A k

Chapitre 1
Les oscillations
Objectif intermédiaire 2.1
Connaître les notions d'amplitude, de fréquence et d'énergie d'une oscillation, puis les employer
pour décrire le mouvement d'un oscillateur harmonique simple.
Mouvement harmonique simple
Le mouvement harmonique simple sert à décrire les oscillations d'un corps en mouvement. Dans les cas
simples, le mouvement oscillant est décrit par une fonction sinusoïdale; soit
() + t A = x(t) φωcos
où )(tx est la position (à l'instant t) en mètres,
Aest l'amplitude de l'oscillation en mètres,
ωest la pulsation en radians par seconde,
test le temps en secondes
et φest la constante de phase en radians.
Note: La calculatrice doit être en mode radian pour calculer la position en fonction du temps si les unités de
mesure sont celles indiquées.
x
(t)
A
x
0
φωt
Note : xo = A cos φ
0 < φ < π/2
xo > 0
x
(t)
A
x
0
φT
2
π
t
T
=φ
ω
v(t)
ω
A
v0
φ
Note : vo = -
ω
A sin φ
0 < φ < π/2
vo < 0
ωt
Note : ao = -
ω
2 A cos φ
0 < φ < π/2
ao < 0
ω
2A
a0
φ
a(t)
ωt

Chapitre 1: Mouvement oscillatoire Page C1-2
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La pulsation dépend de la fréquence ou de la période des oscillations; soit
T
2
= f 2 = π πω
où ωest la pulsation en radians par seconde,
fest la fréquence en hertz
et Test la période en secondes.
La période est la durée d'un cycle et la fréquence est le nombre de cycles par seconde. Ne pas confondre
la fréquence avec la pulsation.
La position en fonction du temps étant connue, les dérivées par rapport au temps permettent de calculer la
vitesse et l'accélération d'un corps ayant un mouvement oscillant. Par définition de la vitesse, on a
() ()
[]
()
φωω−
φω
⇒
φω
+ t A =
+ t A
dt
d
= v(t)
dt
dx
= v(t)
+ t A = x(t)
sin
cos
cos
où )(tx est la position (à l'instant t) en mètres,
Aest l'amplitude de l'oscillation en mètres,
ωest la pulsation en radians par seconde,
test le temps en secondes,
φest la constante de phase en radians,
v(t) est la vitesse (à l’instant t) en mètres par seconde
et dt
dx est la dérivée de la position par rapport au temps en mètres par seconde.
De même, par définition de l'accélération, on a
() ()
[]
() φω
ω
φωω−
⇒
φωω−
+ t A - =
+ t A
dt
d
= a(t)
dt
x
d
=
dt
dv
= a(t)
+ t A = v(t)
2
2
2
cos
sin
sin
où v(t) est la vitesse (à l’instant t) en mètres par seconde,
ωest la pulsation en radians par seconde,
Aest l'amplitude de l'oscillation en mètres,
test le temps en secondes,
φest la constante de phase en radians,
a(t) est l'accélération (à l'instant t) en mètres par seconde carrée,
dt
dv est la dérivée de la vitesse par rapport au temps en mètres par seconde carrée

Chapitre 1: Mouvement oscillatoire Page C1-3
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et 2
2
dtxd est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée.
Des relations utiles permettent de relier l'amplitude et la constante de phase à la position et vitesse initiales.
Ces relations utiles sont
ω
−φ
ω
⇒
φω− φ
x
v
=
x
+
v
= A
A =
v
A =
x
0
2
0
0
0
0
0
2
arctan
sin
cos
où 0
xest la position initiale (à l’instant t=0) en mètres,
Aest l'amplitude de l'oscillation en mètres,
φest la constante de phase en radians,
0
vest la vitesse initiale (à l’instant t=0) en mètres par seconde
et ωest la pulsation en radians par seconde.
L'accélération et la position sont décrites par des fonctions sinusoïdales déphasées de 180°. D'après les
résultats précédents, on a
ω
ω
⇒
ω0 = x(t) +
dt
x
d
x(t) - =
dt
x
d
x(t) - = a(t)
2
2
2
2
2
2
2
où a(t) est l'accélération (à l'instant t) en mètres par seconde carrée,
ωest la pulsation en radians par seconde,
)(tx est la position (à l'instant t) en mètres
et 2
2
dtxd est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée.
Cette dernière équation caractérise le mouvement harmonique simple. L’expression de la position en
fonction du temps découle de cette équation.
1. Un corps possède un mouvement oscillant avec une amplitude de 4 cm et une pulsation de
π/3 rd/s. La constante de phase vaut π/6 rd.
a) Quelle est la position initiale (à t=0) ?
b) Quelle est la position à t=1 s ?

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c) Quelle est la fréquence de l'oscillation ?
d) Quelle est la période de l'oscillation ?
2. La position initiale d'un corps en oscillation est de 3 cm. La fréquence de l'oscillation est de
0,2 Hz. L'amplitude du mouvement oscillant est de 5 cm. La vitesse initiale est négative.
a) Quelle est la constante de phase des oscillations ?
b) Quelle est la pulsation de l'oscillation ?
c) Quelle est la grandeur de la vitesse maximale ?
d) Quelle est la grandeur de l'accélération maximale ?
3. La position initiale d'un corps en oscillation est de 4 cm et sa vitesse initiale est de 15 cm/s.
La pulsation est de 5 rd/s.
a) Quelle est l'amplitude de l'oscillation ?
b) Quelle est la constante de phase des oscillations ?
Système masse-ressort
Une masse fixée à l'extrémité libre d'un ressort hélicoïdal constitue un système masse-ressort. Pour de
petits allongements, la force de rappel exercée par le ressort sur la masse est
x k - =
Fr
où r
Fest la force de rappel exercée par le ressort en newtons,
kest la constante de rappel en newtons par mètre
et xest l'allongement en mètres.
Si le ressort est en position horizontale, la force résultante exercée sur la masse est la force de rappel du
ressort. L'application de la 2e loi de Newton donne
x(t) k - = a(t) m
où mest la masse en kilogrammes,
a(t) est l'accélération (à l'instant t) en mètres par seconde carrée,
kest la constante de rappel en newtons par mètre
et )(tx est la position (à l'instant t) en mètres.
Avec la définition de l'accélération, la 2e loi de Newton conduit à une équation différentielle semblable à
celle pour le mouvement harmonique simple; soit
0 = x(t)
m
k
+
dt
x
d
x(t) k - =
dt
x
d
m 2
2
2
2⇒
où mest la masse en kilogrammes,

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2
dtxd est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée,
kest la constante de rappel en newtons par mètre
et )(tx est la position (à l'instant t) en mètres.
Par comparaison avec l'équation différentielle du mouvement harmonique simple, on a
m
k
=
0 = x(t)
m
k
+
dt
x
d
0 = x(t) +
dt
x
d
2
2
2
2
2
ω⇒
ω
où 2
2
dtxd est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée,
ωest la pulsation en radians par seconde,
)(tx est la position (à l'instant t) en mètres,
kest la constante de rappel en newtons par mètre
et mest la masse en kilogrammes.
Alors, on a
π
ω
πππ
ω
k
m
2 =
2
= T
m
k
21
=
2
= f
où fest la fréquence en hertz,
ωest la pulsation en radians par seconde,
kest la constante de rappel en newtons par mètre,
mest la masse en kilogrammes
et Test la période en secondes.
4. Une masse de 500 g oscille horizontalement à l'extrémité libre d'un ressort ayant une
constante de rappel de 4,5 N/m. La masse est initialement au repos à une position
correspondant à un allongement de 8 cm par rapport à la position d'équilibre.
a) Quelle est la fréquence des oscillations du système masse-ressort ?
b) Quelle est la constante de phase des oscillations (sinusoïdales) ?
c) Quel est le temps nécessaire à partir du point de départ pour que la masse parcours une distance de
4 cm ?