TerminaleS Loiscontinues–loisnormales MmeMAINGUY FICHE 1 Loi exponentielle Exercice 1 X estunevariablealéatoirequisuituneloiexponentielledeparamètre λ .Donnerl’arrondiaudix-millièmeduparamètre λ danschacundescasci-dessous: ( ) c/ p ( X ≤ 500 ) = 0,2 a/ p X ≥ 600 = 0,1 ( ) d/ p ( 0 ≤ X ≤ 400 ) = 0,8 b/ p X ≥ 1000 = 0,4 Exercice 2 (ROC) X estunevariablealéatoirequisuituneloiexponentielledeparamètre λ . Prérequis:l’espéranced’unevariablealéatoirequisuituneloicontinuededensité f sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ est: a ( ) () E X = lim ∫ t × f t dt . x→+∞ 0 ( ) 1) Déterminerlesnombresréels a et b telsque: t ! at + b e− λt estuneprimitivede t ! λte− λt sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ . 2) Endéduirel’expressionde E X enfonctionde λ . ( ) Exercice 3 LaBelleauboisdormantestassisedevantlacheminée,saquenouilleàlamain.L’intervalledetemps T (enminutes)qui séparel’instantoùelleaprisplacepourfilerlalainedeceluioùellevasepiqueraveclefuseausuituneloiexponentielle d’espérance10. 1) Exprimerladensitédeprobabilitéde T . 2) Sachantqu’ilneluiestrienarrivépendantleshuitpremièresminutes,quelleestlaprobabilitépourqu’ellenese piquepasdanslescinqminutesquisuivent.Arrondiraumillième. Exercice 4 Ons’intéresseàladuréedevie,expriméeensemaines,d’uncomposantélectronique.Onmodélisecettesituationparune loideprobabilitésansvieillissementdéfiniesurl’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ .Laprobabilitéquelecomposantnesoitplusenétat ( ) t demarcheauboutde t semainesest: p ⎡⎣0 ; t ⎡⎣ = ∫ λ e− λ x dx . 0 Uneétudestatistiquemontrantqu’environ50%d’unlotimportantdecescomposantssontencoreenétatdemarcheau ( ) boutde200semaines,permetdeposer p ⎡⎣0 ; 200 ⎡⎣ = 0,5 . 1) Montrerque λ = ln ( 2 ) 200 . TerminaleS Loiscontinues–loisnormales MmeMAINGUY 2) Quelleestlaprobabilitéqu’undecescomposantsprisauhasardaituneduréedeviesupérieureà300semaines? Ondonneralavaleurexacteetunevaleurapprochéedécimaleaucentièmeprès. 3) Onadmetqueladuréedeviemoyenne d m decescomposantsestlalimitequand A tendvers +∞ de: A ∫ λ xe − λx dx . 0 A a/Montrerque ∫ λ xe− λ x dx = 0 − λ Ae− λ A − e− λ A + 1 . λ b/Endéduire d m .Ondonneralavaleurexactepuisunevaleurapprochéedécimaleàlasemaineprès. Exercice 5 Uneentreprised’autocarsdessertunerégionmontagneuse.Enchemin,lesvéhiculespeuventêtrebloquéspardes incidentsextérieurscommedeschutesdepierres,laprésencedetroupeauxsurlaroute,etc… Unautocarpartdesonentrepôt.Onnote D lavariablealéatoirequimesureladistanceenkilomètresquel’autocarva 1 parcourirjusqu’àcequ’ilsurvienneunincident.Onadmetque D suituneloiexponentielledeparamètre λ = ,appelée 82 aussiloideduréedeviesansvieillissement. Danstoutl’exercice,lesrésultatsnumériquesserontarrondisaumillième. 1) Calculerlaprobabilitéqueladistanceparcouruesansincidentsoit: a/compriseentre50et100km; b/supérieureà300km. 2) Sachantquel’autocaradéjàparcouru350kmsansincident,quelleestlaprobabilitéqu’iln’ensubissepasnonplus aucoursdes25prochainskilomètres? 3) 1 − 82x Soit f lafonctiondéfiniesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ par: f x = xe . 82 Onappelledistancemoyenneparcouruesansincident,lalimitequand A tendvers +∞ ,de I A telleque: () ( ) A I ( A) = ∫ f ( x ) dx . 0 () a/Montrerquelafonction F définiesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ par: F x = −xe − x 82 − 82e − x 82 estuneprimitivede f sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ . b/Endéduireladistancemoyenneparcouruesansincident. Exercice 6 Unrécipientcontientungazconstituédedeuxsortesdeparticules:75%departicules A et25%departicules B . Lesparticulessontprojetéessurunecibleforméededeuxcompartiments K et L . L’expérienceestmodéliséedelafaçonsuivante: uneparticuleauhasardparmilesparticulesdetype A entredans K aveclaprobabilité 2 ,lesautresparticules A 3 entrentdans L . uneparticuleauhasardparmilesparticulesdetype B entredanschacundescompartimentsaveclamêmeprobabilité. TerminaleS Loiscontinues–loisnormales MmeMAINGUY PartieA 1) Uneparticuleestpriseauhasard.Déterminerlaprobabilitédechacundesévénementssuivants: A1 :«laparticuleisoléeestdetype A etelleentredans K »; A2 :«laparticuleisoléeestdetype A etelleentredans L »; B1 :«laparticuleisoléeestdetype B etelleentredans K »; B2 :«laparticuleisoléeestdetype B etelleentredans L »; C1 :«laparticuleentredans K »; C2 :«laparticuleisoléeentredans L »; 2) Onprocèdecinqfoisdesuiteetdefaçonindépendanteàl’épreuvedécriteenintroduction.Lenombredeparticules étanttrèsgrand,onadmettraquelesproportions75%et25%restentconstantes. Calculerlaprobabilitédel’événement E :«ilyaexactementdeuxparticulesdans L ». PartieB Unrécipientcontientlagazdécritprécédemment.Lesparticules A sontradioactivesetsetransformentspontanémenten particules B .Onnote P t laproportiondeparticules A danslegaz.Àl’instant t = 0 ,onadonc p 0 = 0,75 . () () () Plusgénéralement,si t estexpriméenannées,ona P t = 0,75e− λt ,où λ estuneconstantepositive. Lademi-viedesparticules A estégaleà5730ans,cequisignifiequ’auboutdecettedurée,lamoitiédesparticulesse serontdésintégrées. Calculer λ puisendonnerlavaleurapprochéeà 10−5 prèspardéfaut. Cettevaleurserautiliséepourlasuitedel’exercice. 2) Auboutdecombiend’années,10%desparticulesdetype A seseront-ellestransforméesenparticulesde type B ? 3) Déterminerlavaleurde t pourlaquelleilyauraautantdeparticulesdetype A quedeparticulesdetype B . 1)