Fonctions affines - CDI de l`Institution Jeanne d`Arc

Ch 9 Fonctions usuelles
I/ Fonctions affines
Définition : On appelle fonction affine toute fonction du type    , où et  .
 est appelé coefficient directeur et ordonnée à l’origine.
Rq :
- Les fonctions affines sont des fonctions polynômes de degré au plus.
- Si  , c’est une fonction constante.
- Si  , c’est une fonction linéaire. Elle traduit alors une situation de proportionnalité.
On se placera dans le cas où  .
 puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme.
Si  , on a les tableaux suivants :
Signe de 
Variations de
Si  , on a :
Signe de 
Variations de
Démo :
 si   et    si  
            si  
et            si  
Propriété : Si est une fonction affine de coefficient directeur, alors  ,
Démo :
Rq : Les fonctions linéaires sont des fonctions impaires, les fonctions constantes sont des fonctions
paires, les autres fonctions affines ne sont ni l’un ni l’autre.

Courbe représentative : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
 et sont les courbes représentatives des fonctions     et
  .
Méthode : Pour déterminer une fonction affine à partir d’un graphique :
- On prend deux points dont on connaît les coordonnées et
- On détermine le coefficient directeur grâce à la propriété précédente
- On détermine l’ordonnée à l’origine en résolvant l’équation  .
II/ Fonctions de référence
1) Fonction carré
Définition : La fonction carré est la fonction  
Rq : C’est une fonction polynôme de degré.
 puisque c’est un polynôme.
 0 
Signe de
 0 
Variations de
 0 
Démo : Un carré est toujours positif et     , d’où le tableau de signes.
- Soit  , on a alors, en multipliant respectivement par et par
  car  et  car 
D’où  . Donc  et donc est décroissante sur
- Soit   , on a alors, en multipliant respectivement par et par
  car  et  car 
D’où  . Donc  et donc est croissante sur.
Rq : La fonction carré est une fonction paire.

Courbe représentative : La courbe de la fonction carré est une parabole.
2) Fonction racine
Définition : La fonction racine est la fonction  
0 
Signe de
Variations de
Courbe représentative : On remarque que les courbes des fonctions carré et racine sont symétriques par
rapport à la droite d’équation  , aussi appelée première bissectrice.
Les courbes et sont les courbes représentatives des fonctions 
et .

Définition : On dit qu’une fonction est la réciproque d’une fonction sur un intervalle si
        .
Csq :
- Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la
première bissectrice.
- Pour qu’une fonction admette une réciproque sur un intervalle, il faut que  , admette
un seul antécédent (on dit que la fonction est bijective).
- La fonction racine et la fonction carré sont réciproques l’une de l’autre sur.
3) Fonction inverse
Définition : La fonction inverse est la fonction  
.
Rq : C’est une fonction rationnelle.
 0 
Signe de
 0 
Variations de
 0
Démo :
Si  , alors  
 car  et donc  car . Donc est décroissante sur.
Si   , alors  
 car  et donc  car . Donc est croissante sur.
Courbe représentative : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole.
Rq :
- La fonction inverse est sa propre réciproque puisque sa courbe représentative admet la
première bissectrice comme axe de symétrie.
- La fonction inverse est une fonction impaire.

III/ Fonctions trigonométriques
1) Enroulement de la droite des réels
On se place dans un repère orthonormé. Soit et
Définition : On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre et de rayon muni d’un sens
direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Dans le repère, on peut tracer la droite passant par et parallèle à l’axe des ordonnées, orientée de la
même manière que cet axe.
Elle représente donc la droite des réels (à tout point de cette droite, on peut associer un nombre réel
correspondant à l’ordonnée de ce point dans le repère, soit l’abscisse de cette droite orientée).
En enroulant cette droite autour du cercle trigonométrique, on peut donc associer à chaque réel un
point du cercle. En tournant dans le sens direct (resp. indirect), on a donc la longueur de l’arc de
cercle
 qui est égale à si   (resp. si   ).
Cette valeur correspond à la mesure en radians de l’angle
.
Il y a donc proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians d’un angle.
Ex : Un angle de aura pour mesure 
 radians.
Un angle de
 aura pour mesure  .
Propriété : Soit la mesure d’un angle en radians.
On a           .
On dit qu’un angle en radians est défini à près, ou modulo. On notera.
Démo : Ajouter à un angle en radians revient à ajouter à la longueur de l’arc de cercle, donc à
faire un tour de cercle de plus dans le sens direct, ce qui nous ramène au même point.
Ainsi, ajouter (ou retirer) à un angle revient à faire tours de plus dans le sens direct (ou indirect)
sur le cercle.