F036 Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle
P
A
(B) = P(B ∩ A)
P(A) est la probabilité de B sachant A
P
A
(A) = 1
P
A
(B) + P
A
( B ) = 1
P
A
(B ∪ C) = P
A
(B) + P
A
(C) − P
A
(B ∩ C)
− P(A ∩ B) = P
B
(A) × P(B) = P
A
(B) × P(A)
P(A) P
A
(B)
Ω  A  B P(A ∩ B)
Si les événements B
1
, B
2
, …. , B
n
forment une partition de Ω
Pour tout événement E , on a P(E) = P(B
1
∩ E) + …. P(B
n
∩ E)
soit P(E) = P
B1
(E).P(B
1
) + P
B2
(E).P(B
2
) + .... P
Bn
(E).P(B
n
)
§ Une urne U1 contient 3 jetons blancs et 2 jetons noirs . Une urne U2 contient 1 jeton blanc
et 3 jetons noirs . On choisit une urne au hasard et on extrait un jeton . Sachant que ce jeton
est blanc , quelle est la probabilité que le tirage ait été effectué dans U2 ?
§ Une société comprend 40 % de cadres , 20 % d'entre eux parlent anglais .
On interroge au hasard un employé de la société et on considère les événements
C : l'employé interrogé est un cadre A : l'employé interrogé parle anglais
a. Traduire à l'aide des événements A et C , les données de l'énoncé en termes de probabilités
b. Calculer la probabilité que l'employé soit un cadre qui parle anglais .
§ Dans une population , 60 % des familles ont une voiture , 65 % des familles ont un
téléviseur et 24 % des familles n'ont ni voiture , ni téléviseur . On choisit une famille au
hasard , calculer la probabilité que cette famille ait une voiture sachant qu'elle possède un
téléviseur .
§ On dispose de 3 urnes contenant chacune 5 boules :
urne 1 : 2 boules noires , 3 boules rouges
urne 2 : 3 boules noires , 2 boules rouges
urne 3 : 4 boules noires , 1 boule rouge
Julien lance un dé équilibré .
S'il obtient "1" , il extrait une boule de l'urne 1
S'il obtient "3 ou 5" , il extrait une boule de l'urne 2
S'il obtient "2 , 4 ou 6" , il extrait une boule de l'urne 3
1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge et provienne de l'urne 1 ?
2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
§ On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des
boules noires . On jette le dé .
Si le résultat obtenu est 1 ou 2 , on tire une boule au hasard dans l’urne U
1
.
L’urne U
1
contient ¼ de boules blanches et ¾ de boules noires .
Si le résultat obtenu sur le dé est 3,4,5 ou 6 on tire une boule au hasard dans l’urne U
2
.
L’urne U
2
contient 5/6 de boules blanches et 1/6 de boules noires .
1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
2. Si la boule tirée est blanche , quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne U
1
?

§ On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des
boules noires On jette le dé . Suivant le résultat obtenu sur le dé , on tire une boule au
hasard soit dans l’urne U
1
, soit dans l’urne U
2
.
La probabilité de tirer une boule blanche est 7/18.
La probabilité de tirer dans l’urne U
1
et de tirer une boule blanche est 1/9.
Si on sait que la boule obtenue est blanche , quelle est la probabilité qu’elle provienne de
l’urne U
1
?
§ Une usine dispose de deux machines M
1
et M
2
fabriquant des boulons .
La machine M
1
fabrique 40% de la totalité des boulons , 5% des boulons fabriquées par
cette machine sont défectueux , 1% des boulons fabriqués par M
2
sont défectueux .
On tire un boulon au hasard .L’examen du boulon prouve qu’il est défectueux .
Quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M
1
?
§ A la cafétéria , dans la vitrine pâtisserie ,
− 60% des gâteaux sont à base de crème ,
− parmi ceux qui sont à base de crème , 30% ont aussi des fruits ,
− parmi les gâteaux qui n’ont pas de crème , 80% ont des fruits .
On prend un gâteau au hasard .
1. a. calculer la probabilité d’avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits
b. calculer la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème
c. en déduire que la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits est égal à 0,50
2. a. le gâteau pris au hasard comporte des fruits . Quelle est la probabilité qu’il soit à base
de crème ?
b. le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit . Quelle est la probabilité qu’il soit à
base de crème ?
§ On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des
boules noires On jette le dé . Suivant le résultat obtenu sur le dé , on tire une boule au hasard
dans l’une des 2 urnes .
La probabilité de tirer dans l’urne U
1
est 1/6 .
La probabilité de tirer dans l’urne U
1
et de tirer une boule blanche est 1/9
Si on sait que la boule est tirée dans U
1
, quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ?
§ Alice débute au jeu de fléchettes . Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette .
Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer , la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer
suivant est égale à 1
3 . Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer , la probabilité qu'elle
manque la cible au lancer suivant est égale à 4
5 . On suppose qu'au premier lancer , elle a
autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer .
Pour tout entier naturel n , on considère l'événements A
n
: Alice atteindra la cible au nième
coup . On pose p
n
= p(A
n
) .
1. Déterminer p
1
et montrer que p
2
= 4
15 ,
puis montrer que pour tout entier n ≥ 2 , p
n+1
= 2
15 p
n
+ 1
5 .
2. Pour n ≥ 1 , on pose u
n
= p
n
− 3
13 . Montrer que (u
n
) est une suite géométrique .
3. Exprimer u
n
, puis p
n
en fonction de n et déterminer lim
n → +∞ p
n