fonctions - XMaths

FONCTIONS
I Généralités sur les fonctions
Définitions
Soit D une partie de l'ensemble IR.
On définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel x de D, un réel et un seul noté f(x) et que
l'on appelle l'image de x par f.
La fonction est notée f : D →IR
x ֏f(x)
L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f.
On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble (C) des points M de
coordonnées (x ; f(x)) avec x ∈ D
L'équation y = f(x) est appelée équation de (C).
Remarque
• Pour x ∈ D, on sait que x a une image et
une seule par f.
La représentation graphique de f a donc
un et un seul point d'abscisse x.
f(x)
• Si l'ensemble de définition d'une fonction
n'est pas indiqué, il est convenu que cet
ensemble de définition est le plus grand
ensemble sur lequel f(x) existe.
Par exemple la fonction f définie par
f(x) = 1 est définie sur IR* c'est-à-dire
x
sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
Exercice 01
x
O
x
O
ne représente
pas une
fonction
représente
une
fonction
(voir réponses et correction)
Parmi les courbes ci-dessous, indiquer celles qui peuvent représenter une fonction.
y
y
courbe 1
y
y
courbe 3
courbe 2
x
O
O
x
O
x
x
O
courbe 4
Remarque
• Si x et y sont deux réels tels que y = f(x), alors
y est l'image de x par la fonction f.
x est un antécédent de y par la fonction f.
• Par une fonction f, un réel x ne peut pas avoir plusieurs images, mais un réel y peut avoir plusieurs
antécédents.
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Exercice 02
(voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie par f(x) =
1
x2 + 1
1°) Justifier que f est définie sur IR.
2°) Donner les images par f de 3 ; 0 ; 1 ; -3.
2
1
3°) Les nombres 2 ; 0 ; ont-ils des antécédents par f ? Si oui déterminer ces antécédents.
2
Exercice 03
(voir réponses et correction)
( voir animation )
On considère la fonction f dont la courbe est donnée par
le graphique ci-contre ou par l'animation.
Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
f(x)
-5
x
f(x)
1
-4
-3
-2
-1
6
5
0
4
3
Exercice 04
2
3
4
5
6
2
1
(voir réponses et correction)
-5
-4
On considère la fonction f dont la courbe est donnée par
le graphique ci-contre ou par l'animation de l'exercice 3.
1°) Donner les valeurs de f(-3) ; f(0) ; f(2)
-3
-2
-1 O
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-3
2°) Donner les antécédents par f de :
0 ; 2 ; - 10 ; - 2
-4
3°) Résoudre les équations f(x) = 1 ; f(x) = - 12
4°) Quel est le minimum de f sur [-5 ; 6] ?
En quelle valeur ce minimum est-il atteint ?
Quel est le maximum de f sur [-5 ; 6] ?
En quelle valeur ce maximum est-il atteint ?
-5
-6
-7
-8
-9
Exercice 05
(voir réponses et correction)
On considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-dessus ou par l'animation de
l'exercice 3.
1°) Compléter :
f est décroissante sur …………………………
f est croissante sur ……………………………
Dresser le tableau de variations de f.
2°) Donner l'ensemble des solutions de chacune des inéquations suivantes : f(x) £ 0 ; f(x) ³ 1
3°) Compléter les propositions suivantes :
Si 5 £ x £ 6 alors
£ f(x) £
Si -3 £ x £ 3 alors
£ f(x) £
Exercice 06
(voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie par f(x) = 3x - 1 (f est une fonction homographique)
2x + 4
1°) Quel est l'ensemble de définition D de f ?
2°) Donner les images par f de 0 ; 1 ; - 3.
3°) Les nombres 1 ; 0 ; 3 ont-ils des antécédents par f ? Si oui déterminer ces antécédents.
2
4°) a) Justifier que pour tout x ∈ D, on a : f(x) = 3 - 7
2 2x + 4
b) En déduire que pour tout x > - 2 on a f(x) < 3 .
2
c) Préciser la position de la courbe de f par rapport à la droite d'équation y = 3 .
2
d) Vérifier en utilisant une calculatrice ou un ordinateur.
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Définition
• On dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I, si
pour tout a et pour tout b de I tels que a £ b on a f(a) £ f(b)
(On dira que f est strictement croissante si on a la même propriété
avec des inégalités strictes)
• On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I, si
pour tout a et pour tout b de I tels que a £ b on a f(a) ³ f(b)
(On dira que f est strictement décroissante si on a la même
propriété avec des inégalités strictes)
f(b)
f(a)
fonction
croissante
a
b
f(a)
fonction
décroissante
f(b)
a
Remarque
b
Une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre.
Une fonction décroissante est une fonction qui inverse l'ordre.
Si une fonction f est croissante sur un intervalle I ou décroissante sur I, on dit que f est monotone sur I.
Exercice 07
(voir réponses et correction)
a et b sont deux réels.
1°) Démontrer, en utilisant des inégalités que l'on justifiera soigneusement, que
si a < b alors - 3a + 4 > - 3b + 4
Que peut-on en déduire pour la fonction f définie par f(x) = - 3x + 4 ?
2°) De la même façon justifier le sens de variation de la fonction g définie par g(x) = 2x - 5.
II Fonction carré - Fonction inverse - Fonctions affines
Exercice 08
(voir réponses et correction)
1°) Soient a et b deux réels dans [0 ; +∞[ tels que a < b .
Factoriser a2 - b2.
Sachant que a < b que peut-on dire du signe de a - b ?
Sachant que a et b sont dans [0 ; +∞[, que peut-on dire du signe de a + b ?
En déduire que a2 - b2 < 0.
Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction carré sur [0 ; +∞[.
2°) En raisonnant comme dans le 1°), déterminer le sens de variation de la fonction carré sur ]-∞ ; 0].
3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction carré et vérifier le sens de variation
trouvé.
Fonction carré
La fonction carré est définie par f : IR →IR
x ֏f(x) = x2
La fonction carré est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0].
La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Son tableau de variations est :
x
-∞
0
+∞
f(x) = x2
0
La fonction carré est une fonction paire c'est-à-dire que pour
tout réel x on a : f(-x) = f(x).
La courbe de la fonction carré, donnée ci-contre, a pour axe
de symétrie l'axe des ordonnées.
La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole.
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Exercice 09
(voir réponses et correction)
1°) Soient a et b deux réels dans ]0 ; +∞[ tels que a < b .
Justifier que 1 - 1 = b - a
a b
ab
Sachant que a < b que peut on dire du signe de b - a ?
Sachant que a et b sont dans ]0 ; +∞[, que peut on dire du signe de ab ?
En déduire que b - a > 0.
ab
Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[.
2°) En raisonnant comme dans le 1°), déterminer le sens de variation de la fonction inverse sur ]-∞ ; 0[.
3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction inverse et vérifier le sens de
variation trouvé.
Fonction inverse
La fonction inverse est définie par f : IR* →IR
x ֏f(x) = 1
x
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[.
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
Son tableau de variations est :
x
-∞
0
+∞
f(x) = 1
x
La fonction inverse est une fonction impaire c'est-à-dire que
pour tout réel x non nul on a : f(-x) = -f(x).
La courbe de la fonction inverse, donnée ci-contre, a pour
centre de symétrie le point O, origine du repère.
La courbe de la fonction inverse s'appelle une hyperbole.
Exercice 10
(voir réponses et correction)
1°) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 3x - 4.
Soient a et b deux réels tels que a < b .
Étudier le signe de f(a) - f(b) et en déduire le sens de variation de la fonction f.
2°) Même question avec la fonction g définie sur IR par g(x) = -2x + 3.
3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer les courbes représentatives des fonctions f et g et vérifier
les résultats des questions précédentes.
Fonctions affines - Variations
( voir animation )
On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur IR par f(x) = ax + b , a et b étant deux réels.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l'origine.
• Si a = 0, la fonction f est une fonction constante sur IR (elle est définie par f(x) = b).
• Si a > 0, la fonction f est une fonction strictement
croissante sur IR.
Son tableau de variations est :
x
-∞
+∞
• Si a < 0, la fonction f est une fonction strictement
décroissante sur IR.
Son tableau de variations est :
x
-∞
+∞
f(x)
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f(x)
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Fonctions affines - Représentation graphique - Signe
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite
Si a = 0, la droite est parallèle à l'axe (Ox).
Si a > 0
Représentation graphique :
Si a < 0
Représentation graphique :
1
a
a
a<0
1
a>0
( voir animation )
b
b
-b
a
-
Tableau de signes avec a > 0
-b
x
-∞
a
signe de
0
ax + b
b
a
Tableau de signes avec a < 0
x
+∞
signe de
ax + b
+
-b
a
-∞
+
0
+∞
-
Remarques
• Le coefficient directeur a est la valeur dont y varie lorsque x varie de 1.
• Dans le cas où b = 0, la fonction f est définie sur IR par f(x) = ax . C'est une fonction linéaire.
Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine O du repère.
Exercice 11
(voir réponses et correction)
Donner l'expression de la fonction affine
représentée par chacune des droites ci-contre.
d1
d5
d2
d4
Exercice 12
(voir réponses et correction)
d3
Dans chacun des cas, tracer, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la droite passant par le point A et
ayant pour coefficient directeur a. Donner l'expression de la fonction affine représentée par la droite.
1°) A(- 2 ; - 3) ; a = 3
2°) A(3 ; - 5) ; a = - 2
1
3°) A(2 ; - 2) ; a =
4°) A(- 1 ; 3) ; a = - 1
2
5
Exercice 13
(voir réponses et correction)
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines
suivantes :
f1(x) = 3x - 4 ; f2(x) = - 2x - 5 ; f3(x) = - 1 x + 1 ; f4(x) = 3 ; f5(x) = 1 x + 2
2
3
3
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III Fonction racine carrée - Fonction cube
Définition
Soit x un nombre réel supérieur ou égal à 0.
On appelle racine carrée de x et on note x , l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à x.
Exemple
4 est un nombre réel positif. Il y a deux nombres dont le carré est 4 : ce sont 2 et - 2.
La racine carrée de 4 est le nombre réel positif dont le carré est 4. Donc 4 = 2.
Remarques
• La touche racine carrée
racine carrée d'un nombre.
d'une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée ou exacte de la
9 donne 3
3 est la valeur exacte de 9 car 32 = 9
lorsqu'on fait le calcul 32 - 9
on obtient 0
12 donne 3.464101615
3.464101615 n'est pas la valeur exacte de 12
lorsqu'on fait le calcul 3.4641016152 - 12
on n'obtient pas 0
• On a 1 = 1 ;
2 ≈ 1,414 ;
3 ≈ 1,732 ;
4 =2 ;
9 =3 ;
16 = 4 ;
25 = 5
(Ces valeurs sont à connaître).
• Déterminer en utilisant votre calculatrice 12345654320 ; 12345654321 ; 12345654322
Les résultats donnés par la calculatrice sont-ils exacts ?
Propriétés
Si a ³ 0
a2 = a
Si a ³ 0 et b ³ 0
Si a £ 0
axb = a
x
b
a2 = - a
Si a ³ 0 et b > 0
a =
b
a
b
Remarque
Si a et b sont des nombres positifs a + b n'est pas égal à a +
Par exemple 1 + 1 = 2
alors que 1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Exercice 14
b.
(voir réponses et correction)
1°) Écrire plus simplement :
12 - 3
; ( 2 - 3 )( 2 +
3)
;
( 2 + 6 )2 .
2°) Soit A = 2 - 5 et B = 9 - 4 5 . En calculant A2 et B2, justifier que A2 = B2.
Peut-on en déduire que A = B ?
3°) Justifier les égalités suivantes :
1 = 2
1
;
= 11 + 3
;
45 - 48 + 5 = 4( 5 - 3 ).
2
2
2
11 - 3
Définition
On appelle fonction racine carrée, la fonction qui à tout réel x supérieur ou égal à 0 associe le nombre x .
On note : [0 ; +∞[ → [0 ; +∞[
x
֏
x
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Exercice 15
(voir réponses et correction)
1°) a) Justifier que 3 + 5 est un nombre positif.
b) Calculer ( 3 + 5 )( 3 - 5 ). En déduire le signe de 3 - 5 .
c) En utilisant les questions précédentes, montrer que 3 < 5 .
2°) On considère deux nombres réels positifs a et b tels que a < b .
a) Justifier que a + b > 0.
b) Calculer ( a + b )( a - b ). En déduire le signe de a - b .
c) En utilisant les questions précédentes, montrer que a < b .
3°) Que peut-on en déduire pour la fonction racine carrée ?
Propriété
La fonction racine carrée est une fonction
(strictement) croissante sur [0 ; +∞[.
Son tableau de variations est :
x
f(x) =
0
+∞
x
0
La représentation graphique de la fonction racine
carrée est donnée ci-contre :
Définition
On appelle fonction cube, la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel x3.
IR → IR
On note
x ֏x3
Exercice 16
(voir réponses et correction)
1°)On considère deux nombres réels a et b .
En développant le produit (a - b)(a2 + ab + b2), justifier que :
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3.
2°) On considère deux nombres réels a et b positifs.
a) Justifier que a2 + ab + b2 est positif.
b) En déduire que a3 - b3 et a - b sont de même signe.
c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur [0 ; +∞[.
3°) On considère deux nombres réels a et b négatifs.
a) Justifier que a2 + ab + b2 est positif.
b) En déduire que a3 - b3 et a - b sont de même signe.
c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur ]-∞ ; 0].
6
5
4
2
La fonction cube est une fonction (strictement) croissante sur IR.
Son tableau de variations est :
-∞
7
3
Propriété
x
8
+∞
f(x) = x3
1
-3 -2 -1 O
-1
1
2
3
-2
-3
La fonction cube est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout
réel x on a : f(-x) = -f(x).
La courbe de la fonction cube, donnée ci-contre, a pour centre de
symétrie le point O, origine du repère.
-4
-5
-6
-7
-8
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Exercice 17
(voir réponses et correction)
En utilisant la représentation graphique de la fonction cube obtenue avec une calculatrice ou un ordinateur,
résoudre les équations et inéquations suivantes :
(On pensera à utiliser les fonctions de zoom pour plus de précision)
a) x3 = 7
b) x3 > 7
c) 2x3 + 5 = 0
3
3
e) - 2(x - 3) = -4
d) - 2x ³ 5
Exercice 18
(voir réponses et correction)
1°) En utilisant les représentations graphiques de la fonction inverse et de la fonction cube, donner les
solutions de l'équation x3 = 1 .
x
2°) Justifier par le calcul les résultats de la question précédente.
Exercice 19
(voir réponses et correction)
1°) a) Tracer, dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur IR
par f(x) = x3 et g(x) = 3x - 2 .
b) Donner graphiquement le nombre de points d'intersection de ces deux courbes et préciser leurs
abscisses.
c) Donner graphiquement les positions relatives des deux courbes.
2°) a) Développer le produit (x - 1)2(x + 2).
b) Retrouver par le calcul les résultats du 1°)b) et du 1°)c).
Exercice 20
(voir réponses et correction)
Soit l’équation (E) : 1 = x - 2 où l’inconnue est un réel de l’intervalle ]0 ; +∞[.
x
1°) Représenter, en utilisant une calculatrice, l'hyperbole d'équation y = 1 et la droite d’équation y = x - 2.
x
Au vu de ce graphique, combien l’équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur ]0 ; +∞[ ?
Pour chacune des solutions trouvées, déterminer, en utilisant la calculatrice, un encadrement
d'amplitude 10-2 .
2°) a) Justifier que, pour x ∈ ]0 ; +∞[, l'équation (E) est équivalente à l'équation x2 - 2x - 1 = 0.
b) Montrer que pour tout réel x on a
x2 - 2x - 1 = (x - 1)2 - 2.
c) En déduire la résolution de l'équation (E).
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