ou à une hypoténuse unitaire en fig.(6) ; voir
encore les propriétés du §4 .
!!
1
fig.(6)
1
fig.(5)
sin ( ! )
cos ( ! )
tan( ! )
1 + tan ( ! )
2
§6PREMIERS RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
L'examen attentif du triangle rectangle isocèle et
du triangle équilatéral va nous fournir notre
première table de rapports trigonométriques :
Dans la fig.(7), nous identifions immédiatement
" = 45° = !"!
4 et l'hypoténuse est donnée en
fonction du côté isométrique par d = !2 · c .
Dans la fig.(8) , d = 2·# = 60° = !"!
3 et la hauteur
est donnée en fonction du côté par
h = c · ! !3!
2 .
cd
c
h
!"
#
cc
c
fig.(8)fig.(7)

4
degrés
radians
sin( ! )
cos( ! )
tan( ! )
cotan( ! )
0°
0
0
1
0
···········
30°
!"!
6
!1!
2
! !3!
2
! !3!
3
!3
45°
!"!
4
! !2!
2
! !2!
2
1
1
60°
!"!
3
! !3!
2
!1!
2
!3
! !3!
3
90°
!"!
2
1
0
············
0
( cf. complément à ce tableau C.R.M. p.30 )
§7PROPRIÉTÉS des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Les propriétés des rapports trigonométriques sont nombreuses comme le montrent les énoncés qui sont
répertoriés aux pp. 30 à 32 de la table C.R.M.
Toutes ces formules sont fondées et nous n'en démontrerons qu'une petite partie.
Si ! et " sont les angles aigus d'un triangle rectangle alors ils sont complémentaires, c'est à dire que
! + " =
!"!
2 = 90° $ " = %
&
'
(
)
*
!
!"!
2!!–!!!! .
Des définitions que nous avons données au §5, nous déduisons
immédiatement que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son
complément et que la tangente d'un angle est égale à la cotangente de
son complément
!!sin(!!!)!!=!!cos(!
!"!
2!!–!!!)!!!!=!!cos(!"!)!!
!!tan(!!!)!!=!!cotan(!
!"!
2! –!!!)!!!!=!cotan(!"!)!!
!
"
a
b
c
fig.(9)
Les plus évidentes d'entre elles reposent sur les définitions que nous avons données des rapports
trigonométriques dans un triangle rectangle où le théorème de Pythagore a ses grandes entrées.
1) sin2( ! ) + cos2( ! ) = 1
2) tan( ! ) =
!!sin(!!!)!!
cos(!! )
3) cotan( ! ) = 1
!tan(!!!)!
4) 1 + tan2( ! ) = 1
!cos2(!!!)

5
Les propriétés 2) et la 3) sont évidentes et la 4) résulte de ce que nous avons déjà remarqué au §5, fig. (5).
Nous ne démontrerons donc que la première de ces propriétés, à savoir :
sin2( ! ) + cos2( ! ) = %
&
'
(
)
*
!!a!
c!
2
+ %
&
'
(
)
*
!!b!
c!
2
=
!!a2!!+!!b2!!
c2! = !!c2!! c2! = 1 !
§8RÉCIPROQUES des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Si à tout angle ! nous savons désormais faire correspondre, de façon fonctionnelle, les 4 réels désignés par
les rapports trigonométriques sin( ! ) , cos( ! ) , tan( ! ) et cotan( ! ) , il s'avère capital de reconnaître
réciproquement l'angle, ou l'arc, dont il faut partir pour aboutir à l'un de ces différents rapports.
Ce "retour en arrière" est ce que nous appelons la réciproque d'un rapport et, pour ce qui est des fonctions
trigonométriques, il s'agira de retrouver l'arc associé à un rapport :
sin( ! ) = !a!
c $ arcsin( !a! c ) = !
cos( ! ) = !b!
c $ arccos( !b! c ) = !
tan( ! ) = !a!
b $ arctan( !a! b ) = !
cotan( ! ) = !b!
a $ arccotan( !b! a ) = !
REMARQUE :
Les machines à calculer n'affichent habituellement que les trois premiers de nos rapports, à savoir sin , cos
et tan et désignent leurs réciproques par :
sin –1 , cos –1 et tan –1
mais ce choix de notation est malheureux puisqu'il conduit à une grave confusion entre réciproque et inverse.
Il suffit de s'en souvenir pour ne pas tomber dans le panneau.