FICHE 1φ Loi exponentielle - ambition

TerminaleS
Loiscontinues–loisnormales
MmeMAINGUY
FICHE 1  Loi exponentielle
Exercice 1
X estunevariablealéatoirequisuituneloiexponentielledeparamètre λ .Donnerl’arrondiaudix-millièmeduparamètre
λ danschacundescasci-dessous:
(
)
c/ p ( X ≤ 500 ) = 0,2 a/ p X ≥ 600 = 0,1 (
)
d/ p ( 0 ≤ X ≤ 400 ) = 0,8 b/ p X ≥ 1000 = 0,4 Exercice 2
(ROC)
X estunevariablealéatoirequisuituneloiexponentielledeparamètre λ .
Prérequis:l’espéranced’unevariablealéatoirequisuituneloicontinuededensité f sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ est:
a
( )
()
E X = lim ∫ t × f t dt .
x→+∞
0
(
)
1)
Déterminerlesnombresréels a et b telsque: t ! at + b e− λt estuneprimitivede t ! λte− λt sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ .
2)
Endéduirel’expressionde E X enfonctionde λ .
( )
Exercice 3
LaBelleauboisdormantestassisedevantlacheminée,saquenouilleàlamain.L’intervalledetemps T (enminutes)qui
séparel’instantoùelleaprisplacepourfilerlalainedeceluioùellevasepiqueraveclefuseausuituneloiexponentielle
d’espérance10.
1)
Exprimerladensitédeprobabilitéde T .
2)
Sachantqu’ilneluiestrienarrivépendantleshuitpremièresminutes,quelleestlaprobabilitépourqu’ellenese
piquepasdanslescinqminutesquisuivent.Arrondiraumillième.
Exercice 4
Ons’intéresseàladuréedevie,expriméeensemaines,d’uncomposantélectronique.Onmodélisecettesituationparune
loideprobabilitésansvieillissementdéfiniesurl’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ .Laprobabilitéquelecomposantnesoitplusenétat
(
)
t
demarcheauboutde t semainesest: p ⎡⎣0 ; t ⎡⎣ = ∫ λ e− λ x dx .
0
Uneétudestatistiquemontrantqu’environ50%d’unlotimportantdecescomposantssontencoreenétatdemarcheau
(
)
boutde200semaines,permetdeposer p ⎡⎣0 ; 200 ⎡⎣ = 0,5 .
1)
Montrerque λ =
ln ( 2 )
200
.
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2)
Quelleestlaprobabilitéqu’undecescomposantsprisauhasardaituneduréedeviesupérieureà300semaines?
Ondonneralavaleurexacteetunevaleurapprochéedécimaleaucentièmeprès.
3)
Onadmetqueladuréedeviemoyenne d m decescomposantsestlalimitequand A tendvers +∞ de:
A
∫ λ xe
− λx
dx .
0
A
a/Montrerque ∫ λ xe− λ x dx =
0
− λ Ae− λ A − e− λ A + 1
.
λ
b/Endéduire d m .Ondonneralavaleurexactepuisunevaleurapprochéedécimaleàlasemaineprès.
Exercice 5
Uneentreprised’autocarsdessertunerégionmontagneuse.Enchemin,lesvéhiculespeuventêtrebloquéspardes
incidentsextérieurscommedeschutesdepierres,laprésencedetroupeauxsurlaroute,etc…
Unautocarpartdesonentrepôt.Onnote D lavariablealéatoirequimesureladistanceenkilomètresquel’autocarva
1
parcourirjusqu’àcequ’ilsurvienneunincident.Onadmetque D suituneloiexponentielledeparamètre λ =
,appelée
82
aussiloideduréedeviesansvieillissement.
Danstoutl’exercice,lesrésultatsnumériquesserontarrondisaumillième.
1)
Calculerlaprobabilitéqueladistanceparcouruesansincidentsoit:
a/compriseentre50et100km;
b/supérieureà300km.
2)
Sachantquel’autocaradéjàparcouru350kmsansincident,quelleestlaprobabilitéqu’iln’ensubissepasnonplus
aucoursdes25prochainskilomètres?
3)
1 − 82x
Soit f lafonctiondéfiniesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ par: f x =
xe .
82
Onappelledistancemoyenneparcouruesansincident,lalimitequand A tendvers +∞ ,de I A telleque:
()
( )
A
I ( A) = ∫ f ( x ) dx .
0
()
a/Montrerquelafonction F définiesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ par: F x = −xe
−
x
82
− 82e
−
x
82
estuneprimitivede f sur
⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ .
b/Endéduireladistancemoyenneparcouruesansincident.
Exercice 6
Unrécipientcontientungazconstituédedeuxsortesdeparticules:75%departicules A et25%departicules B .
Lesparticulessontprojetéessurunecibleforméededeuxcompartiments K et L .
L’expérienceestmodéliséedelafaçonsuivante:
–uneparticuleauhasardparmilesparticulesdetype A entredans K aveclaprobabilité
2
,lesautresparticules A 3
entrentdans L .
–uneparticuleauhasardparmilesparticulesdetype B entredanschacundescompartimentsaveclamêmeprobabilité.
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PartieA
1)
Uneparticuleestpriseauhasard.Déterminerlaprobabilitédechacundesévénementssuivants:
A1 :«laparticuleisoléeestdetype A etelleentredans K »;
A2 :«laparticuleisoléeestdetype A etelleentredans L »;
B1 :«laparticuleisoléeestdetype B etelleentredans K »;
B2 :«laparticuleisoléeestdetype B etelleentredans L »;
C1 :«laparticuleentredans K »;
C2 :«laparticuleisoléeentredans L »;
2) Onprocèdecinqfoisdesuiteetdefaçonindépendanteàl’épreuvedécriteenintroduction.Lenombredeparticules
étanttrèsgrand,onadmettraquelesproportions75%et25%restentconstantes.
Calculerlaprobabilitédel’événement E :«ilyaexactementdeuxparticulesdans L ».
PartieB
Unrécipientcontientlagazdécritprécédemment.Lesparticules A sontradioactivesetsetransformentspontanémenten
particules B .Onnote P t laproportiondeparticules A danslegaz.Àl’instant t = 0 ,onadonc p 0 = 0,75 .
()
()
()
Plusgénéralement,si t estexpriméenannées,ona P t = 0,75e− λt ,où λ estuneconstantepositive.
Lademi-viedesparticules A estégaleà5730ans,cequisignifiequ’auboutdecettedurée,lamoitiédesparticulesse
serontdésintégrées.
Calculer λ puisendonnerlavaleurapprochéeà 10−5 prèspardéfaut.
Cettevaleurserautiliséepourlasuitedel’exercice.
2) Auboutdecombiend’années,10%desparticulesdetype A seseront-ellestransforméesenparticulesde
type B ?
3) Déterminerlavaleurde t pourlaquelleilyauraautantdeparticulesdetype A quedeparticulesdetype B .
1)