Les variables aléatoires de lois discrètes
Discret
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Dé…nitions
Variables aléatoires discrètes
De…nition
Une variable aléatoire Xest dite discrète si elle peut prendre
au plus qu’un nombre dénombrable de valeurs, disons x1,x2,
..., xn, ... 2R. De façon équivalente, nous pouvons a¢ rmer
qu’une variable est discrète si
∑
fx2RjPfX=xg>0g
PfX=xg=1.
De…nition
Le support d’une variable aléatoire discrète est l’ensemble des
valeurs possibles de X:
SX=fx2RjPfX=xg>0g.
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Discret
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Fonction de masse
De…nition
La distribution d’une variable aléatoire discrète Xest
commodément décrite par sa fonction de masse :
fX:R![0,1]
x!probabilité que la v.a. Xsoit égale à x,
c’est-à-dire que
8x2R,fX(x)=PfX=xg.
Remarque.La distribution d’une variable aléatoire dépend
de la mesure de probabilité qui prévaut sur l’ensemble
fondamental, comme l’indique l’expression ci-dessus. Nous
illustrerons ce commentaire à l’aide d’un exemple.
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Discret
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Exemple I
Distribution d’une variable aléatoire discrète
ωW(ω)Q(ω)
154
12
2 5 1
12
3 5 1
12
ωW(ω)Q(ω)
451
12
5 0 1
12
6 10 4
12
Déterminons les fonctions de masse de la variable aléatoire W.
fW(x)=Qfω2ΩjW(ω)=xg
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
Qn5o=1
12 si x=0
Qn1,2,3,4o=4
12 +1
12 +1
12 +1
12 =7
12 si x=5
Qn6o=4
12 si x=10
0 sinon
.
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
1
/
114
100%
