Partie ANALYSE Chapitre 3 La fonction cube I/ Fonctions de référence : Activité 1 : Extrapolation linéaire. La consommation de yaourts est passée de 19,9 kg par personne en 2000 à 22,3 kg par personne en 2007. On modélise cette consommation par une fonction affine f où x est le nombre d’années écoulées depuis 2000. a. b. Déterminer l’expression de cette fonction affine, en arrondissant -3 le coefficient a à 10 près. En supposant que l’évolution se poursuit ainsi pendant quelques années, estimer la consommation de yaourts en 2015. 1°) Fonction, Ensemble de définition : Définition : D est un intervalle ou une réunion d’intervalles. Définir une fonction f sur D, c’est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f(x) et appelé image de x par f. On dit que x est un antécédent de f(x) par f. Exemple : La fonction f : x √ est définie sur [0 ; +∞[. On note l’ensemble de définition de la fonction f : df = [0 ;+∞[. Calculer l’image de 5 : f(5) = √ Donner un antécédent de 4 : √ = 4 ⇔ x = 4² ie x = 16 2°) Courbe représentative : Définition : Un repère du plan étant choisi, la courbe représentative de f notée Cf est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)) lorsque x décrit df. On dit que Cf a pour équation y = f(x). Exemple : Tracer la courbe de la fonction racine carrée sur [0 ; +∞[ : 3°) Sens de variation : Définition : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f. * f est croissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) f(b) . * f est strictement croissante sur I signifie que : * f est décroissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) . pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a)≥ f(b) . * f est strictement décroissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b) . On résume les variations dans un tableau de variations. NB : On peut dresser aussi le tableau de signes de la fonction qui nous donne le signe de f(x) suivant les valeurs de x. 4°) Extrémum : Définitions : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f. * m est le minimum de f sur I signifie que m est la plus petite valeur prise par f sur I : pour tout réel x de I, f(x) ≥ m et m = f(a) où a I * M est le maximum de f sur I signifie que M est la plus grande valeur prise par f sur I : pour tout réel x de I, f(x) M et M = f(b) où b I 5°) Fonctions de référence connues: 1°) Les fonctions affines Courbe Pour la droite : ordonnée à l’origine : b et coefficient directeur : a Sens de Variation Si a > 0 alors la fonction est strictement croissante sur IR. Si a < 0 alors la fonction est strictement décroissante sur IR. 2°) La fonction carré Courbe f(x) = x² Sens de Variation Si 0 a < b alors a² < b² Si a < b 0 alors a² > b² 3°) La fonction inverse Courbe f(x) = Sens de variation Si 0 a < b alors Si a < b < 0 alors 4°) La fonction racine carrée : Courbe f(x) = √ Sens de variation Si 0 ≤ a < b alors √ √ 5°) Les fonctions polynômes du second degré, famille dont fait partie la fonction carré cf chapitre 0 6°) Les fonctions homographiques : f(x) = avec a , b, c et d 4 réels et a et c non nuls La courbe est une hyperbole. II . La fonction cube : Activité : 1°) Visualiser la courbe de la fonction cube à l’écran calculatrice en prenant un pas de 0,5 sur [-5 ; 5]. 2°) Vrai ou Faux ? a. b. c. d. La fonction f est monotone sur IR cad qu’elle garde le même sens de variation ? OUI La courbe admet un centre de symétrie ? OUI : l’origine du repère L’équation x3 = -8 n’admet pas de solutions ? Non : unique solution -2 L’inéquation x3 < -1 admet comme ensemble solution : ] ;-1[. OUI e. La fonction est positive sur IR. NON 3°) Variations de f : a. Compléter en visualisant la courbe sur calculatrice et en visualisant ce dessin dans l’espace : Si 0 ≤ a < b alors a3 < b3 Si a < b ≤ 0 alors a3 > b3 Démonstration du sens de variation de la fonction cube : A/ Vérifier que pour tous réels a et b : a3 – b3 = (a – b)(a² + ab + b2) (a – b)(a² + ab + b2) = a3 + a²b + ab² - a²b – ab² - b3 = a3 – b3. B/ Montrer que si a et b sont de même signe, alors a² + ab + b² est positif : Si a et b sont de même signe alors : Soit a < b ≤0 et alors : ab ≥ 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0. Soit 0 ≤ a < b et alors : ab ≥ 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0. C/ Montrer que si a < 0 et b > 0, alors f(a) < f(b) : Si a < 0 < b alors a3 < 0 < b3. D/ A l’aide des questions précédentes, montrer que f est strictement croissante sur : Si a < b alors d’après B/ et C/ , on a : a3 < b3. Définition : La fonction cube est la définie sur IR par f(x) = x3. PROP 1 : Si x ≥ 0 alors x3 ≥ 0 Si x ≤ 0 alors x3 ≤ 0 Un nombre réel et son cube sont de même signe. PROP 2 : * Dans un repère du plan, la courbe admet un centre de symétrie : l’origine O du repère. * f est une fonction impaire : pour tout réel x, f(-x) = -f(x). Courbe : Placer les points A(0 ;0), B(1 ;1), C(2 ;8) puis B’(-1 ;-1), C’(-2 ;-8) : Preuve : Pour tout réel x, f(-x) = (-x)3 = (-1)3 * x3 = -1 * x3 = -x3 = – f(x). Remarque préalable : dans un repère quelconque, deux points symétriques par rapport à l’origine O ont pour coordonnées M(x ; y) et M’(-x ; -y). M(x ; y) si, et seulement si, y = x3 soit –y = -x3 soit –y = (-x)3 soit N(-x ; -y) Or les points M et N sont symétriques par rapport à O donc on vient de démontrer que tout point de la courbe a son symétrique par rapport à O encore sur la courbe et réciproquement. La courbe est totalement conservée par symétrie centrale de centre O. PROP 3 : Sens de Variation La fonction cube est strictement croissante sur IR. Pour tous réels a et b, si a < b alors a3 < b3 Applications : résolution d’équations ou d’inéquations PROP 4 : Pour tout réel a, x3 = a3 Exemple : Résoudre les équations si et seulement si x3 = 512 x = a. x3 = 0,125 Utilisation de touche RACINE CUBIQUE de la calculatrice. PROP 5 : Pour tout réel a, x3 < a3 Exemple : Résoudre les inéquations si et seulement si x3 > x < a. -1 ≤ x3 ≤ 0,027 x3 = -5