TRIGONOMÉTRIE

TRIGONOMÉTRIE
YD.04
§4
MESURES d'ANGLES :
Toute l'approche, que nous allons faire ici, résulte
d'une nouvelle conception de la notion d'angle.
Nous avons défini un angle comme l'intersection de
deux demi–plans. C'est donc un ensemble infini de
points du plan. La mesure d'angle que nous avons
"1
!
admise est celle de degré. Elle permet de comparer un
angle ! donné à un angle plein qui a arbitrairement
été défini par la mesure de 360° pour satisfaire, d'une
"2
part à une aproxi-mation de l'année solaire et d'autre
fig.(1)
part à un simple critère de divisibilité!:
360 ayant 24 diviseurs dont 9 parmi les 10 premiers naturels.
De façon tout aussi arbitraire une autre mesure a été fondée sur le partage de l'angle droit en 100 parties égales,
pour satisfaire plus directement à notre système décimal, il s'agit du grade, en abrégé grad.
Mais aucune de ces deux mesures ne satisfaite pleinement aux exigences de la mathématique .
Ce qui caractérise fondamentalement un angle c'est que pour
tout cercle centré en son sommet, le rapport entre l'arc Li
intercepté et son rayon ri est une constante :
r
Li
!°
!!grad
te
ri = 2·" · 360° = 2·" · 400!grad = c .
!
r
C'est ce rapport métrique ( entre deux mesures de longueur
r3
2
1
L
L2 3
L1
O
conçues dans la même unité ) que nous retiendrons pour
définir une mesure d'angle, le radian , en abrégé rad :
Li
longueur!d'arc
!!!!(!rad!)!!!=!! r !!!=!!!
!!!!!
rayon
fig.(2)
i
Remarquons qu'ainsi mesuré en radians, l'angle ! est conçu comme un nombre réel.
De plus si nous nous ramenons au cercle concentrique de rayon unité, nous voyons que la définition que nous
venons de donner nous conduit à en donner une nouvelle qui sera admise comme définitive :
Un angle de ! rad est un angle qui intercepte un arc de longueur
! unités métriques sur le cercle de rayon unité .
L'argument que nous venons de donner nous intimera de nous référer, en trigonométrie, à des angles rapportés
au cercle de rayon unité que l'on nomme cercle trigonométrique.
Le tableau ci–dessous permet de visualiser la correspondance entre les mesures prises en degré ou en radian :
1
DEGRÉS
0°
30°
45°
60°
90°
180°
360°
RADIANS
0
"
"
"
"
6
4
3
2
"
2·"
Pour effectuer toute transformation de mesure selon l'un des 3 modes énoncés ci–dessus, nous retiendrons que :
!!(!rad!)!
!!(!deg!)!
!!(!grad!)!
!!!! 2·" !!!=!! 360° !!!=!!400!(!grad!)!!!! , ( cf. C.R.M. p.29 ).
IR
Pour mieux comprendre la notion de radian voici une
illustration de la correspondance entre des arcs du cercle
trigonométrique et la droite réelle.
Nous pouvons concevoir cette correspondance comme un
enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :
nous voyons déjà ici que chaque point de la circonférence
sera recouvert par des points réels qui diffèrent d'un multiple
de 2·", nous dirons que 2·" constitue la période de ce
recouvrement.
!
fig.(3)
3
2
!
2
(0;1)
ian
( –2 ; 0 )
2
ad
dian
!
1r
2 ra
Mais nous aurons l'occasion de revenir sur le cercle
trigonométrique dans le chapitre intitulé "f onc ti ons
trigonométriques".
1
!
6 rad
Pour l'heure, concentrons–nous sur le propos de ce chapitre qui,
ian
3!
2
comme son titre l'indique, a pour objet la trigonométrie dans le
triangle rectangle.
(0;0)
0,2813... rad
–1
( 0 ; –1 )
Étymologiquement, le mot trigonométrie est composé des deux racines grecques
trigonos = à trois angles
et
metron = mesure ;
en mathématique, la trigonométrie a donc tout naturellement pour objet l'étude des différents rapports de
mesure dans le triangle et les définitions de ces rapports seront données plus
particulièrement dans le triangle rectangle.
§5
DÉFINITIONS des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Ayant choisi ! , l'un des deux angles aigus du triangle rectangle, nous distinguerons parmi les deux cathètes
celle qui lui est adjacente ( SA ou SA' ) et celle qui lui est opposée ( AB ou A'B' ), ( cf. fig.(4) ci–dessous ).
Une application immédiate du théorème de Thalès
B'
relatives à deux triangles rectangles semblables nous
fig.(4)
conduit à énoncer les proportions suivantes :
!! SA' !!
SA
=
!! SB' !!
SB
=
B
!! A'B' !!
S
AB
!
1
dont il est aisé de déduire les autres proportions que voici et qui, chacune
exprimant un nombre réel, seront désignées par des vocables mémorables , ( cf. C.R.M. p.29 )!:
2
A
A'
!! A'B' !!
=
SB'
!! SA' !!
=
SB'
!! A'B' !!
SA'
=
!! AB !!
SB
!! SA !!
SB
!!cathète!!opposée!!
hypoténuse
=
=
!! AB !!
SA
, ce rapport est appellé sinus de ! et noté sin( ! ) ;
!!cathète!!adjacente!!
, rapport appellé cosinus de ! et noté cos( ! ) ;
hypoténuse
!!cathète!!opposée!!
= cathète!!adjacente
, rapport appellé tangente de ! et noté tan( ! ).
Il est important de bien distinguer le vocabulaire propre à la trigonométrie de celui que nous avons énoncé pour
les grandeurs proportionnelles : nous parlons ici de la tangente d'un angle alors que nous parlions de la pente
d'une droite représentative d'affinité.
Ces définitions étant arbitraires, rien ne fait obstacle à en retenir d'autres encore :
!!cathète!!adjacente!!
cathète!!opposée
, rapport appellé cotangente de ! et noté cotan( ! ) ,
hypoténuse
cathète adjacente
, rapport appellé sécante de ! et noté sec( ! ) ,
hypoténuse
cathète opposée
, rapport appellé cosécante de ! et noté cosec( ! ) .
fig.(5)
fig.(6)
!
2
tan
1+
encore les propriétés du §4 .
§6
1
1
)
Les fig.(5) et (6) permettent de visualiser la grandeur
numérique de ces rapports , référée à une cathète unitaire
en fig.(5) ou à une hypoténuse unitaire en fig.(6) ; voir
(!
(!
)
!
cos
Répétons–le encore, ces 6 rapports trigonomé-triques sont
indépendants des unités de grandeurs d'angles et de côtés,
ce sont des nombres réels.
(
sin
tan( ! )
!)
PREMIERS RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
L'examen attentif du triangle rectangle isocèle et
du triangle équilatéral va nous fournir notre
première table de rapports trigonométriques :
Dans la fig.(7), nous identifions immédiatement
!"!
" = 45° = 4
et l'hypoténuse est donnée en
fig.(7)
fig.(8)
#
c
fonction du côté isométrique par d = !2 · c .
!"!
Dans la fig.(8) , d = 2·# = 60° = 3 et la hauteur
d
c
est donnée en fonction du côté par
! !3!
h=c· 2 .
3
c
!
h
"
c
c
degrés
radians
sin( ! )
cos( ! )
tan( ! )
cotan( ! )
0°
0
0
1
0
···········
30°
!"!
6
!1!
2
! !3!
2
! !3!
3
!3
45°
!"!
4
! !2!
2
! !2!
2
1
1
60°
!"!
3
! !3!
2
!1!
2
!3
! !3!
3
90°
!"!
2
1
············
0
0
( cf. complément à ce tableau C.R.M. p.30 )
§7
PROPRIÉTÉS des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Les propriétés des rapports trigonométriques sont nombreuses comme le montrent les énoncés qui sont
répertoriés aux pp. 30 à 32 de la table C.R.M.
Toutes ces formules sont fondées et nous n'en démontrerons qu'une petite partie.
Si ! et " sont les angles aigus d'un triangle rectangle alors ils sont complémentaires, c'est à dire que
!"!
! + " = 2 = 90°
$
' !"!
*
" = &%! 2 !!–!!!!)(
Des définitions que nous avons données au §5 , nous déduisons
immédiatement que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son
complément et que la tangente d'un angle est égale à la cotangente de
son complément
.
fig.(9)
"
c
!"!
!!sin(!!!)!!=!!cos(! 2 !!–!!!)!!!!=!!cos(!"!)!!
a
!
b
!"!
!!tan(!!!)!!=!!cotan(! 2 ! –!!!)!!!!=!cotan(!"!)!!
Les plus évidentes d'entre elles reposent sur les définitions que nous avons données des rapports
trigonométriques dans un triangle rectangle où le théorème de Pythagore a ses grandes entrées.
2
2
1)
sin ( ! ) + cos ( ! ) = 1
2)
tan( ! ) =
3)
1
cotan( ! ) = !tan(!!!)!
4)
1 + tan ( ! ) =
2
!!sin(!!!)!!
cos(!! )
1
2
!cos (!!!)
4
Les propriétés 2) et la 3) sont évidentes et la 4) résulte de ce que nous avons déjà remarqué au §5, fig. (5).
Nous ne démontrerons donc que la première de ces propriétés, à savoir :
2
2
2
!!a !!+!!b !!
!!c !!
2
2
' !a! *2
' !b! *2
sin ( ! ) + cos ( ! ) = &! c !) + &! c !) =
! = 2 ! = 1
2
% (
%
(
c
c
§8
!
RÉCIPROQUES des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
Si à tout angle ! nous savons désormais faire correspondre, de façon fonctionnelle, les 4 réels désignés par
les rapports trigonométriques sin( ! ) , cos( ! ) , tan( ! ) et cotan( ! ) , il s'avère capital de reconnaître
réciproquement l'angle, ou l'arc, dont il faut partir pour aboutir à l'un de ces différents rapports.
Ce "retour en arrière" est ce que nous appelons la réciproque d'un rapport et, pour ce qui est des fonctions
trigonométriques, il s'agira de retrouver l'arc associé à un rapport :
!a!
sin( ! ) = c
$
!a!
arcsin( c ) = !
!b!
cos( ! ) = c
$
!b!
arccos( c ) = !
!a!
tan( ! ) = b
$
!a!
arctan( b ) = !
!b!
cotan( ! ) = a
$
!b!
arccotan( a ) = !
REMARQUE :
Les machines à calculer n'affichent habituellement que les trois premiers de nos rapports, à savoir sin , cos
et tan et désignent leurs réciproques par :
–1
–1
–1
sin , cos
et tan
mais ce choix de notation est malheureux puisqu'il conduit à une grave confusion entre réciproque et inverse.
Il suffit de s'en souvenir pour ne pas tomber dans le panneau.
5
§9
RÉSOLUTION des TRIANGLES RECTANGLES :
( cf. fig. (9) ci-dessus )
1) Donné un angle aigu et l'hypoténuse ( ! ; c ) , trouver ( a ; b ; " ) :
" =
!"!
2 –!
a = c · sin( ! )
b = c · cos( ! )
2) Donné une cathète et l'hypoténuse ( a ; c ) , trouver ( b ; ! ; " ) :
b =
2
!"!
!a!
" = arccos( c ) = 2 – !
!a!
! = arcsin( c )
2
!c !!–!!a !
3) Donné les deux cathètes ( a ; b ) , trouver ( c ; ! ; " ) :
c =
2
!"!
!a!
" = arccotan( b ) = 2 – !
!a!
! = arctan( b )
2
!!a !!+!!b !!
4) Donné un angle aigu et la cathète opposée ( a ; ! ) , trouver ( b ; c ; " ) :
!a!
b = !tan(!!!)!
§10
!"!
" = 2 –! .
!a!
c = !sin(!!!)!
CONSTRUCTION d' ANGLES :
Pour construire un angle ! donné , on peut recourir profitablement aux rapports trigonométriques :
1) Il est aisé, à partir de tan( ! ), de recourir à la construction relative à la pente d'une droite. Il suffit de
transformer le réel tan( ! ) par une approximation rationnelle, aussi précise que désirée, le numérateur
correspondant à la dénivellation et le numérateur à la distance horizontale.
2) La fig.(10) illustre la construction qu'il faut suivre si l'on part de la connaissance de cos( ! ). On transforme
le réel cos( ! ) par une approximation rationnelle, aussi précise que désirée, le numérateur correspondant à
la cathète adjacente b et le numérateur à l'hypoténuse c , pour laquelle on trace le cercle de rayon c qui
intersecte la perpendiculaire à b en B.
3) La fig. (11) illustre la construction à suivre à partir de la connaissance de sin( ! ).
Après avoir transformé le réel sin( ! ) par une approximation rationnelle, aussi précise que désirée, le
numérateur correspondant à la cathète opposée a et le numérateur à l'hypoténuse c , pour laquelle on trace
le cercle de rayon c qui intersecte la perpendiculaire à a en A.
B
fig.(11)
fig.(10)
c
B
a
c
!
A
a
b
C
!
A
6
b
C
EXTENSION de DÉFINITION des RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES :
( cf. C.R.M. p. 29 )
Les rapports trigonométriques que nous nous sommes donnés se réfèrent au triangle rectangle et donc se
!"!
limitent à des angles compris entre 0 et 2 .
Dès lors que nous voulons résoudre un triangle quelconque, nous sommes vite confrontés au problème
d'angles obtus pour lesquels nous ne disposons d'aucune définition.
Comme nous l'allons voir, la trigonométrie peut s'étendre à tous les triangles pour autant que nous
convenions de redéfinir convenablement l'ensemble des rapports trigonométriques.
L'idée maîtresse vient de ce que nous conviendrons de désigner par triangle rectangle associé à un angle !
donné. Plus particulièrement, comme nous l'avons vu lors de la définition du radian, nous nous référerons à
un cercle de rayon unité.
Ainsi, si comme le montrent les fig.(10) et (11) ci–dessous, nous associons clairement le triangle rectangle
OPX à l'angle ! , nous voyons que nos différents rapports trigonométriques ont des valeurs réelles qui
peuvent être distinctement représentées de la façon suivante :
sin( ! ) = OY
,
cos( ! ) = OX
S
A
( –1 ; 0 )
B
axe des cotangentes
Y
!
X
fig.(12)
fig.(13)
axe des tangentes
diamètre des cosinus O
(1;0)
axe des tangentes
X
cotan( ! ) = BS
T
!
diamètre des sinus
O
et
P
P
Y
( –1 ; 0 )
tan( ! ) = AT
S
axe des cotangentes B
diamètre des cosinus
,
diamètre des sinus
§11
(1;0)
T
Ces nouvelles acceptions admises, il nous faut encore faire montre de prudence en constatant que
!"!
si 0 # ! # 2 , alors ! et ( " – ! ) sont supplémentaires et :
sin( " – ! ) = sin( ! )
cos( " – ! ) = – cos( ! )
tan( " – ! ) = – tan( ! )
cotan( " – ! ) = – cotan( ! )
de sorte que
!!!!!si!!!!!!!!sin!(!!!)!!=!!+!!!!!!!alors!!!!!!!arcsin!(!+!)!=!!!!!!!!!ou!!!!!!arcsin!(!+!)!=!!(!!"!!–!!!!)!!!!!
Les autres rapports trigonométriques cos , tan et cotan ne prétent à aucune confusion puisqu'il y a
clairement opposition pour les arguments ! et ( " – ! ) .
7
§12
THÉORÈME des SINUS :
( cf. C.R.M. p.32 )
Dans tout triangle scalène abc , les côtés sont proportionnels aux sinus des angles
opposés et plus particulièrement :
a
b
c
!!!sin(!!!)!!!=!!!sin(!"!)!!!=!!!sin(!#!)!!=!!2·R
où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle abc .
démonstration :
Nous nous limiterons à démontrer que
a
!sin!!(!!!)! = 2·R .
Dans ABC , traçons la médiatrice de BC qui passe par le
A
!
centre O du cercle circonscrit et l'intersecte en D .
c
b
Nous vérifions que
R
1
,COD = ,CAB = 2 · ,COB = ! ;
C
a
2
ceci, car l'arc CD est moitié de l'arc CB, par construction
de la médiatrice, cet arc CB sous–tendant l'angle ,CAB =
O
!
B
I
D
fig.(14)
!. Dès lors, il suffit de se référer au triangle COI, rectangle
en I pour définir
sin( ! ) =
§13
!a!
! 2 !!
a
= ! R ! = !2!·!R!
CO
! CI !
THÉORÈME du COSINUS :
a
!sin(!!!)! = 2 · R
$
!
( voir Pythagore généralisé et C.R.M. p.32 )
Dans tout triangle scalène abc , le carré de la mesure d'un côté est égale à la somme
des carrés des deux autres côtés , diminuée du double produit de ces deux derniers
côtés par le cosinus de l'angle qui est compris entre eux deux :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a = b + c – 2·b·c·cos( ! )
b = a + c – 2·a·c·cos( " )
c = a + b – 2·a·b·cos( # )
démonstration :
Les trois formules étant équivalentes par rotation de leurs dénominations, nous ne démon-trerons que la
première de ces trois relations.
Par le théorème de Pythagore généralisé, cf. §3.1) du chapitre sur les théorèmes fondamentaux de géométrie
élémentaire, nous savons que si x et y sont les projections respectives de a et b sur c alors :
2
2
2
et
2
2
2
et
a = b + c – 2· c · y
a = b + c + 2· c · y
2
b =
2
2
a + c – 2· c · x
2
2
b =
2
a + c + 2· c · x
' y *
Or cos( ! ) = + ou – &%!!b!!)( , selon que ! est aigu ou obtus.
8
, si
, si
abc est acutangle
;
abc est obtusangle .
!
§14
PRÉCAUTIONS :
1
P
Résoudre un triangle c'est en calculer les mesures de côtés, des
2
P
1
y
angles et de l'aire. Il est important de relever ici les précautions à
"#!
prendre dans l'interprétation des résultats machine lors de
!
#!
l'identification des angles.
x
1
Tout angle d'un triangle doit être compris dans l'intervalle ] 0 ; " [
( = ] 0 ; 180° [ ). Or des deux déterminations ! et ( " – ! )
fig.(15)
possibles dans cet intervalle, la fonction arcsinus privilégie sa
!"!
détermination principale comprise dans le premier quadran ] 0 ; 2 [ , pour jouir de toutes les propriétés
fonctionnelles.
!"! !"!
!" ] – 2 ; 2 [ identifiera
arcsin ( y ) : [ – 1 ; 1 ] !!
toujours un angle ! aigu plutôt qu'obtus, ce que nous ne saurions exclure d'emblée, lors de la résolution
Ce qui est donc dire que, sur nos machines,
d'un triangle quelconque.
§15
RÉSOLUTION du TRIANGLE QUELCONQUE :
fig.(16)
A
fig.(17)
A
!
A
b
b
c
c
"
#
B
a
B
!
b
"
"
#
a
C
fig.(18)
C
C
c
#
a
B
Dans toutes les configurations suivantes nous omettrons le présent calcul d'aire :
A =
15.1
!1!
2 ·
CONFIGURATION
!1!
!1!
a · b · sin( # ) = 2 · a · c · sin( " ) = 2 · b · c · sin( ! ) .
CCC ,
où les trois côtés sont connus :
( cf. fig (16) )
La solution est unique à symétrie près.
' b 2 + c 2 – a2 *
) , puis
, on déduit ! = arccos&%
2·b·c (
Du thm. du cosinus : a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos( ! )
15.2
• "
' a 2 + c2 – b 2
= arccos&%
2 · a!·!c
• "
= "1
*
)
(
'
& b!· sin( ! )
= arcsin%
a
CONFIGURATION
ACA
et
# = " –!( ! + " ) , ou selon le thm. des sinus :
*
)
(
ou " = "2
= " – "1
et " –!( ! + " ) ( cf. § 11 ci-dessus )
où sont connus un côté et deux angles : ( cf. fig (17) )
La solution est unique à symétrie près car, en effet, la donnée de deux angles implique la connaissance des
trois et ceci signifie qu'en tous ces cas on peut supposer connus un côté et ses deux angles adjacents.
Du thm. des sinus :
!sin(!"!)!
b = a · sin(!!!)
!sin(!#!)!
c = a · sin(!!!) .
et
9
15.3
CAC
CONFIGURATION
où sont connus un angle et ses 2 côtés adjacents : ( cf. fig (18) )
La solution est unique et repose directement sur le thm. du cosinus, puis sur 15.1 .
15.4
CONFIGURATION
ACC
où sont connus un angle et 2 côtés dont l'un est adjacent à l'angle :
B
X
c1
Y
c2
!2
A
b
a
a
!
a
H
a
"2
#
!1
H
!1
c
A
"1
C
#
b
a
"
C
a
fig.(19)
fig.(20)
Conformément à la ci-dessus, nous supposerons connus ( a ; b ; ! ) et nous devrons distinguer selon les cas :
•
!"!
si ! $ 2
, la solution est unique à symétrie près.
•
!"!
si ! < 2
et a = HC = b · sin( ! ) , le triangle est rectangle et unique.
•
!"!
si ! < 2
et a < HC = b · sin( ! ) , le triangle est inconstructible.
•
!"!
si ! < 2
et b < a , la solution est unique à symétrie près , ( cf. fig. ( 20) )
•
!"!
si ! < 2
et b > a > HC = b · sin( ! ) , la solution est double à symétrie près .
( *)
(**)
Dans tous les cas exceptés (*) et (**) , nous commencerons par :
'
*
& b!·!sin(!!!)!! )
" = arcsin%
!!( , puis procéderons comme en 15.2 .
a
Dans les seuls cas de solution double , nous devrons poser :
'
*
& b!·!sin(!!!)!! )
"1 = arcsin%
!!(
et "2 = " – "1 , dont on déduira #k = " –!( ! + "k) k-{1;2},
a
puis
'
!sin(!#k!)! *
ck = &% a!·! sin(!!!) !!)( k-{1;2}.
Remarquons que, pour simplifier l'examen de tous ces tests quand il existe au moins deux solutions, l'existence
d'une solution double ne s'avère possible que si
"1!>!!!
confirme le calcul #2 = " –!( ! + "2 ) = "1 – ! .
10
, ce qu'illustre assez clairement la fig. (20) et que
THÉORÈME d'ADDITION des ARCS :
( cf. C.R.M. p.30 )
Donnés deux arcs ( ou angles ) ! et " leur somme vérifie :
sin ( ! + " ) = sin ( ! ) · cos ( " ) + cos ( ! ) · sin ( " )
cos ( ! + " ) = cos ( ! ) · cos ( " ) – sin ( ! ) · sin ( " )
démonstration :
Construisons comme le montrent les fig. (15) et (16) ci–dessous , deux triangles contigus ABC et ACD
avec AC = 1 , ,BAC = ! et ,CAD = " , de sorte que ,BAD = ! + " .
De plus, soit E le pied de la perpendiculaire à AB issue de D et
F celui de la perpendiculaire à DE issue de C.
Comme
AC = 1 , alors , cf. § 4 :
D
D
fig.(21)
tan
(")
"
F
1
C
F
C
!
sin (")
"+
!
fig.(22)
1
§16
!
"
A
cos (")
E
B
E
AB = cos( ! ) , BC = sin( ! ) , CD = tan( " )
"
A
B
1
AD = !cos(!"!)! .
et
Leurs côtés étant perpendiculaires entre eux, nous avons ABC .
/ DFC et donc
sin( ! ) =
! CF !
! CF !
! = tan(!"!)!
CD
et de même
cos( ! ) =
DF
CD
! DF !
= tan(!"!)!
Dans AED qui est rectangle, nous avons :
sin( ! + " ) =
0
De même :
sin( ! + " ) = sin( ! ) · cos( " ) + cos( ! ) · sin( " )
cos( ! + " ) =
0
! DE !
! DF !!+!! BC !
!!cos(!!!)!·!tan(!"!)!!!+!!!sin(!!!)!!
! =
! =
!
1
AD
AD
!!
cos(!"!)
! AE !
! AB !!–!! CF !
!!cos(!!!)!!–!!sin(!!!)!·!tan(!"!)
! =
! =
1
AD
AD
!!cos(!"!)!!!
cos( ! + " ) = cos( ! ) · cos( " ) – sin( ! ) · sin( " )
11
!
16.2
COROLLAIRE :
tan( ! + " ) =
tan(!!!)!!+!tan(!"!)!
!!!
! 1!!–!!tan(!!!)!·!tan(!"!)!
la démonstration tient compte du théorème précédent et de la propriété :
!!sin(!!!+!"!)!!
tan( ! + " ) = cos(!!!+!b!) =
!!sin(!!!)!·!cos(!"!)!!+!!sin(!"!)!·!cos(!!!)!!
= ...
!cos(!!!)!·!cos(!"!)!!–!!sin(!!!)!·!sin(!"!)! !
et de l'astuce suivante , d'une subtile multiplication unitaire :
0
0
!!sin(!!!)!·!cos(!"!)!!+!!sin(!"!)!·!cos(!!!)!!
!!!!
!!!!
!cos(!!!)!·!cos(!"!)!
tan( ! + " ) =
=
!cos(!!!)!·!cos(!"!)!!–!!sin(!!!)!·!sin(!"!)!!!!
!
!
!cos(!!!)!·!cos(!"!)
tan( ! + " ) =
!sin(!!!)!
sin(!"!)!
!!!!cos(!!!)!!!!+!!cos(!"!)!!!!
tan(!!!)!+!tan(!"!)!
!!sin(!!!)!·!sin(!"!)!! = !!1!–!tan(!!!)!·!tan(!"!)!!
!!!1!!–!!!! cos(!!!)!·!cos(!"!) !!!!
!
de toutes ces propriétés, peuvent s'en déduire d'autres par simple induction additive :
16.3
COROLLAIRES ( double d'un arc et différence d’arcs ) :
( cf. C.R.M. p.30 et 31 )
1)
sin( 2·! ) = 2·sin( ! ) · cos( ! )
2)
cos( 2·! ) = cos ( ! ) – sin ( ! ) = 1 – 2·sin ( ! ) = 2·cos ( ! ) – 1
3)
tan( 2·! ) =
4)
sin( ! – " ) = sin( ! ) · cos( " ) – cos( ! ) · sin( " )
5)
cos( ! – " ) = cos( ! ) · cos( " ) + sin( ! ) · sin( " )
6)
tan( ! – " ) =
2
2
2
2
!!!2·tan(!! )!!!
2
1!–!tan (!!!)
tan(!!!)!!–!tan(!"!)!
!!1!!+!!tan(!!!)!·!tan(!"!)!!!
les démonstrations sont laissées en exercices
REMARQUES :
de la formule 2) précédente, nous pouvons aisément déduire un ensemble de formules de transformations
relatives à un arc et sa moitié ( cf. C.R.M. p.31 )
:
!1!–!!cos(!!!)!
2!' !!! *
!!!!sin &%! 2 !)(!!!=!!!
!
2
et
!1!+!cos(!!!)!
2' !!! *
!!!!cos &%! 2 !)(!!=!!
!!!
2
!!sin(!!!)
De ces deux formules, et tenant compte de ce que tan( ! ) = cos(!!!) , nous avons encore :
12
!1!–!cos(!!!)!!
2' !!! *
!!!!tan &! 2 !)!!!=!!!
!!! , dont on peut encore extraire la racine de l'une ou l'autre des
%
(
1!!+!!cos(!!!)
façons suivantes :
2
' !sin(!!!)! *2
!!! * !1!–!cos(!!!)!! !1!+!cos!(!!!)!!
!1!–!!cos (!!!)!!
&
)
tan &! 2 !) =
·
=
2 = %!!!1!+!cos(!!!)!(
%
(
1!+!cos(!!!)
1!+!cos(!!!)
(!1!+!cos(!!!)!) !
2'
$
!sin(!!!)!
' !!! *
!!!tan!&%! 2 !)(!!=!!!!1!+!cos(!!!)!!!!! .
Et de même :
!1!!–!cos(!!!)!!
!1!–!cos(!!!)!
!(!1!–!cos!(!!!)!)2!
' !!! *
' !1!–!cos(!!!)!!*2
tan2&%! 2 !)( = 1!!+!!cos(!!!) · 1!–!cos(!!!) =
= &!! sin(!!!) )
2
%
(
!1!!–!!cos (!!!)!
$
!1!–!cos(!!!)!
' !!! *
!!!tan&%! 2 !)(!!=!! sin(!!!) !! .
13
, ( cf. C.R.M. p.30 ).
§17
TABLEAU de VALEURS TRIGONOMÉTRIQUES :
x
0°
0
sin( x )
cos( x )
tan( x )
0
1
0
1+ 5–
9°
"
20
! !8!–!2· !20!+!2 5!!
4
! !8!+!2· !20!+!2 5!!
4
"
2
90°
9·"
20
81°
1
2!+ 3
5·"
12
75°
1
72°
5!+!2 5!
2·"
5
1
2!+1
3·"
8
67,5°
7·"
20
63°
"
3
60°
3·"
10
54°
"
4
45°
5!+!2 5! =
!(2 2!–! 5!+ 5)· 3!+ 5!
=
4
1
1!+! 5!+! 5!+!2 5!!
15°
"
12
18°
"
10
22,5° "
8
6!–! 2
! 2!–! 3!
=
4
2
6!+! 2
! 2!+! 3!
=
4
2
! 5!–!1!
4
! !10!+!2 5!!
4
! !2!–! 2!!!
2
! !2!+! 2!!!
2
2– 3 =
25!–!10 5
=
5
2–1 =
–1 + 5 –
27° 3·"
20
! !8!–!2· !20!–!2 5!!
4
! !8!+!2· !20!–!2 5!!
4
5!–!2 5! =
!(2 2!–! 5!– 5)· 3!– 5!
=
4
1
5!–!1!+! 5!–!2 5!!
30°
"
6
1
2
3!
2
36°
"
5
! !10!–!2 5!!!
4
!1!+! 5!
4
45°
"
4
2
2
2
2
1
cos( y )
sin( y )
cotan( y )
3!
3 =
14
1
3
5
!5!–!2 5!! =
!25!+!10 5!!
"
y=2–x=
y = 90°– x
17.1
Quelques JUSTIFICATIONS du tableau précédent :
"
, on peut se référer aux transformations
12
Pour le calcule des rapports trigonométriques de l’angle ! = 15° =
!1!–!cos(!!!)!
2
sin2( ! ) =
cos2( ! ) =
,
!1!+!cos(!!!)!
2
!1!–!cos(!!!)!
et sin2( ! ) = 1!+!cos(!!!)
On peut aussi recourir simplement à l’étude de la figure ci-dessous. On symétrise le triangle rectangle OCB de
15° et d’hypoténuse 1. On trace la hauteur [BD] de OBB’.
En notant c = cos(15°) et s = sin(15°) , la similitude des triangles OCB et BDB’ conduit à!:
1
!2!
c
cos(15°) = 1 = !2·s!
2
$
4·c·s = 1
1
s = 4·c
$
B
1
2
Sachant que s = 1 – c , nous obtenons
1
s = 1 – c = 16·c2
2
2
$
C
2
et
4
1/2
s
1
!2!+! 3!
4
s
c
16·c – 16·c + 1 = 0
Comme par construction c > s et
nous choisissons c2 =
15°
15°
O
4
60°
D
75°
B'
2
16·s – 16·s + 1 = 0
s2 =
!2!–! 3!
.
4
A tribute to Michel Kühne!:
Pour le calcule des rapports trigonométriques de l’angle
C'
"
! = 18° = 10 , on symétrise le triangle rectangle OCB de 18° et
D
54°
s 36°
d’hypoténuse 1, une fois selon son grand cathète et l’autre fois
1
18°
18°
18°
On complète cette double symétrisation par le triangle BC’D.
Par construction, OB’D est isocèle et conséquemment y + 2·s = 1 ,
O
c = cos(18°) et s = sin(18°) comme précédemment.
s
c
et
B'
y+s
x
sin(36°) = c+x = y
(1–2·s)·(1–s) = c·x + x2
$
s·(1–s) = c·x
0
' s·(1–s) *2
s2·(1–s)2
(1–2·s)·(1–s) = s·(1–s) + &%!! c !)( = s·(1–s) +
1–s2
0
s2
(1–2·s) = s + 1+s
et
$
Sachant s > 0 , nous aurons s =
4·s2 + 2·s – 1 = 0
! 5!–!1!
4
,
c=
$
s=
! 10!+!2 5!
4
soit après réduction!:
!–!1!±! 5!
.
4
et
tan(18°) =
Les rapports trigonométriques relatifs à l’angle de 36° s’en déduisent aisément.
15
C
s
1
La similitude des triangles OCD et BC’D conduit à!:
y+s
x
tan(36°) = c = s
y
72° B
72°
c
selon son hypoténuse.
où
x
! 25–10 5!
.
5