synthèse de travaux : modules sur l`algèbre de steenrod

SYNTHÈSE DE TRAVAUX : MODULES SUR L'ALGÈBRE
DE STEENROD
par
Georey M.L. Powell
Résumé. Cette synthèse présente les travaux de l'auteur en algèbre et en
topologie algébrique qui sont en relation avec la catégorie des modules instables
sur l'algèbre de Steenrod.
Table des matières
Partie I. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. La topologie algébrique - modules sur l'algèbre de Steenrod . . .
Partie II. Présentation des travaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
2. La catégorie des modules instables revisitée et quelques
applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. La structure des injectifs standards et la conjecture artinienne 7
4. Les espaces d'Eilenberg-MacLane K(V, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Sous-anneaux de la cohomologie singulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
PARTIE I
INTRODUCTION
1. La topologie algébrique - modules sur l'algèbre de Steenrod
La topologie algébrique est l'étude de la catégorie des espaces topologiques à
homotopie près en exploitant des représentations de la catégorie des espaces dans
diverses catégories de nature algébrique. Bien des problèmes de nature géométrique
peuvent être résolu à travers des problèmes de nature homotopique, donc les méthodes de topologie algébrique ont connu un grand succès en mathématiques. La
topologie algébrique fait apparaître des structures algébriques très riches ; on peut
penser à la catégorie des modules sur l'algèbre de Steenrod ou bien à la théorie des
groupes formels de dimension un, qui joue un rôle primordial dans la compréhension des phénomènes de la topologie algébrique stable. Dans les dernières décennies,
les méthodes de la topologie algébrique ont eu des applications importantes dans
d'autres domaines ; la théorie de localisation homotopique est devenue un outil indispensable en algèbre et en géométrie algébrique et la théorie d'homotopie abstraite
2
G.M.L. POWELL
a eu des applications fondamentales, notamment en théorie d'homotopie motivique
des schémas.
L'interaction de la topologie algébrique avec diérents domaines mathématiques
est illustrée par le diagramme de foncteurs suivant :
Pp
Up
l
/ Fp ,
où Up est la catégorie des modules instables sur la Fp -algèbre de Steenrod, Fp est la
catégorie des foncteurs de la catégorie des Fp -espaces vectoriels de dimension nie
vers celle des Fp -espaces vectoriels, Fp étant le corps premier de caractéristique
p. La catégorie Pp est la catégorie des foncteurs polynomiaux stricts, introduite
par Friedlander et Suslin, qui admet une décomposition par le poids dont chaque
composante est équivalente à une catégorie de modules sur une algèbre de Schur.
La catégorie Up est un objet fondamental en topologie algébrique : la cohomologie
singulière à coecients dans Fp de tout espace topologique prend ses valeurs dans
Up , qui est une sous-catégorie de la catégorie des modules sur l'algèbre de Steenrod.
Une question fondamentale en topologie algébrique est celle de la réalisation d'un
module instable donné en tant que cohomologie d'un espace.
Les travaux fondateurs de Carlsson, Lannes, Miller exploitèrent les modules instables pour obtenir des résultats importants en topologie algébrique, notamment la
résolution de la conjecture du Sullivan [ ] et de la conjecture de Segal ; la structure
algébrique très riche de Up a été étudiée depuis par de nombreux auteurs, parmi
lesquels Franjou, Henn, Kuhn, Lannes, Morel, Schwartz et Zarati (voir [ ]).
Le foncteur l étant une localisation de catégories abéliennes à la Gabriel, la catégorie Fp détecte une partie de la structure de Up . Ce point de vue donna lieu,
par exemple, aux conjectures de Kuhn concernant des questions de non-réalisation
de certains modules instables en tant que cohomologie d'un espace ; ces conjectures
furent résolues par Schwartz [ ] (sous quelques hypothèses de nitude). Plus récemment, les travaux de l'auteur exploitèrent cette philosophie de localisation pour
aborder l'étude des espaces d'Eilenberg-MacLane.
La richesse algébrique de la catégorie Fp est apparente dans l'étude de la correspondance de Weyl-Specht entre les Fp -représentations des groupes symétriques
et les Fp -représentations des groupes linéaires GL(Fnp ), à travers les foncteurs de
Weyl, qui sont des objets de Fp .
La catégorie Fp est abélienne et l'étude de l'algèbre homologique de cette catégorie est très féconde. Les groupes de cohomologie dans Fp correspondent à la
cohomologie de MacLane [
] ou bien à la cohomologie topologique de Hochschild à coecients dans les bifoncteurs appropriés. Le point de vue fonctoriel, dans
des cadres plus généraux, est également très important dans des travaux de, entre
autres, Betley, Pirashvili, Waldhausen (cf. [
]), par exemple en relation avec
la K -théorie algébrique stable.
Les techniques de calcul développées par Franjou, Lannes et Schwartz sont devenues un outil puissant dans d'autres domaines. Un tour de force qui exploite ces
techniques est la démonstration de Suslin de la conjecture que la K -théorie stable est
équivalente à la cohomologie topologique de Hochschild dans le cadre des foncteurs
[
, Appendice] ; ce résultat a été généralisé depuis par Scorichenko [
].
S
S
S2
FLS
FFPS
FFSS
FFPS
3
SYNTHÈSE
La catégorie Pp correspond intuitivement aux foncteurs de Fp qui s'étendent en
des foncteurs sur la catégorie des espaces vectoriels sur une clôture algébrique de Fp ;
elle est la version en caractéristique non-nulle d'une catégorie déjà étudiée en théorie
des représentations [ ]. Friedlander et Suslin [ ] exploitèrent les techniques de
calcul de [
] dans le cadre des catégories Pp an de construire certaines classes
universelles de cohomologie de schémas en groupes innitésimaux ; ils en déduisirent
des résultats de nitude pour ces algèbres de cohomologie.
Le travail fondamental de Franjou, Friedlander, Scorichenko et Suslin [
]
montra que des techniques de changement de base entraînent que certains calculs
dans F peuvent être réduits à des calculs dans Pp , où ils deviennent plus facile,
notamment en raison de la décomposition en poids de la catégorie Pp .
FLS
Gr
FS
FFSS
1.1. Algèbres et modules instables sur l'algèbre de Steenrod. L'algèbre de Steenrod Ap dénie sur un corps premier Fp est un objet fondamental en
mathématiques ; en topologie algébrique, elle est dénie comme étant l'algèbre des
opérations cohomologiques stables sur la cohomologie singulière à coecients dans
Fp . L'algèbre A2 est engendrée par les carrés de Steenrod Sq i , i ≥ 0, modulo les
relations engendrées par les relations d'Adem ; elle admet la structure d'une algèbre
de Hopf cocommutative, dont le coproduit est donné par le formule de Cartan :
∆Sq n = Σa+b=n Sq a ⊗ Sq b . Lorsque p est impair, il existe une structure analogue :
l'algèbre Ap est engendrée par le Bockstein β et les puissances réduites, P i , i ≥ 0,
modulo les relations d'Adem.
L'algèbre Ap est graduée de manière naturelle, par conséquent on dispose de la
catégorie des Ap -modules gradués ; cette catégorie admet une sous catégorie pleine
Up , la catégorie des modules instables. La dénition habituelle de cette catégorie
est donnée en termes de l'action des générateurs : un A2 -module M est instable si
et seulement si Sq i x = 0 dès que i > |x|, x étant un élément homogène. L'élément
Sq 0 est l'identité, ce qui implique qu'un module instable est concentré en degrés
non-négatifs. Il existe une dénition analogue dans le cas p impair.
Le produit tensoriel de deux modules instables possède une structure canonique
de module instable, par conséquent on peut considérer les monoïdes commutatifs
dans la catégorie des modules instables. Un tel monoïde possède une structure
d'algèbre graduée commutative ; c'est une algèbre instable sur l'algèbre de Steenrod
si, en outre, la structure d'algèbre satisfait la condition suivante (pour le cas p = 2) :
pour tout élément homogène x, Sq |x| (x) = x2 . Les algèbres instables forment une
catégorie Kp et il existe un foncteur oubli Kp → Up . Ce foncteur admet un adjoint
à gauche, U : Up → Kp , le foncteur algèbre enveloppante.
Par la dénition même de l'algèbre de Steenrod, la cohomologie d'un espace
topologique X possède une structure canonique de module sur l'algèbre Ap qui est
instable ; cette structure est compatible avec le cup produit et la cohomologie(1)
H ∗ (X; Fp ) appartient à la catégorie Kp .
Exemple 1.1.1.
Un exemple fondamental de module instable est donné par la
cohomologie d'un p-groupe abélien élémentaire (niment engendré) V . La cohomologie H ∗ (BZ/2; F2 ) est isomorphe à l'algèbre de polynômes F2 [u] en un générateur
de degré 1 et la structure de module instable est déterminée par le fait que F2 [u]
possède la structure d'une algèbre instable. Dans le cas p > 2, H ∗ (BZ/p; Fp ) est
isomorphe à l'algèbre graduée commutative libre Λ∗ (y) ⊗ Fp [x] en deux générateurs
(1) On
omettra souvent l'anneau de coecients de la cohomologie pour alléger la notation.
4
G.M.L. POWELL
de degré 1 et 2 respectivement, la structure de module instable étant déterminée
par l'existence de la structure d'algèbre instable sur Λ∗ (y) ⊗ Fp [x], quitte à imposer
l'action du Bockstein βy = x.
L'algèbre instable H ∗ (BV ) est isomorphe au produit tensoriel H ∗ (BF)⊗ dim V
en tant qu'algèbre instable et en tant que module instable. On peut considérer
l'association V 7→ H ∗ (BV ) comme un foncteur contravariant de la catégorie des
Fp -espaces vectoriels de dimension nie vers la catégorie Up .
Il est un résultat fondamental que H ∗ (BV ) est un objet injectif de la catégorie
Up ; cette propriété correspond à des propriétés du foncteur TV : Up → Up de Lannes,
qui est l'adjoint à gauche du foncteur H ∗ (BV ) ⊗ − : Up → Up .
1.2. Opérations de Steenrod motivique. Il existe des analogues aux opérations de Steenrod sur la cohomologie motivique [V1], et également sur les groupes
de Chow(2) .
Les opérations de Steenrod en cohomologie motivique sont un outil important
dans la démonstration de la conjecture de Milnor [ ] par Voevodsky et elles ont
d'autres applications importantes en géométrique algébrique, notamment en théorie des formes quadratiques, à travers la cohomologie motivique des quadriques
projectives associées. Ces sujets font apparaître des aspects nouveaux fascinants,
notamment à travers les questions de changement de base, et le problème de démonstration de l'existence de cycles algébriques.
Les travaux ultérieurs de Yagita [
] étendent les calculs de Voevodsky
utilisés dans la démonstration de la conjecture de Milnor(3) . Ils sont également
intéressants en relation avec des résultats en théorie d'homotopie Z/2-équivariante,
où il existe une algèbre de Steenrod analogue pour la cohomologie équivariante de
Mackey [
].
V2
Y, Y2, Y3
HK
PARTIE II
PRÉSENTATION DES TRAVAUX
Les résultats présentés dans cette synthèse concernent, pour la plupart entre eux,
les travaux de l'auteur sur la catégorie Fp et les applications de cette théorie à la
catégorie Up . Le plus souvent, le corps Fp est le corps premier F2 à deux éléments ;
les méthodes utilisées s'étendent au cas de la catégorie Fq dénie à partir de la
catégorie des espaces vectoriels sur un corps ni Fq , pas nécessairement premier.
La présentation des travaux n'est pas par ordre chronologique, mais commence
par la description générale de la catégorie U des modules instables et procède ensuite à l'étude de la catégorie des foncteurs et aux applications des techniques de
foncteurs.
(2) Une
présentation de la construction des opérations de Steenrod motiviques est donnée dans les
notes [
] ; ce texte suit la construction originale donnée par Voevodsky et non pas l'approche
modiée de [ ].
(3) La prépublication en préparation [
] reprend et étend ces travaux.
P11
V1
P17
5
SYNTHÈSE
2. La catégorie des modules instables revisitée et quelques applications
Cette section présente les résultats de l'article [P15], qui reconsidère la structure
de la catégorie des modules instables. Le but de ce travail est à la fois de placer
l'étude de la catégorie des modules instables dans le cadre de la théorie des catégories
abéliennes tensorielles et aussi de revisiter la théorie de localisation loin des modules
nilpotents [
] lorsqu'on travaille sur un corps premier de caractéristique impair.
Cette théorie est importante dans la généralisation(4) des résultats de [
], qui
sont valables uniquement en caractéristique deux, au cas de caractéristique impair.
HLS
P16
2.1. La catégorie des modules instables. La catégorie Up des modules
instables est une catégorie abélienne tensorielle ; elle admet un foncteur bre Up →
VF ? , où VF ? est la catégorie des F2 -espaces vectoriels si p = 2, munie de sa structure
tensorielle habituelle, et la catégorie des espaces vectoriels Z/2-gradués si p > 2,
munie du produit tensoriel gradué et dont la loi de commutativité fait intervenir les
signes de Koszul.
Par la théorie générale des catégories abéliennes tensorielles [
], la catégorie
U2 admet une description en tant que catégorie de comodules (par rapport au produit tensoriel complété) sur une bialgèbre. Lorsque p vaut 2, les travaux de Kuhn
[ ] entraînent l'existence d'une telle description ; par contre, pour p un premier
impair, les arguments de Kuhn donnent uniquement une description de la souscatégorie des modules instables concentrés en degré pair ; en particulier, on perd
tout renseignement sur le Bockstein.
Milnor [ ] calcula le dual de l'algèbre de Steenrod à l'aide de sa coaction sur
∗
H (BZ/p) ; cette construction se généralise pour dénir une bialgèbre Z/2-graduée
universelle Bp dont le dual A∗p de l'algèbre de Steenrod est un quotient.
DM
K
Mi
P15
Théorème 2.1.1.
[
] Pour p un premier impair, l'algèbre Z/2-graduée commutative, B := F[u] ⊗ Λ(τi |i ≥ 0) ⊗ F[ξj |j ≥ 0] ⊗ Λ(w) admet une structure de
bialgèbre telle qu'il existe une structure de B-comodule (par rapport au produit tensoriel completé) sur H ∗ (BZ/p) qui satisfait une propriété universelle.
Remarque 2.1.2.
La propriété universelle correspond à une condition d'additivité par rapport à la structure d'algèbre de Hopf primitivement engendrée de
H ∗ (BZ/p). En eet, la bialgèbre B devrait être considérée comme la bialgèbre d'endomorphismes de H ∗ (BZ/p).
L'élément w engendre un idéal de Hopf dans B ; de même, modulo w, l'élément
ξ0 − u2 engendre un idéal de Hopf, donc on peut passer au quotient.
Théorème 2.1.3.
[
P15] Pour p un premier impair, il existe un morphisme
de bialgèbres Z/2-graduées Bp
/ / Ã∗ := Bp /hw, ξ0 − u2 i et la catégorie Up est
p
équivalente à la catégorie des Ã∗p -comodules à droite.
L'importance de cette description de la catégorie des modules instables en tant
que catégorie de comodules est que la condition d'instabilité est implicite : elle
intervient dans la structure de la bialgèbre Ã∗p . On en déduit que les générateurs
projectifs et les cogénérateurs injectifs de Up admettent des descriptions élémentaires
à l'aide de produits cotensoriels.
(4) travail
en préparation
6
G.M.L. POWELL
Remarque 2.1.4.
La catégorie de comodules sur la bialgèbre quotient Bp /hwi
dénit une catégorie de modules instables bigradués Upbi.gr , munie d'un foncteur
oubli Upbi.gr → Up . La structure de cette catégorie éclaircit la structure de Up et de ses
générateurs projectifs et cogénérateurs injectifs [
], ce point de vue généralisant
les arguments habituels de restriction à la catégorie de modules instables concentrés
en degré pair.
P15
2.2. Localisation loin des modules nilpotents. Notation 2.2.1.
An d'alléger la notation, désormais les catégories Up , Fp seront dénotées respectivement par U , F et le corps premier Fp sera dénoté par F.
La théorie de la localisation loin des modules nilpotents N il ⊂ U , due à Henn,
Lannes et Schwartz [
] est un outil fondamental pour l'étude de la structure de la catégorie des modules instables. Elle relie la catégorie U à la catégorie
des foncteurs F de la catégorie des F-espaces vectoriels de dimension nie vers la
catégorie des F-espaces vectoriels.
La catégorie F , est abélienne, la structure étant induite par celle de la catégorie
image. Les objets simples de F sont indexés par les représentations irréductibles des
groupes linéaires GLn (F) ; un objet de F est ni s'il admet une série de composition
de longueur nie. La sous-catégorie pleine Fω ⊂ F des foncteurs analytiques est
la plus petite sous-catégorie épaisse qui est fermée sous la formation de colimites
ltrées et qui contient les objets nis.
Il existe un foncteur exact l : U → F qui induit une équivalence de catégories
U/N il ∼
= Fω ; le foncteur l s'identie au foncteur V 7→ HomU (−, H ∗ (BV ))0 , où (−)0
est le dual proni. L'exactitude de l correspond au fait que H ∗ (BV ) est injectif dans
la catégorie U . Kuhn [ ] montra dans le cas p = 2 que l'injectivité de H ∗ (BV ) est
conséquence d'une propriété fondamentale de la catégorie F : soit F ∈ F un foncteur
L ni
ni, alors F se plonge dans une somme directe nie
S de foncteurs puissances
symétriques. La théorie de [
] permet d'étendre ce résultat au cas p > 2 à l'aide
du théorème suivant, dans lequel Λa est le foncteur a-ième puissance extérieure et
Γb est le foncteur b-ième puissance divisée.
HLS, K
K
P15
P15
Théorème 2.2.2. [ ] La catégorie U(B) des B-comodules à droite est équivalente à la catégorie des représentations Rep(S op ) associée à la sous-catégorie pleine
de F ayant pour objets {Λa ⊗ Γb |a, b ≥ 0}. De plus
1. il existe un foncteur oubli exact U(B) → U ;
2. le foncteur oubli induit une équivalence de catégories U(B)/N il(B) ∼
= U/N il,
où N il(B) est l'image réciproque de N il.
Le foncteur de localisation U → U/N il admet un adjoint à droite, r : U/N il →
U ; un objet M ∈ U est réduit si le morphisme canonique M → rlM est injectif et
est nil-fermé s'il est bijectif. La théorie de Kuhn donne une description du foncteur
correspondant r : F → U dans le cas p = 2 ; le théorème ci-dessus permet d'étendre
ceci au cas p > 2.
Théorème 2.2.3.
P15
[
] Le foncteur section r : U/N il → U se factorise à
travers le foncteur r(B) : U(B)/N il(B) → U(B).
Remarque 2.2.4. Lorsque p = 2, il y a une catégorie auxiliaire UM de modules instables qui intervient, qui est reliée à une théorie de modules instables
7
SYNTHÈSE
P15
motiviques [
]. La cohomologie motivique est une théorie de cohomologie bigraduée et l'algèbre de Steenrod motivique est naturellement bigraduée ; l'introduction
d'une catégorie de modules instables bigradués est donc attendue dans ce contexte.
Tout objet de la catégorie UM est un module sur l'algèbre Z/2[τ ] et la catégorie
est construite comme algèbre de comodules sur l'objet algébrique qui correspond aux
endomorphismes de la Z/2[τ ]-algèbre de Hopf Z/2[τ ][x, y]/(x2 = τ y). Les augmentations Z/2[τ ] ⇒ Z/2, qui correspondent aux applications τ 7→ 0, 1 respectivement,
donnent naissance à un diagramme de foncteurs
UM
/ U bigr,t
U,
où U bigr,t est une variante de la catégorie des modules instables bigradués.
Cette théorie permet de redémontrer de manière très conceptuelle les résultats de
Yagita [ ] sur la cohomologie motivique d'espaces classiants de groupes discrets.
En eet, les arguments de Yagita font intervenir un argument de poids ; cet argument
correspond à la construction d'un foncteur U → UM , qui admet une description
naturelle dans cette théorie.
Y
3. La structure des injectifs standards et la conjecture artinienne
Cette section présente les travaux de l'auteur sur la structure des injectifs standards de la catégorie F , notamment inspirés par la conjecture artinienne. Les objets
injectifs standards sont des objets analytiques mais, en dehors des objets constants,
ne sont jamais nis. Ils présentent une structure très riche, dont l'étude a nécessité
le développement de nouveaux outils.
Ces travaux correspondent à la suite d'articles [
].
P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10
3.1. La structure des objets injectifs de F . L'objet H (BV ) ∈ U correspond au foncteur injectif I ∈ F déni par W 7→ F
; la théorie de
nil-localisation [HLS] sous-entend l'isomorphisme
∗
V
Hom(W,V )
HomU (H ∗ (BV ), H ∗ (BW )) ∼
= F[Hom(W, V )]
AGM
d'Adams-Gunawardena-Miller [
]. En particulier, l'anneau d'endomorphismes
op
de IV est F[End(V )] et la décomposition en injectifs indécomposables de IV se
décrit à l'aide de la théorie des représentations modulaires de l'anneau du semigroupe End(V ). La ltration par le rang des morphismes entre espaces vectoriels
permet de relier ceci à la théorie des représentations modulaires des groupes linéaires
GLn (F).
Les foncteurs injectifs indécomposables sont des foncteurs analytiques mais ils
ne sont pas nis, sauf dans le cas du foncteur constant F ; par exemple, les facteurs
indécomposables (non-constants) de IF sont unisériels et innis, c'est à dire qu'ils
possèdent une série de composition unique qui est innie. Cependant, la structure
des objets IV , pour dim(V ) > 2, est nettement plus compliquée ; dans le cas général,
il n'est pas réaliste de chercher une description explicite de leur treillis de sousobjets.
Le foncteur d'évaluation en : F → Mod(F[End(Fn )]), F 7→ F (Fn ), où
Mod(F[End(Fn )]) représente la catégorie de modules à gauche sur F[End(Fn )],
8
G.M.L. POWELL
admet un adjoint à droite rn : Mod(F[End(Fn )]) → F . Ces foncteurs permettent la
dénition des objets co-Weyl suivants.
P7
Proposition 3.1.2. [P7] Pour J
Dénition 3.1.1. [ ] L'objet co-Weyl associé à un foncteur simple S de F
est le foncteur JS := rn en S , où n est l'entier le plus petit tel que en S 6= 0.
S
:= rn en S un objet co-Weyl,
1. le foncteur JS est analytique ;
2. le foncteur JS est ni si et seulement si S = F ;
3. pour T ∈ F un objet simple,
HomF (T, JS ) =
F
0
T ∼
=S
sinon ;
4. le morphisme HomF (JS , IFn ) → HomF (S, IFn ) induit par tout monomorphisme S ,→ Js est bijectif.
La propriété fondamentale des objets co-Weyl dans Fω est donnée par le théorème
suivant, qui est analogue à certaines des propriétés de catégories à poids supérieurs
(voir [
], par exemple).
CPS
P7
Théorème 3.1.3. [ ] Tout facteur indécomposable de IV admet une ltration
nie dont les sous-quotients sont des objets co-Weyl. Une telle ltration est déterminée par son évaluation sous le foncteur en , pour n = dim(V ).
Ce théorème montre que les foncteurs injectifs sont construits à partir des objets co-Weyl ; donc une étape essentielle dans l'étude de la structure des injectifs
indécomposables est celle de la structure des objets co-Weyl.
Exemple 3.1.4.
Pour p = 2, le foncteur co-Weyl associé au foncteur Λn est
noté D(n). L'objet D(n) est l'exemple type d'un objet co-Weyl et la structure des
objets JS := rn en S est liée à la structure de D(n).
1. Le foncteur IF se décompose en IF ∼
= F ⊕ IF et il existe un isomorphisme
IF ∼
= D(1).
2. Pour n ≥ 2, le foncteur D(n) n'est pas injectif. Par exemple, l'enveloppe
injective de Λ2 admet une ltration dont le gradué associé est D(2)⊕2 ⊕ D(1).
En général, le foncteur F ⊕ D(n) prend ses valeurs dans la catégorie des F-algèbres
de Boole. Tout foncteur co-Weyl JS associé à l'entier n est naturellement un module
sur F ⊕ D(n).
Le foncteur D(n) admet une description explicite élémentaire ; il est plus commode de décrire le foncteur dual DD(n), où D : F op → F est le foncteur dualité
donné par DF (V ) = F (V ∗ )∗ . Pour V un espace-vectoriel de dimension nie, soit
Grn (V ) l'ensemble de sous-espaces de dimension n. En tant que espaces vectoriels
DD(n) = F[Grn (V )];
un morphisme f : V → W envoie un générateur [π], pour π ∈ Grn (V ), à son image
dans W , si ceci appartient à Grn (W ), et à 0 sinon.
Remarque 3.1.5. L'objetn D(n) est très important dans la théorie des algèbres
instables ; soit H ∗ (BFn )GL(F ) l'algèbre des invariants de Dickson et soit ωn l'inn
variant supérieur, alors l'idéal ωn H ∗ (BFn )GL(F ) admet la structure d'une algèbre
instable dont le module instable sous-jacent correspond au foncteur D(n) à travers
le foncteur l : U → F .
9
SYNTHÈSE
3.2. La ltration polynomiale du foncteur T de Lannes. Hypothèse 3.2.1.
Dans cette section, supposons que p vaut 2.
Le foncteur T de Lannes est l'adjoint à gauche du foncteur H ∗ (BF)⊗− : U → U ;
˜ : F → F , déni par ∆(F
˜ )(V ) := F (V ⊕ F),
ceci correspond au foncteur décalage ∆
qui est l'adjoint à gauche du foncteur IF ⊗ − : F → F . Il existe une décomposition
˜ )(V ) ∼
naturelle ∆(F
= F (V ) ⊕ ∆F (V ), qui dénit le foncteur diérence ∆. Ces foncteurs sont des outils puissants pour étudier la catégorie F ; en particulier, la notion
d'un foncteur polynomial (à la Eilenberg-MacLane) se dénit très facilement comme
suit : un foncteur F est polynomial de degré ≤ d si et seulement si ∆d+1 (F ) = 0.
Remarque 3.2.2.
Une propriété fondamentale de la catégorie F est que tout
objet simple de F est polynomial. On en déduit l'équivalence entre la notion de
foncteur polynomial et foncteur ni pour les foncteurs qui prennent des valeurs de
dimension nie. Cette propriété n'est plus valable en général dans des catégories
de foncteurs de la forme Fonct(C, VF ), pour C une catégorie petite munie d'une
structure symétrique monoïdale et VF la catégorie des F-espaces vectoriels.
˜ est la restriction à W = F du bifoncteur induit (V, W ) 7→
Le foncteur ∆F
F (V ⊕ W ). Ce foncteur admet une ltration polynomiale par rapport à la deuxième
˜.
variable, qui induit une ltration du foncteur ∆
Proposition 3.2.3.
P6] Le foncteur ∆˜ admet
une ltration croissante natu˜
[
relle par des sous-foncteurs exacts à gauche [pt ∆].
Remarque 3.2.4.
˜ admettent des foncteurs adjoints à gauche ;
1. Les foncteurs [pt ∆]
˜ du foncteur diérence ; pour les applications
2. il existe une ltration duale [qt ∆]
˜ sont les plus utiles.
données ici aux foncteurs analytiques, les foncteurs [pt ∆]
3. Les foncteurs [pt ∆] (respectivement [qt ∆]) peuvent être reliés à des foncteurs
de division (respectivement foncteurs de hom interne) dans la catégorie F .
Les foncteurs quotients de cette ltration sont très utiles.
Dénition 3.2.5.
P6] Pour s ≥ 1 un entier, le foncteur ∇˜
[
˜
˜
quotient ∆/[ps−1 ∆].
s
: F → F est le
Remarque 3.2.6.
˜ s peuvent être considérés comme étant des
Les foncteurs ∇
˜ 1 = ∆.
généralisations du foncteur diérence ∆, puisque ∇
P6
˜ s . Pour énonL'article [ ] établit des propriétés fondamentales des foncteurs ∇
cer le résultat suivant, rappelons que les objets simples de la catégorie F peuvent
également être construits à partir des représentations irréductibles des groupes symétriques ; ils sont indexés par les partitions 2-régulières : le foncteur simple indexé
par la partition 2-régulière (λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λm > 0) est le facteur de composition
N
supérieur(5) du produit tensoriel i Λλi .
Théorème 3.2.7.
P6
[ ] Soit s ≥ 1 un entier.
˜
1. Le foncteur ∇s préserve les injections et les surjections ;
˜ s (IV ) est injectif pour tout entier s ≥ 1 et s'annule pour s 0, où IV est
2. ∇
le foncteur injectif, pour V un espace vectoriel de dimension nie ;
(5) par
rapport à l'ordre dominance sur les partitions 2-régulières
10
G.M.L. POWELL
3. pour Sλ un foncteur simple indexé par la partition 2-régulière λ = (λ1 ≥ λ2 ≥
. . . ≥ λm > 0),
0
s>m
˜
∇ s Sλ =
Sλ s = m
où λ est la partition 2-régulière (λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ . . . ≥ λm − 1 ≥ 0).
Remarque 3.2.8.
La dernière propriété est analogue à la théorie de `column
stripping' étudiée par G. James en théorie des représentations des groupes symétriques [ ].
J
Exemple 3.2.9. Pour a ≥ b > 0 des entiers, les facteurs de composition des
objets Λa ⊗ Λb sont de la forme S(λ1 ,λ2 ) , où λ1 > λ2 ≤ b et il existe un facteur de
˜ 2 S(a,b) =
composition supérieur unique S(a,b) . On a ∇˜2 (Λa ⊗Λb ) = Λa−1 ⊗Λb−1 et ∇
˜ 2 détecte ainsi la
S(a−1,b−1) ; dans un sens qui peut être rendu précis, le foncteur ∇
présence du facteur de composition S(a,b) .
˜ s ; quelques propriétés générales de
On peut composer les foncteurs de la forme ∇
ces compositions sont étudiées dans [ ].
Dénition 3.2.10.
P6
P6
˜ s -nilpotent s'il
[ ] Un foncteur analytique F ∈ Fω est ∇
k
˜
existe un entier k tel que (∇s ) (F ) = 0. La sous-catégorie pleine des foncteurs
˜ s -nilpotent est notée ∇
˜ s − N il.
∇
˜ s -nilpotent est une généralisation de celle
La dénition d'un foncteur analytique ∇
d'un foncteur polynomial, qui correspond au cas s = 1.
Théorème 3.2.11.
Pour s, t des entiers non-négatifs,
P6] la catégorie ∇˜ − N il ⊂ F
˜
2. [P10] le foncteur F ⊗ G est ∇
˜
1. [
s
ω
est pleine ;
˜ s − N il et
-nilpotent, pour tous F ∈ ∇
G ∈ ∇t − N il prenant des valeurs de dimension nie.
s+t−1
P10
˜ ∗ -nilpotence donne une bonne notion
L'article [
] montre que la notion de ∇
de dimension d'un module instable, qui généralise le degré de transcendance d'une
algèbre instable noethérienne. Ces considérations généralisent la ltration de Krull
de la catégorie U (à la Gabriel) étudiée par Schwartz.
Remarque 3.2.12.
P10
Les résultats de [
] peuvent être étendus ; en particulier,
ils donnent des renseignements importants sur la structure d'un module instable
muni d'une action par une algèbre instable noethérienne.
3.3. La Conjecture Artinienne. La conjecture artinienne arme que les
foncteurs injectifs IV sont des objets artiniens, pour V un espace vectoriel de dimension nie. Cette conjecture admet plusieurs formulations équivalentes : par exemple,
t
t+1
soit Φ−1 S n la colimite du système direct . . . S p n → S p n . . . déni par le Frobenius ; le foncteur Φ−1 S n est injectif dans la catégorie des foncteurs analytiques. La
conjecture artinienne est équivalente à la conjecture que Φ−1 S n est injectif dans F ,
pour tout entier n non-négatif.
Hypothèse 3.3.1.
2.
Désormais dans cette section nous supposerons que p vaut
11
SYNTHÈSE
Le cas dim V ≤ 1 de la conjecture artinienne est facile, tandis que même le cas
dim V = 2 présente des dicultés signicatives. La conjecture pour IV se réduit
facilement à l'étude des objets co-Weyl qui s'injectent dans IV .
Le résultat le plus général qui concerne la conjecture artinienne est le Théorème
de simplicité suivant, qui démontre à la fois l'importance des objets co-Weyl ainsi
˜ ∗ -nilpotence.
que de la notion de ∇
Théorème 3.3.2.
[
P7] Soit J
S
un objet co-Weyl qui se plonge dans IFn ; alors
˜ n -nilpotent ;
1. le foncteur JS n'est pas ∇
˜ n -nilpotent.
2. tout foncteur propre F ⊂ JS est ∇
Ce théorème montre que le foncteur JS se comporte comme un objet simple dans
˜ n -nilpotents. Ce
la catégorie des foncteurs analytiques localisée loin des foncteurs ∇
théorème inspire des versions fortes de la conjecture artinienne, qui sont discutées
dans l'article [ ].
L'article [ ] étudie la conjecture artinienne pour IF2 .
P8
P4
Théorème 3.3.3.
[
P4] Le foncteur I
F2
est artinien.
˜ 2 déni dans la section précédente ; ce
La démonstration utilise le foncteur ∇
foncteur détecte tous les facteurs de composition mis à part les puissances extérieures. Le théorème de simplicité montre qu'on peut se limiter à la considération
˜ 2 -nilpotents de IF2 .
des sous-foncteurs ∇
Une étape essentielle de la démonstration est le résultat principal de [ ] dont
la première démonstration est due à Piriou [ ]. Le foncteur IF de l'énoncé suivant
est déni par la décomposition IF ∼
= IF ⊕ F.
P5
Pi
Théorème 3.3.4.
artinien.
[
P5] Pour tout entier n non-négatif, le foncteur I ⊗ Λ
F
n
est
n
Le résultat est plus précis ; il existe une suite exacte courte K → IF ⊗ Λn →
n
K
pour tout entier positif n et chaque sous-foncteur propre de K est ni, en
n
particulier K est artinien.
n−1
Remarque 3.3.5.
s
Les foncteurs K admettent des généralisations très natus
relles lorsqu'on considère les foncteurs D(n) ⊗ Λs ; les foncteurs K correspondent
au cas n = 1. Ceci est la première étape dans l'étude de la décomposition des
foncteurs D(n) ⊗ Λs en tant que D(n)-modules.
La diculté de la conjecture artinienne est de formuler une bonne stratégie récursive pour sa démonstration ; on doit montrer que le théorème de simplicité, qui
est un résultat global, entraîne la conjecture. Dès qu'on passe à l'étude de IV , pour
V de rang supérieur à deux, il n'est plus possible d'étudier la structure de ces foncteurs d'une manière aussi explicite que dans le cas de rang inférieur, en raison des
˜ n qui est l'outil
dicultés en théorie des représentations. D'ailleurs, le foncteur ∇
principal dans le théorème de simplicité, détecte a priori beaucoup moins de la
structure des foncteurs dès que n est supérieur à deux.
Une stratégie possible qui se présente serait de généraliser la démonstration du
résultat principal de [ ], qui dépend d'un argument de récurrence à l'aide du
foncteur diérence.
P9
Théorème 3.3.6. [P9] Pour F un foncteur ni, le foncteur I ⊗F est artinien.
F
12
G.M.L. POWELL
Remarque 3.3.7.
Dans le cas où F = S est un objet simple, la démonstration
fournit un sous-foncteur inni KS ⊂ IF ⊗S dont tout sous-objet propre est ni. Ceci
est le point de départ pour l'étude de tels foncteurs en général ; cependant il y a des
dicultés considérables qui se présentent et on est loin d'avoir une classication des
objets de ce type (à foncteur ni près).
3.3.1. Quelques avancées récentes. La diculté de la conjecture artinienne est
illustrée par le fait qu'on ne sait pas démontrer en général que F artinien entraîne
que F ⊗ Λ1 est artinien. Par exemple, la démonstration que le foncteur D(2) ⊗ Λ1
est artinien est hautement non-trivial.
En eet, les travaux récents de Aurélien Djament(6) [ ] démontrent que ce
foncteur est artinien. Il a étendu ses résultats à l'étude des foncteurs IF⊗2 ⊗ Λn , pour
tout entier n ; ses méthodes exploitent de nombreuses techniques qui ont été utilisées
par Lionel Schwartz et par moi-même, notamment en faisant appel à une étude de
ltrations des foncteurs qu'il étudie dont les sous-quotients sont de foncteurs de
Weyl.
Ces résultats donnent l'espoir qu'une démonstration que le foncteur IF⊗3 est artinien est à portée de main.
Dj
4. Les espaces d'Eilenberg-MacLane K(V, n)
Cette section présente les résultats de l'article [P16] sur les espaces d'Eilenberg-
MacLane K(V, n), où V est un 2-groupe abélien élémentaire. Cet article exploite
la théorie de localisation de la catégorie des modules instables loin des modules
nilpotents an de répondre à une question ouverte depuis longue date, proposée par
Stewart Priddy.
L'article [
] ne considère que le cas de caractéristique deux ; la stratégie
s'adapte à la situation de caractéristique impair, bien que ce cas est nettement
plus compliqué. Les travaux de l'auteur en caractéristique impair feront l'objet
d'un article ultérieur.
P16
4.1. Endomorphismes de la cohomologie d'un espace d'Eilenberg MacLane. L'espace d'Eilenberg-MacLane K(A, n) associé à A, un groupe abélien,
et à un entier n est l'espace topologique qui représente la cohomologie singulière
de degré n à coecients A ; son type d'homotopie est déterminé par ses groupes
d'homotopie, πn (K(A, n)) ∼
= A, tous les autres groupes étant triviaux.
∞
Le foncteur Σ de spectre de suspensions associe à un espace pointé un objet
de la catégorie d'homotopie stable, SH. La catégorie SH est une catégorie triangulée munie d'une structure tensorielle fournie par le produit smash de spectres. Le
problème suivant est très naturel :
Problème 4.1.1.
Décomposer le spectre Σ∞ K(A, n) en facteurs indécompo-
sables.
Le cas n = 1 correspond à la théorie des décompositions dans la catégorie d'homotopie stable du spectre Σ∞ BA, cas particulier de la théorie des décompositions
de Σ∞ BG, où G est un groupe ni. En ce cas, la conjecture de Segal fournit un
calcul explicite de l'anneau d'endomorphismes du spectre, et donc une réponse à la
question.
(6) qui
prépare une thèse codirigée par moi-même et par Lionel Schwartz
SYNTHÈSE
13
Le calcul de l'anneau d'endomorphismes du spectre Σ∞ K(A, n) est un problème
extrêmement dicile en général ; donc on aborde la question à l'aide de la cohomologie singulière à coecients dans Fp . Il existe un morphisme d'anneaux :
EndSH (Σ∞ K(A, n))op → EndU (H ∗ (K(A, n))),
qui provient du fait que la cohomologie singulière d'un spectre de suspensions est
naturellement un module instable sur l'algèbre de Steenrod et que la catégorie U
est une sous-catégorie pleine de la catégorie des modules sur l'algèbre de Steenrod.
Le problème topologique peut être abordé en considérant le problème entièrement
algébrique suivant, a priori plus faible, dont la résolution donne des renseignements
importants sur le problème topologique.
Problème 4.1.2.
Calculer l'anneau d'endomorphismes EndU (H ∗ (K(A, n))),
pour A un p-groupe abélien.
On se limite aux p-groupes abéliens, puisqu'on travaille avec la cohomologie à
coecients dans F. Dans un premier temps, on se restreint au cas des p-groupes
abéliens élémentaires, V . La cohomologie d'un espace d'Eilenberg-MacLane K(V, n)
est connue depuis les travaux de Cartan et Serre ; en tant que module instable, pour
n > 1, c'est un objet énorme : en eet, en tant qu'algèbre graduée commutative, elle
est libre sur un nombre inni de générateurs. Pour cette raison, il est indispensable
de pouvoir simplier le calcul à l'aide du passage à la localisation loin des modules
nilpotents. En général, la cohomologie d'un espace d'Eilenberg-MacLane K(V, n)
est un module instable réduit ; dans le cas p = 2, c'est un module nil-fermé.
Hypothèse 4.1.3.
Désormais dans cette section, supposons que p = 2.
Exemple 4.1.4.
Pour n un entier non-négatif et V un 2-groupe abélien élémentaire, la cohomologie de l'espace d'Eilenberg-MacLane K(V, n) s'identie au
module instable sous-jacent à U (F (n)⊕ dim V ), où U : U → K est le foncteur algèbre
enveloppante et F (n) est le module instable libre sur un générateur de degré n.
Kuhn démontra [ ] que le foncteur algèbre enveloppante correspond au foncteur
IF ◦ − : F → F de composition avec le foncteur IF . Ce résultat identie l'objet
lH ∗ (K(V, n)) ∈ F avec le foncteur IF ◦ ((Γn )⊕ dim V ) ∼
= IV ◦ Γn .
K3
Par conséquent, la théorie de localisation loin des modules nilpotents donne l'isomorphisme EndU (H ∗ (K(V, n)) ∼
= EndF (IV ◦ (Γn )) ; le calcul de l'anneau d'endomorphismes dans la catégorie des foncteurs reste néanmoins un problème dicile,
puisque le foncteur IV ◦ (Γn ) est un foncteur analytique très gros. Toutefois, ce
calcul est abordable à l'aide de techniques de calcul dans la catégorie des foncteurs,
notamment en faisant appel aux foncteurs exponentiels.
Dénition 4.1.5.
Un foncteur E est exponentiel s'il existe un isomorphisme
∼
naturel E(V ⊕ W ) = E(V ) ⊗ E(W ), pour tous espaces vectoriels V, W de dimension
nie. (Dans le cas gradué, on remplace le produit tensoriel par le produit tensoriel
gradué).
P16
Un des résultats principaux de l'article [
] montre que la cohomologie d'un
espace d'Eilenberg-MacLane est `rigide' dans la catégorie des modules instables.
P16
Théorème 4.1.6. [ ] Pour n un entier positif, la cohomologie réduite
∗
H (K(F2 , n)) n'admet pas d'endomorphismes non-triviaux dans la catégorie des
modules instables.
14
G.M.L. POWELL
Ce théorème entraîne une propriété importante dans la catégorie d'homotopie
stable.
AK
Dénition 4.1.7.
Un spectre p-local, connexe, X ∈ SH, est atomique [
] si
le premier groupe d'homotopie stable non-trivial est un Z(p) -module cyclique et un
endomorphisme f de X dans SH est un automorphisme si et seulement si f induit
un isomorphisme sur le premier groupe d'homotopie stable.
Corollaire 4.1.8.
P16] Le spectre de suspensions Σ
[
∞
atomique dans la catégorie d'homotopie stable.
K(F2 , n) est un spectre
Ces résultats admettent une généralisation qui correspond au théorème d'AdamsGunawardena-Miller :
Théorème 4.1.9.
Soient V, W 2-groupes abéliens élémentaires et soit n un entier non-négatif, alors il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels
HomU (H ∗ (K(V, n)), H ∗ (K(W, n))) ∼
= F[Hom(W, V )].
On en déduit le corollaire suivant :
Corollaire 4.1.10.
Pour V un 2-groupe abélien élémentaire et n un entier nonnégatif, le spectre Σ K(V, n) admet une décomposition en facteurs indécomposables
∞
en bijection avec la décomposition en facteurs indécomposables de la représentation
régulière de F[End(V )].
La stratégie de démonstration du théorème est la suivante : pour E, F ∈ F
foncteurs prenant des valeurs de dimension nie, il existe un morphisme naturel de
linéarisation
F[HomF (E, IF ◦ F )] → HomF (IF ◦ E, IF ◦ F ).
On cherche des conditions pour que le morphisme de linéarisation soit une bijection.
Remarque 4.1.11.
Le principe de linéarisation de Lannes entraîne que le morphisme de linéarisation est un isomorphisme si F est un foncteur linéaire, c'est à
dire un foncteur de la forme V 7→ V ⊗ X , pour X un espace vectoriel de dimension
nie.
L
n
Le foncteur IF est naturellement un quotient du coproduit
n≥0 S , donc il
existe un monomorphisme naturel
Y
HomF (IF ◦ E, IF ◦ F ) ,→
HomF (S n ◦ E, IF ◦ F ).
n≥0
On peut rendre plus précis cette observation : le foncteur IF correspond au foncteur
algèbre de Boole libre et donc s'exprime comme le coégalisateur du diagramme
L
t≥2
φt
S t−2 ⊗ S 1
µt
//
L
n≥0
Sn,
où S t est la tième puissance symétrique, le morphisme µt : S t−2 ⊗ S 1 → S t−1 est le
1⊗φ
µ
produit et φt est la composée S t−2 ⊗ S 1 → S t−2 ⊗ S 2 → S t , où φ : S 1 → S 2 est le
Frobenius et µ est le produit.
On en déduit que HomF (IF ◦ E, IF ◦ F ) est l'égalisateur du diagramme
Q
n≥0
HomF (S n ◦ E, IF ◦ F )
∂
∗
µ
//
Q
t
HomF ((S t ⊗ S 1 ) ◦ E, IF ◦ F ),
15
SYNTHÈSE
On peut calculer les objets qui apparaissent dans ce diagramme, sous certaines
hypothèses sur les foncteurs E et F . Ce calcul procède par les étapes suivantes.
L'espace HomF (S n ◦ E, IF ◦ F ) s'identie avec l'espace d'invariants
HomF (E ⊗n , IF ◦ F )Sn
pour l'action du groupe symétrique Sn induit par son action par permutations
de place sur E ⊗n . Une description similaire existe pour HomF ((S t ⊗S 1 )◦E, IF ◦
F ).
La démonstration [ ] que HomF (Γ∗ , IF ◦ F ) est isomorphe à l'algèbre enveloppante U (HomF (Γ∗ , F )) se généralise au cas d'un produit tensoriel de
puissances divisées. Cette généralisation s'exprime en termes de foncteurs exponentiels multi-indexés sous l'hypothèse que les morphismes Verschiebung
associés soient surjectifs.
Lorsque F est un foncteur exponentiel, les Sn -modules obtenus ainsi sont des
modules de permutation ; le calcul des invariants est donc élémentaire.
Le morphisme µ∗ correspond à l'inclusion d'invariants et est facile à calculer ; le
morphisme ∂ , qui est induit par les morphismes φt , est une dérivation et on peut le
calculer en principe.
Il s'avère que les espaces de morphismes HomF (S n ◦ E, IF ◦ F ) et HomF ((S t ⊗
1
S ) ◦ E, IF ◦ F ) sont très gros, en général. Les résultats principaux de [
] correspondent à la démonstration que l'égalisateur correspond à l'image du morphisme
de linéarisation. La démonstration utilise une étude détaillée des éléments de l'égalisateur.
K3
P16
P16
Remarque 4.1.12.
Les arguments de [
] se généralisent au cas d'un premier
impair. Cependant, la situation est d'autant plus compliquée puisque le module
instable H ∗ (K(V, n)) n'est plus nil-fermé pour n > 1. Un nombre d'arguments
supplémentaires sont nécessaires ; ce travail fera l'objet d'un article ultérieur.
Les résultats cités ci-dessus donnent quelques indications sur la structure des
foncteurs analytiques qui sont gros (qui ne s'injectent pas dans un injectif de la
forme IV ), utilisant les constructions suivantes.
Dénition 4.1.13.
Soit n un entier non-négatif. Soit γn : Fω → Fω le foncteur
déni par :
γn F (V ) := HomF (F, IV ◦ Γn )0 ,
où le dual proni (−)0 est formé par rapport à la structure pronie naturelle induite
par la structure de foncteur analytique de F .
Il est élémentaire de vérier que le foncteur γn est l'adjoint à gauche du foncteur
exact − ◦ Γn : Fω → Fω . Le foncteur γn n'est pas exact mais il a de bonnes
propriétés. Soit sn la composée γn (−◦Γn ), alors il existe un diagramme de foncteurs
sn
Fω
◦Γn
/ Fω
γn
(
/ Fω .
//F ;
Pour tout foncteur analytique F , il existe une surjection naturelle sn F
les résultats de [
] entraînent que ce morphisme est une bijection pour F =
IW , un foncteur injectif. Puisque les foncteurs {IFm |m ≥ 0} forment un ensemble
de cogénérateurs de la catégorie Fω , ce résultat démontre que le foncteur γn se
comporte un peu comme un rétract du foncteur − ◦ Γn .
P16
16
G.M.L. POWELL
5. Sous-anneaux de la cohomologie singulière
Cette section présente les résultats de l'article [P14], qui exploite la théorie de
localisation loin des algèbres instables nilpotents an de généraliser les résultats de
Green, Hunton et Schuster [GHS] sur l'anneau de Chern généralisé associé à un
groupe discret.
Ce travail s'inspire de l'interprétation par Lannes des travaux de Quillen sur la
cohomologie des groupes discrets.
5.1. Sous-anneaux de la cohomologie singulière associés à un spectre. La théorie de localisation loin des modules instables nilpotents admet un analogue
pour les algèbres instables. Henn, Lannes et Schwartz [HLS] identièrent l'opposée
de la catégorie quotient K/N il avec la sous-catégorie Gω des objets analytiques
dans la catégorie G des préfaisceaux dans les ensembles pronis sur la catégorie des
F-espaces vectoriels de dimension nie.
Remarque 5.1.1. L'étude de la catégorie K/N il est équivalente à l'étude de la
catégorie des algèbres instables à F -isomorphisme près. En particulier, l'étude de
la variété algébrique associée à l'anneau de cohomologie d'un espace X peut être
abordée à l'aide de la théorie de [
].
HLS
Soit E ∈ SH un spectre, alors le Ω-spectre associé donne un ensemble d'espaces
{En |n ∈ Z} qui représente la théorie de cohomologie associée à E . Pour tout espace
∗
(X) de la cohomologie
topologique X , il est possible de dénir un sous-anneau HE
singulière qui est stable par les opérations de Steenrod et, par conséquent, qui est
un objet de Kp .
Dénition 5.1.2.
la sous-algèbre de la F-cohomologie singulière H ∗ (X) qui est
1. Soit
engendrée par l'image des classes de E -cohomologie E ∗ (X) par les opérations
cohomologiques induites par les éléments dans H ∗ (En ), pour tout n.
∗
(X)
HE
∗
(X) qui est engendrée par l'image des
2. Soit Ch∗E (X) la sous-algèbre de HE
∗
classes de E -cohomologie E (X) par les opérations cohomologiques induites
par les éléments H ∗ (E2n ), pour tout n.
Cette dénition très naturelle a été étudiée par Green et Leary et ensuite par
Green, Hunton et Schuster [
] dans le cadre de la cohomologie des groupes ;
elle est motivée par la dénition du sous-anneau de Chern de la cohomologie d'un
groupe discret. Le point de départ de l'article [
] est la réinterprétation du travail
de Green, Hunton et Schuster dans la catégorie K/N il. Les arguments de [
]
dépendent du travail de Hopkins, Kuhn, Ravenel [
] sur les caractères généralisés et donc imposent une hypothèse assez forte sur la théorie de cohomologie E ;
[ convient.
par exemple la théorie de Johnson-Wilson complétée E(n)
[ est que le
Une propriété importante de la théorie de cohomologie E = E(n)
morphisme d'évaluation
GHS
P14
HKR
E ∗ (BV ) → E ∗ (BFn )Hom(F
n
GHS
,V )
est un monomorphisme. Cette propriété inspire la dénition suivante.
Dénition 5.1.3.
Soit S un foncteur contravariant de la catégorie des Fespaces vectoriels de dimension nie vers la catégorie d'ensembles et soit n un
17
SYNTHÈSE
entier non-négatif. Deux sections s1 , s2 de S(V ) sont équivalentes si, pour tout
morphisme j : Fn → V d'espaces vectoriels, les sections S(j)s1 , S(j)s2 coïncident.
Cette dénition dénit une relation d'équivalence sur les sections S(V ), pour tout
espace vectoriel V de dimension nie ; le passage au quotient fournit un foncteur
βhniS muni d'une surjection canonique
S βhniS.
Le foncteur βhni induit un foncteur αhni sur la catégorie des algèbres instables,
muni d'un morphisme naturel αhni → 1. La nouvelle interprétation du résultat
principal de [
], est exprimée en termes de ces foncteurs αhni :
GHS
Théorème 5.1.4.
[
P14]
1. Pour tout entier n ≥ 0 il existe un foncteur αhni : K → K et un monomorphisme naturel αhniK ,→ αhn + 1iK , pour tout K ∈ K ;
∗
2. HE(n)
(BG) est équivalent à αhniH ∗ (BG) dans K/N il, pour tout groupe ni
G.
Le résultat suivant établit un lien général entre le point de vue chromatique de
la théorie d'homotopie stable et certains sous-anneaux naturels de la cohomologie
d'un espace qui sont dénis uniquement en terme de la structure d'algèbre instable.
P14
Théorème 5.1.5. [ ] Soit X un espace topologique tel que le morphisme
de Hurewicz [BV, X] → HomK (H ∗ (X), H ∗ (BV )) est surjectif. Alors il existe un
morphisme canonique dans K
H ∗[ (X) → αhniH ∗ (X)
E(n)
qui devient un monomorphisme dans K/N il.
Remarque 5.1.6.
Le morphisme H ∗[ (X) → αhniH ∗ (X) n'est pas un isomorE(n)
phisme en général dans K/N il, comme le montre l'exemple d'un espace d'Eilenberg[.
MacLane K(F, 2) pour E := E(1)
La théorie de Hopkins, Kuhn et Ravenel est utilisée pour montrer que la E cohomologie des espaces classiants est susamment grande ; la condition nécessaire
est précisée dans [
].
Les résultats de Green, Hunton et Schuster s'étendent à la cohomologie de Borel
d'un G-CW complexe ni, en s'appuyant toujours sur les résultats de [
].
P14
Théorème 5.1.7.
HKR
P14
[
] Pour G un groupe ni, X un G-CW-complexe ni et
n un entier ni, il existe un F -isomorphisme d'algèbres :
H ∗[ (EG ×G X) ∼F −iso αhniH ∗ (EG ×G X).
E(n)
Références
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