Partie ANALYSE Chapitre 3 La fonction cube
I/ Fonctions de référence :
Activité 1 : Extrapolation linéaire.
La consommation de yaourts est passée de 19,9 kg par personne en 2000
à 22,3 kg par personne en 2007. On modélise cette consommation par une
fonction affine fx est le nombre d’années écoulées depuis 2000.
a. Déterminer l’expression de cette fonction affine, en arrondissant
le coefficient a à 10-3 près.
b. En supposant que l’évolution se poursuit ainsi pendant quelques
années, estimer la consommation de yaourts en 2015.
1°) Fonction, Ensemble de définition :
Définition : D est un intervalle ou une réunion d’intervalles.
Définir une fonction f sur D, c’est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f(x) et appelé image de x par f.
On dit que x est un antécédent de f(x) par f.
Exemple : La fonction f : x
est définie sur [0 ; +∞[. On note l’ensemble de définition de la fonction f : df = [0 ;+∞[.
Calculer l’image de 5 : f(5) = Donner un antécédent de 4 : = 4 x = 4² ie x = 16
2°) Courbe représentative :
Définition : Un repère du plan étant choisi, la courbe représentative de f notée Cf est l’ensemble des points M de
coordonnées (x ; f(x)) lorsque xcrit df. On dit que Cf a pour équation y = f(x).
Exemple :
Tracer la courbe de la fonction racine carrée sur [0 ; +∞[ :
3°) Sens de variation :
Définition : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f.
* f est croissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a)
f(b) .
* f est strictement croissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) .
* f est décroissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a)≥ f(b) .
* f est strictement décroissante sur I signifie que : pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b) .
On résume les variations dans un tableau de variations.
NB : On peut dresser aussi le tableau de signes de la fonction qui nous donne le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
4°) Extrémum :
Définitions : I est un intervalle contenu dans l’ensemble de définition df de f.
* m est le minimum de f sur I signifie que m est la plus petite valeur prise par f sur I :
pour tout réel x de I, f(x) ≥ m et m = f(a) où a
I
* M est le maximum de f sur I signifie que M est la plus grande valeur prise par f sur I :
pour tout réel x de I, f(x)
M et M = f(b) où b
I
5°) Fonctions de référence connues:
1°) Les fonctions affines
Pour la droite : ordonnée à l’origine : b et
coefficient directeur : a
Sens de Variation
Si a > 0 alors la fonction est strictement
croissante sur IR.
Si a < 0 alors la fonction est strictement
décroissante sur IR.
Courbe
2°) La fonction carré
f
(
x
) =
x
²
Sens de Variation
Si 0 a < b alors a² < b²
Si a < b 0 alors a² > b²
Courbe
3°) La fonction inverse
f
(x) =
Sens de variation
Si 0 a < b alors
Si a < b < 0 alors
Courbe
4°) La fonction racine carrée :
f
(x) =
Sens de variation
Si 0 ≤ a < b alors  
Courbe
5°) Les fonctions polynômes du second degré, famille dont fait partie la
fonction carré cf chapitre 0
6°) Les fonctions homographiques :
f
(x) = 
 avec a , b, c et d 4 réels et a et c non nuls
La courbe est une hyperbole.
II . La fonction cube :
Activité :
1°) Visualiser la courbe de la fonction cube à l’écran calculatrice en prenant un pas de 0,5 sur [-5 ; 5].
2°) Vrai ou Faux ?
a. La fonction f est monotone sur IR cad qu’elle garde le même sens de variation ? OUI
b. La courbe admet un centre de symétrie ? OUI : l’origine du repère
c. L’équation x3 = -8 n’admet pas de solutions ? Non : unique solution -2
d. L’inéquation x3 < -1 admet comme ensemble solution : ]-
;-1[. OUI
e. La fonction est positive sur IR. NON
3°) Variations de f :
a. Compléter en visualisant la courbe sur calculatrice et en
visualisant ce dessin dans l’espace :
Si 0 a < b alors a3 < b3
Si a < b 0 alors a3 > b3
monstration du sens de variation de la fonction cube :
A/ Vérifier que pour tous réels a et b : a3 b3 = (a b)(a² + ab + b2)
(a b)(a² + ab + b2) = a3 + a²b + ab² - a²b ab² - b3 = a3 b3.
B/ Montrer que si a et b sont de même signe, alors + ab + b² est positif :
Si a et b sont de même signe alors : Soit a < b 0 et alors : ab 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0.
Soit 0 a < b et alors : ab 0 et a² + b² > 0 donc a² + ab + b² > 0.
C/ Montrer que si a < 0 et b > 0, alors f(a) < f(b) : Si a < 0 < b alors a3 < 0 < b3.
D/ A l’aide des questions précédentes, montrer que f est strictement croissante sur :
Si a < b alors d’après B/ et C/ , on a : a3 < b3.
Définition : La fonction cube est la définie sur IR par f(x) = x3.
PROP 1 : Si x ≥ 0 alors x3 0 Si x ≤ 0 alors x3 ≤ 0
Un nombre réel et son cube sont de même signe.
PROP 2 :
* Dans un repère du plan, la courbe admet un centre de symétrie : l’origine O du repère.
* f est une fonction impaire : pour tout réel x, f(-x) = -f(x).
Courbe : Placer les points A(0 ;0), B(1 ;1), C(2 ;8) puis B’(-1 ;-1), C’(-2 ;-8) :
Preuve :
Pour tout réel x, f(-x) = (-x)3 = (-1)3 * x3 = -1 * x3 = -x3 = f(x).
Remarque préalable : dans un repère quelconque, deux points symétriques par rapport à l’origine O ont pour
coordonnées M(x ; y) et M’(-x ; -y).
M(x ; y)   si, et seulement si, y = x3 soit y = -x3 soit y = (-x)3 soit N(-x ; -y)  
Or les points M et N sont symétriques par rapport à O donc on vient de démontrer que tout point de la
courbe a son symétrique par rapport à O encore sur la courbe et réciproquement.
La courbe est totalement conservée par symétrie centrale de centre O.
PROP 3 : Sens de Variation
La fonction cube est strictement croissante sur IR. Pour tous réels a et b, si a < b alors a3 < b3
Applications : résolution d’équations ou d’inéquations
PROP 4 : Pour tout réel a, x3 = a3 si et seulement si x = a.
Exemple : Résoudre les équations x3 = 512 x3 = 0,125 x3 = -5
Utilisation de touche RACINE CUBIQUE de la calculatrice.
PROP 5 : Pour tout réel a, x3 < a3 si et seulement si x < a.
Exemple : Résoudre les inéquations x3 >
-1 ≤ x3 ≤ 0,027
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