FICHE 1φ Loi exponentielle - ambition

!"#$%&'(")*)+,%-).,&/%&0"-)1)(,%-)&,#$'("-)2$")2345678)
!
!
!
!
FICHE 1 ! Loi exponentielle
!
!
Exercice 1
X
!est!une!variable!aléatoire!qui!suit!une!loi!exponentielle!de!paramètre!
λ
.!Donner!l’arrondi!au!dix-millième!du!paramètre!
λ
!dans!chacun!des!cas!ci-dessous!:!
!a/!!
p X ≥600
( )
=0,1
! ! ! ! b/!!
p X ≥1000
( )
=0,4
!
!c/!!
p X ≤500
( )
=0,2
! ! ! ! d/!
p0≤X≤400
( )
=0,8
!
!
Exercice 2 (ROC)
X
!est!une!variable!aléatoire!qui!suit!une!loi!exponentielle!de!paramètre!
λ
.!
Prérequis!:!l’espérance!d’une!variable!aléatoire!qui!suit!une!loi!continue!de!densité!
f
!sur!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
!est!:!!
! !
E X
( )
=lim
x→+∞t×f t
( )
dt
0
a
∫
.!
9: Déterminer!les!nombres!réels!
a
!et!
b
!tels!que!:!
t!at +b
( )
e−
λ t
!est!une!primitive!de!
t! λ te−
λ t
!sur!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.!
;: En!déduire!l’expression!de!
E X
( )
!en!fonction!de!
λ
.!
!
Exercice 3
La!Belle!au!bois!dormant!est!assise!devant!la!cheminée,!sa!quenouille!à!la!main.!L’intervalle!de!temps!
T
!(en!minutes)!qui!
sépare!l’instant!où!elle!a!pris!place!pour!filer!la!laine!de!celui!où!elle!va!se!piquer!avec!le!fuseau!suit!une!loi!exponentielle!
d’espérance!10.!
9: Exprimer!la!densité!de!probabilité!de!
T
.!
;: Sachant!qu’il!ne!lui!est!rien!arrivé!pendant!les!huit!premières!minutes,!quelle!est!la!probabilité!pour!qu’elle!ne!se!
pique!pas!dans!les!cinq!minutes!qui!suivent!.!Arrondir!au!millième.!
!
Exercice 4
On!s’intéresse!à!la!durée!de!vie,!exprimée!en!semaines,!d’un!composant!électronique.!On!modélise!cette!situation!par!une!
loi!de!probabilité!sans!vieillissement!définie!sur!l’intervalle!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.!La!probabilité!que!le!composant!ne!soit!plus!en!état!
de!marche!au!bout!de!
t
!semaines!est!:!
p0 ; t
⎡
⎣⎡ ⎣
( )
= λ e−
λ xdx
0
t
∫
.!
Une!étude!statistique!montrant!qu’environ!50%!d’un!lot!important!de!ces!composants!sont!encore!en!état!de!marche!au!
bout!de!200!semaines,!permet!de!poser!
p0 ; 200
⎡
⎣⎡ ⎣
( )
=0,5
.!
9: Montrer!que!
λ =
ln 2
( )
200
.!
!

!"#$%&'(")*)+,%-).,&/%&0"-)1)(,%-)&,#$'("-)2$")2345678)
!
!
!
;: Quelle!est!la!probabilité!qu’un!de!ces!composants!pris!au!hasard!ait!une!durée!de!vie!supérieure!à!300!semaines!?!!
On!donnera!la!valeur!exacte!et!une!valeur!approchée!décimale!au!centième!près.!
<: On!admet!que!la!durée!de!vie!moyenne!
dm
!de!ces!composants!est!la!limite!quand!
A
!tend!vers!
+∞
!de!:!!
λ xe−
λ xdx
0
A
∫
.!
a/!Montrer!que!
λ xe−
λ xdx =−
λ Ae−
λ A−e− λ A+1
λ
0
A
∫
.!
b/!En!déduire!
dm
.!On!donnera!la!valeur!exacte!puis!une!valeur!approchée!décimale!à!la!semaine!près.!
!
!
Exercice 5
Une!entreprise!d’autocars!dessert!une!région!montagneuse.!En!chemin,!les!véhicules!peuvent!être!bloqués!par!des!
incidents!extérieurs!comme!des!chutes!de!pierres,!la!présence!de!troupeaux!sur!la!route,!etc…!
Un!autocar!part!de!son!entrepôt.!On!note!
D
!la!variable!aléatoire!qui!mesure!la!distance!en!kilomètres!que!l’autocar!va!
parcourir!jusqu’à!ce!qu’il!survienne!un!incident.!On!admet!que!
D
!suit!une!loi!exponentielle!de!paramètre!
λ =1
82
,!appelée!
aussi!loi!de!durée!de!vie!sans!vieillissement.!
Dans!tout!l’exercice,!les!résultats!numériques!seront!arrondis!au!millième.!
9: Calculer!la!probabilité!que!la!distance!parcourue!sans!incident!soit!:!!
a/!comprise!entre!50!et!100!km!;!
b/!supérieure!à!300!km.!
;: Sachant!que!l’autocar!a!déjà!parcouru!350!km!sans!incident,!quelle!est!la!probabilité!qu’il!n’en!subisse!pas!non!plus!
au!cours!des!25!prochains!kilomètres!?!
<: Soit!
f
!la!fonction!définie!sur!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
!par!:!
f x
( )
=1
82 xe
−x
82
.!
On!appelle!distance!moyenne!parcourue!sans!incident,!la!limite!quand!
A
!tend!vers!
+∞
,!de!
I A
( )
!telle!que!:!!
! ! ! !
I A
( )
=f x
( )
dx
0
A
∫
.!
a/!Montrer!que!la!fonction!
F
!définie!sur!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
!par!:!
F x
( )
=−xe
−x
82 −82e
−x
82
!est!une!primitive!de!
f
!sur!!
!!!!!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.!
b/!En!déduire!la!distance!moyenne!parcourue!sans!incident.!
!
!
Exercice 6
Un!récipient!contient!un!gaz!constitué!de!deux!sortes!de!particules!:!75%!de!particules!
A
!et!25%!de!particules!
B
.!!
Les!particules!sont!projetées!sur!une!cible!formée!de!deux!compartiments!
K
!et!
L
.!
L’expérience!est!modélisée!de!la!façon!suivante!:!
!!une!particule!au!hasard!parmi!les!particules!de!type!
A
!entre!dans!
K
!avec!la!probabilité!
2
3
,!les!autres!particules!
A
!!
!!!entrent!dans!
L
.!
!!une!particule!au!hasard!parmi!les!particules!de!type!
B
entre!dans!chacun!des!compartiments!avec!la!même!probabilité.!
!

!"#$%&'(")*)+,%-).,&/%&0"-)1)(,%-)&,#$'("-)2$")2345678)
!
!
='#/%")3)
9: Une!particule!est!prise!au!hasard.!Déterminer!la!probabilité!de!chacun!des!événements!suivants!:!!
!
A
1
!:!«!!la!particule!isolée!est!de!type!
A
!et!elle!entre!dans!
K
!»!;!
A
2
!:!«!!la!particule!isolée!est!de!type!
A
!et!elle!entre!dans!
L
!»!;!
B
1
!:!«!!la!particule!isolée!est!de!type!
B
!et!elle!entre!dans!
K
!»!;!
B2
!:!«!!la!particule!isolée!est!de!type!
B
!et!elle!entre!dans!
L
!»!;!
C1
!:!«!!la!particule!entre!dans!
K
!»!;!
C2
!:!«!!la!particule!isolée!entre!dans!
L
!»!;!
!
!
;: On!procède!cinq!fois!de!suite!et!de!façon!indépendante!à!l’épreuve!décrite!en!introduction.!Le!nombre!de!particules!
étant!très!grand,!on!admettra!que!les!proportions!75%!et!25%!restent!constantes.!
!
Calculer!la!probabilité!de!l’événement!
E
!:!«!!il!y!a!exactement!!deux!particules!dans!
L
!».!
!
!
='#/%")>)
Un!récipient!contient!la!gaz!décrit!précédemment.!Les!particules!
A
!sont!radioactives!et!se!transforment!spontanément!en!
particules!
B
.!On!note!
P t
( )
!la!proportion!de!particules!
A
!dans!le!gaz.!À!l’instant!
t=0
!,!on!a!donc!
p0
( )
=0,75
.!
Plus!généralement,!si!
t
!est!exprimé!en!années,!on!a!
P t
( )
=0,75e−
λ t
,!où!
λ
!est!une!constante!positive.!
La!demi-vie!des!particules!
A
!est!égale!à!5730!ans,!ce!qui!signifie!qu’au!bout!de!cette!durée,!la!moitié!des!particules!se!
seront!désintégrées.!
9: Calculer!
λ
!puis!en!donner!la!valeur!approchée!à!
10−5
!près!par!défaut.!
!
Cette$valeur$sera$utilisée$pour$la$suite$de$l’exercice.$
$
;: Au!bout!de!combien!d’années,!10%!des!particules!de!type!
A
!se!seront-elles!transformées!en!particules!de!
!type!
B
!?!
!
<: Déterminer!la!valeur!de!
t
!pour!laquelle!il!y!aura!autant!de!particules!de!type!
A
!que!de!particules!de!type!
B
.!
!