A k

Chapitre 1
Les oscillations
Objectif intermédiaire 2.1
Connaître les notions d'amplitude, de fréquence et d'énergie d'une oscillation, puis les employer
pour décrire le mouvement d'un oscillateur harmonique simple.
Mouvement harmonique simple
Le mouvement harmonique simple sert à décrire les oscillations d'un corps en mouvement. Dans les cas
simples, le mouvement oscillant est décrit par une fonction sinusoïdale; soit
x(t) = A cos ( ω t + φ )
x (t )
A
ω
t
φ
où
et
est la position (à l'instant t ) en mètres,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes
est la constante de phase en radians.
Note: La calculatrice doit être en mode radian pour calculer la position en fonction du temps si les unités de
mesure sont celles indiquées.
x(t)
x(t)
A
x0
A
x0
T
ωt
φ
Note :
t
xo = A cos φ
0 < φ < π/2
xo > 0
φT φ
=
2π ω
a(t)
v(t)
Note :
ω2A
ωA
φ
φ
ωt
ωt
Note :
v0
vo = - ωA sin φ
0 < φ < π/2
vo < 0
ao = -ω 2 A cos φ
0 < φ < π/2
ao < 0
a0
Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-2
La pulsation dépend de la fréquence ou de la période des oscillations; soit
ω= 2 π f =
où
et
ω
f
T
2π
T
est la pulsation en radians par seconde,
est la fréquence en hertz
est la période en secondes.
La période est la durée d'un cycle et la fréquence est le nombre de cycles par seconde. Ne pas confondre
la fréquence avec la pulsation.
La position en fonction du temps étant connue, les dérivées par rapport au temps permettent de calculer la
vitesse et l'accélération d'un corps ayant un mouvement oscillant. Par définition de la vitesse, on a
d
 x(t) = A cos ( ω t + φ )


 v(t) = [ A cos ( ω t + φ ) ]
⇒ 
dt

dx
v(t)
=


−
ω A sin ( ω t + φ )
=
dt

où
et
x (t )
A
ω
t
φ
v(t)
dx
dt
est la position (à l'instant t ) en mètres,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes,
est la constante de phase en radians,
est la vitesse (à l’instant t ) en mètres par seconde
est la dérivée de la position par rapport au temps en mètres par seconde.
De même, par définition de l'accélération, on a
d
 v(t) = − ω A sin ( ω t + φ )

 a(t) = [ − ω A sin ( ω t + φ ) ]

2
⇒ 
dt
dv d x

a(t)
=
=


= - ω2 A cos ( ω t + φ )
dt dt 2

où
v(t)
ω
A
t
φ
a(t)
dv
dt
est la vitesse (à l’instant t ) en mètres par seconde,
est la pulsation en radians par seconde,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est le temps en secondes,
est la constante de phase en radians,
est l'accélération (à l'instant t ) en mètres par seconde carrée,
est la dérivée de la vitesse par rapport au temps en mètres par seconde carrée
Tous droits réservés, Richard Fradette.
Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
et
d 2x
dt 2
Page C1-3
est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée.
Des relations utiles permettent de relier l'amplitude et la constante de phase à la position et vitesse initiales.
Ces relations utiles sont
2

 A =  v0  + x02
 x0 = A cos φ

 ω 
⇒ 

 v0 = − ω A sin φ
 v0 

 φ = arctan  − ω x 
0


où
et
x0
A
φ
v0
ω
est la position initiale (à l’instant t =0) en mètres,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est la constante de phase en radians,
est la vitesse initiale (à l’instant t =0) en mètres par seconde
est la pulsation en radians par seconde.
L'accélération et la position sont décrites par des fonctions sinusoïdales déphasées de 180°. D'après les
résultats précédents, on a
 d2x
= - ω2 x(t)

2
dt
a(t) = - ω2 x(t) ⇒  2
 d x + ω2 x(t) = 0
 dt 2
où
et
a(t)
ω
x (t )
est l'accélération (à l'instant t ) en mètres par seconde carrée,
est la pulsation en radians par seconde,
est la position (à l'instant t ) en mètres
d 2x
dt 2
est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée.
Cette dernière équation caractérise le mouvement harmonique simple. L’expression de la position en
fonction du temps découle de cette équation.
1.
Un corps possède un mouvement oscillant avec une amplitude de 4 cm et une pulsation de
π/3 rd/s. La constante de phase vaut π/6 rd.
a)
Quelle est la position initiale (à t =0) ?
b)
Quelle est la position à t =1 s ?
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-4
c)
Quelle est la fréquence de l'oscillation ?
d)
Quelle est la période de l'oscillation ?
2.
La position initiale d'un corps en oscillation est de 3 cm. La fréquence de l'oscillation est de
0,2 Hz. L'amplitude du mouvement oscillant est de 5 cm. La vitesse initiale est négative.
a)
Quelle est la constante de phase des oscillations ?
b)
Quelle est la pulsation de l'oscillation ?
c)
Quelle est la grandeur de la vitesse maximale ?
d)
Quelle est la grandeur de l'accélération maximale ?
3.
La position initiale d'un corps en oscillation est de 4 cm et sa vitesse initiale est de 15 cm/s.
La pulsation est de 5 rd/s.
a)
Quelle est l'amplitude de l'oscillation ?
b)
Quelle est la constante de phase des oscillations ?
Système masse-ressort
Une masse fixée à l'extrémité libre d'un ressort hélicoïdal constitue un système masse-ressort. Pour de
petits allongements, la force de rappel exercée par le ressort sur la masse est
Fr = - k x
où
et
Fr
k
x
est la force de rappel exercée par le ressort en newtons,
est la constante de rappel en newtons par mètre
est l'allongement en mètres.
Si le ressort est en position horizontale, la force résultante exercée sur la masse est la force de rappel du
e
ressort. L'application de la 2 loi de Newton donne
m a(t) = - k x(t)
où
et
m
a(t)
k
x (t )
est la masse en kilogrammes,
est l'accélération (à l'instant t ) en mètres par seconde carrée,
est la constante de rappel en newtons par mètre
est la position (à l'instant t ) en mètres.
e
Avec la définition de l'accélération, la 2 loi de Newton conduit à une équation différentielle semblable à
celle pour le mouvement harmonique simple; soit
m
où
m
2
2
d x
d x k
=
k
x(t)
⇒
+ x(t) = 0
2
2
m
dt
dt
est la masse en kilogrammes,
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
d 2x
dt 2
et
k
x (t )
Page C1-5
est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée,
est la constante de rappel en newtons par mètre
est la position (à l'instant t ) en mètres.
Par comparaison avec l'équation différentielle du mouvement harmonique simple, on a





où
et
d 2x
dt 2
ω
x (t )
k
m
2
d x
+ ω2 x(t) = 0
2
k
dt
⇒ ω=
2
m
d x + k x(t) = 0
2
m
dt
est la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mètres par seconde
carrée,
est la pulsation en radians par seconde,
est la position (à l'instant t ) en mètres,
est la constante de rappel en newtons par mètre
est la masse en kilogrammes.
Alors, on a

ω
1
k
=
 f=
2π 2π m


 T = 2π=2π m

ω
k
où
et
f
ω
k
m
T
est la fréquence en hertz,
est la pulsation en radians par seconde,
est la constante de rappel en newtons par mètre,
est la masse en kilogrammes
est la période en secondes.
4.
Une masse de 500 g oscille horizontalement à l'extrémité libre d'un ressort ayant une
constante de rappel de 4,5 N/m. La masse est initialement au repos à une position
correspondant à un allongement de 8 cm par rapport à la position d'équilibre.
a)
Quelle est la fréquence des oscillations du système masse-ressort ?
b)
Quelle est la constante de phase des oscillations (sinusoïdales) ?
c)
Quel est le temps nécessaire à partir du point de départ pour que la masse parcours une distance de
4 cm ?
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-6
5.
Une masse de 100 g oscille verticalement à l'extrémité libre d'un ressort. La position
d'équilibre avec la masse suspendue correspond à un allongement de 2 cm par rapport à la
position de l'extrémité du ressort sans la masse.
a)
Quelle est la grandeur de la force exercée par le ressort à la position d'équilibre ?
b)
Quelle est la constante de rappel du ressort ?
c)
Quelle est la période des oscillations du système masse-ressort ?
Énergie d'un mouvement harmonique simple
L'énergie mécanique d'un système masse-ressort est emmagasinée sous forme d'énergie potentielle
élastique par le ressort et sous forme d'énergie cinétique par la masse. L'énergie potentielle élastique
durant l'oscillation du système masse-ressort est donnée par
 x(t) = A cos ( ω t + φ )
1

⇒ U(t) = k A2 cos2 ( ω t + φ )

1
2
2
 U(t) = 2 k [x(t)]
où
et
x (t )
A
ω
t
φ
U(t)
k
est la position (à l'instant t ) en mètres,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes,
est la constante de phase en radians,
est l'énergie potentielle élastique (à l'instant t ) en joules
est la constante de rappel en newtons par mètre.
L'énergie cinétique durant l'oscillation du système masse-ressort est donnée par
1

K(t) = m ω2 A2 sin 2 ( ω t + φ )
 v(t) = − ω A sin ( ω t + φ )



2
⇒ 

1
2
1
K(t) = m [v(t)]


= k A2 sin 2 ( ω t + φ )
2

2
où
et
v(t)
ω
A
t
φ
K(t)
m
est la vitesse (à l’instant t ) en mètres par seconde,
est la pulsation en radians par seconde,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est le temps en secondes,
est la constante de phase en radians,
est l'énergie cinétique (à l'instant t) en joules
est la masse en kilogrammes.
Tous droits réservés, Richard Fradette.
Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
énergie
Page C1-7
E
énergie
E
K(x)
U(t)
φ
ω
U(x)
K(t)
A x
-A
t
Pour de petites oscillations du système masse-ressort, l'énergie mécanique est constante comme on le voit
avec le développement
1
1
k A2 cos2 ( ω t + φ )+ m ω2 A2 sin 2 ( ω t + φ )
2
2
1
1
= k A2 cos2 ( ω t + φ )+ k A2 sin 2 ( ω t + φ )
2
2
1
1
= k A2 [ cos2 ( ω t + φ )+ sin 2 ( ω t + φ ) ]= k A2
2
2
E = U(t) + K(t) =
où
et
E
U(t)
K(t)
k
A
ω
t
φ
m
est l'énergie mécanique (constante) en joules,
est l'énergie potentielle élastique (à l'instant t ) en joules,
est l'énergie cinétique (à l'instant t ) en joules,
est la constante de rappel en newtons par mètre,
est l'amplitude de l'oscillation en mètres,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes,
est la constante de phase en radians
est la masse en kilogrammes.
6.
Un système masse-ressort possède une énergie mécanique de 0,6 J, une masse de 1,2 kg et
une constante de rappel de 480 N/m.
a)
Quelle est l'amplitude des oscillations ?
b)
Quelle est la grandeur de la vitesse maximale ?
c)
Si la constante de phase est nulle, aux quels instants, durant le 1
cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle ?
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er
cycle d'oscillation, l'énergie
Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-8
Le pendule simple
y
Un pendule est formé d'une masse suspendue au
bout d'une corde. La masse se déplace sur un arc de
cercle durant les oscillations. La force résultante sur
la masse durant les oscillations est égale à la
composante tangentielle du poids. La force
tangentielle agit comme une force de rappel dirigée
vers la position d'équilibre.
L
θ
x
→
T
Note:
m
|Px| = mg sin θ
→
|Py| = mg cos θ Px
|T| = mg cos θ
→
Py
e
L'application de la 2 loi de Newton pour le pendule donne
m a(t) = - m g sin θ(t)
où
et
m
a(t)
g
θ(t)
est la masse en kilogrammes,
est l'accélération (à l'instant t ) en mètres par seconde carrée,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s )
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians.
Puisque la masse suit une trajectoire circulaire, l'accélération est définie par
d s
d θ
=L 2
2
dt
dt
2
a(t) =
où
a(t)
2
est l'accélération (à l'instant t ) en mètres par seconde carrée,
2
d s
dt 2
et
L
d 2θ
dt 2
est la dérivée seconde de la position sur l’arc de cercle par rapport au temps en mètres
par seconde carrée,
est la longueur du pendule en mètres
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée.
Avec la définition de l'accélération et l'approximation sin θ≈θ pour de petits angles, on a
mL
où
m
L
2
2
d θ
d θ gθ
θ
⇒
=
m
g
(t)
+
(t) = 0
2
dt 2 L
dt
est la masse en kilogrammes,
est la longueur du pendule en mètres,
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
d 2θ
dt 2
et
g
θ(t)
Page C1-9
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s )
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians.
Par comparaison avec l'équation différentielle du mouvement harmonique simple, on a





où
et
d 2θ
dt 2
ω
θ(t)
g
L
d θ
+ ω2 θ(t) = 0
2
g
dt
⇒ ω=
2
L
d θ + g θ(t) = 0
2
L
dt
2
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée,
est la pulsation en radians par seconde,
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s )
est la longueur du pendule en mètres.
Alors, la position angulaire oscille autour de la verticale. La position angulaire en fonction du temps est
donné par
θ(t) = θ 0 cos (ω t + φ )
où
et
θ(t)
θ0
ω
t
φ
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians,
est déplacement angulaire maximal en radians,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes
est la constante de phase en radians.
Note: Cette solution décrit le mouvement d'un pendule si l'amplitude des oscillations est faible afin que
l'emploi de l'approximation sin θ≈θ soit valide.
Finalement, on a
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-10

ω
1 g
=
 f=
2π 2π L


 T = 2π=2π L

ω
g
où
et
f
ω
g
L
T
est la fréquence en hertz,
est la pulsation en radians par seconde,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s ),
est la longueur du pendule en mètres
est la période en secondes.
7.
Un pendule simple oscille avec une amplitude de 3° et une période de 1 s. La masse est de
350 g.
a)
Quelle est la pulsation du pendule ?
b)
Quelle est la longueur du pendule ?
c)
À quelle vitesse la masse passe-t-elle par la position d'équilibre ?
Pendule composé
Axe de rotation
Centre
de
masse
Un pendule composé est formé par un corps rigide
oscillant autour d'un axe fixe.
e
L'application de la 2 loi de Newton «en rotation»
pour un pendule composé donne
d θ
= - m g d sin θ(t)
2
dt
2
I
où
I
d θ
dt 2
θ
d
→
P
est le moment d'inertie en kilogrammes mètres carrés,
2
et
m
g
d
θ(t)
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée,
est la masse en kilogrammes,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s ),
est la distance de l'axe de rotation au centre de masse en mètres
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians.
Avec l'approximation sin θ≈θ pour les petits angles, on a
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Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
d θ
d θ mgd
= - m g d θ(t) ⇒
+
θ(t) = 0
2
dt 2
I
dt
2
I
où
I
d θ
dt 2
Page C1-11
2
est le moment d'inertie en kilogrammes mètres carrés,
2
et
m
g
d
θ(t)
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée,
est la masse en kilogrammes,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s ),
est la distance de l'axe de rotation au centre de masse en mètres
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians.
Par comparaison avec l'équation différentielle du mouvement harmonique simple, on a
 d2θ
+ ω2 θ(t) = 0

2
mgd
dt
⇒ ω=
 2
I
 d θ + m g d θ(t) = 0
2
 dt
I
où
et
d 2θ
dt 2
ω
θ(t)
m
g
d
I
est la dérivée seconde de l’angle du pendule par rapport au temps en radians par
seconde carrée,
est la pulsation en radians par seconde,
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians,
est la masse en kilogrammes,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s ),
est la distance de l'axe de rotation au centre de masse en mètres
est le moment d'inertie en kilogrammes mètres carrés.
Alors, la position angulaire oscille autour de l'axe de rotation. L'angle du corps rigide en fonction du temps
est donné par
θ(t) = θ 0 cos (ω t + φ )
où
et
θ(t)
θ0
ω
t
φ
est la position angulaire (à l'instant t ) en radians,
est déplacement angulaire maximal en radians,
est la pulsation en radians par seconde,
est le temps en secondes
est la constante de phase en radians.
Finalement, on a
Tous droits réservés, Richard Fradette.
Chapitre 1: Mouvement oscillatoire
Page C1-12

ω
1 mgd
=
 f=
2π 2π
I


I
 T = 2π=2π

ω
mgd
f
ω
m
g
d
I
T
où
et
8.
est la fréquence en hertz,
est la pulsation en radians par seconde,
est la masse en kilogrammes,
2
est l'accélération gravitationnelle (9,8 m/s ),
est la distance de l'axe de rotation au centre de masse en mètres,
est le moment d'inertie en kilogrammes mètres carrés
est la période en secondes.
Une tige rigide homogène de 30 cm et 150 g oscille autour d'un axe de rotation passant par
l'une de ses extrémités. La vitesse angulaire de la tige en passant par la position d'équilibre
est de 0,35 rd/s.
Rappel:
Le centre de gravité d'une tige homogène est en son centre géométrique. Le moment d'inertie
d'une tige par rapport à un axe de rotation passant par l'une de ces extrémités est
I = 1 mL2 .
3
a)
Quelle est le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation ?
b)
Quelle est la pulsation du pendule ?
c)
Quelle est l'amplitude angulaire des oscillations ?
Solutions
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a) 3,464 cm b) 0 cm c) 0,1667 Hz d) 6 s
2
2
a) 53,1° b) (2π)/5 rd/s c) 2π cm/s d) (4π )/5 cm/s
a) 5 cm b) –36,9°
a) 3/(2π) Hz b) 0 rd c) π/9 s
a) 0,98 N b) 49 N/m c) 0,284 s
a) 5 cm b) 1 m/s c) 0,0393 s, 0,1178 s, 0,1964 s et 0,2749 s
a) 2π rd/s b) 24,82 cm c) 8,167 cm/s
2
a) 0,0045 kg⋅m b) 7 rd/s c) 0,05 rd
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