Les variables aléatoires de lois discrètes

Discret
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Les variables aléatoires de lois discrètes
Loi conjointe
3-602-84
Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Geneviève Gauthier
HEC Montréal
Novembre 2007
1
Discret
Dé…nitions
Variables aléatoires discrètes
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
De…nition
Une variable aléatoire X est dite discrète si elle peut prendre
au plus qu’un nombre dénombrable de valeurs, disons x1 , x2 ,
..., xn , ... 2 R. De façon équivalente, nous pouvons a¢ rmer
qu’une variable est discrète si
Moments
∑
Lois discrètes
fx 2RjP fX =x g>0 g
P fX = x g = 1.
De…nition
Le support d’une variable aléatoire discrète est l’ensemble des
valeurs possibles de X :
SX = fx 2 R jP fX = x g > 0 g .
2
Discret
Fonction de masse
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
De…nition
La distribution d’une variable aléatoire discrète X est
commodément décrite par sa fonction de masse :
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
fX
: R ! [0, 1]
x ! probabilité que la v.a. X soit égale à x,
c’est-à-dire que
8x 2 R, fX (x ) = P fX = x g .
Remarque. La distribution d’une variable aléatoire dépend
de la mesure de probabilité qui prévaut sur l’ensemble
fondamental, comme l’indique l’expression ci-dessus. Nous
illustrerons ce commentaire à l’aide d’un exemple.
3
Discret
Exemple I
Distribution d’une variable aléatoire discrète
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
ω
W (ω )
Q (ω )
ω
W (ω )
Q (ω )
1
5
4
12
4
5
1
12
2
5
1
12
5
0
1
12
3
5
1
12
6
10
4
12
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Déterminons les fonctions de masse de la variable aléatoire W .
f W (x )
=
=
Q f ω 2 Ω jW ( ω ) = x g
n o
8
1
>
Q 5 = 12
>
>
>
>
n
o
>
>
>
< Q 1 , 2 , 3 , 4 = 4 + 1 +
12
12
n
o
>
>
4
>
>
Q 6 = 12
>
>
>
>
:
0
si x = 0
1
12
+
1
12
=
7
12
si x = 5
.
si x = 10
sinon
4
Discret
Exemple II
Dé…nitions
Distribution d’une variable aléatoire discrète
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
fW(w)
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
w
5
Discret
Exemple III
Distribution d’une variable aléatoire discrète
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Rappel :
ω
W (ω )
Q (ω )
ω
W (ω )
Q (ω )
1
5
4
12
4
5
1
12
2
5
1
12
5
0
1
12
3
5
1
12
6
10
4
12
Indépendance
Moments
Lois discrètes
6
Discret
Exemple IV
Distribution d’une variable aléatoire discrète
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Calculons la fonction de répartition de la variable aléatoire W .
si x
F W (x )
<
=
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
=
Lois discrètes
=
si x
F W (x )
x g = Q (?) = 0;
Q f ω 2 Ω jW ( ω )
xg=Q
n
5
xg=Q
n
1, 2, 3, 4, 5
x < 10 alors
si 5
F W (x )
Q f ω 2 Ω jW ( ω )
x < 5 alors
si 0
F W (x )
0 alors
Q f ω 2 Ω jW ( ω )
o
=
1
;
12
o
=
8
;
12
10 alors
=
Q f ω 2 Ω jW ( ω )
x g = Q (Ω) = 1.
7
Discret
Exemple V
Dé…nitions
Distribution d’une variable aléatoire discrète
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
FW(w)
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
w
Remarque. La fonction de répartition d’une variable
aléatoire discrète est une fonction en escalier.
8
Discret
Exemple I
Impact d’un changement de mesure sur la
distribution
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
ω
X (ω ) Y (ω ) Z (ω ) W (ω )
P (ω ) Q (ω )
1
0
0
0
5
1
6
4
12
2
0
5
0
5
1
6
1
12
3
5
5
0
5
1
6
1
12
4
5
5
5
5
1
6
1
12
5
10
5
10
0
1
6
1
12
6
10
10
10
10
1
6
4
12
Lois discrètes
9
Discret
Exemple II
Impact d’un changement de mesure sur la
distribution
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous
la mesure de probabilité P :
Loi conjointe
x
P fX = x g
P fY = x g
P fZ = x g
P fW = x g
Loi
conditionnelle
0
1
3
1
3
1
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
6
1
3
1
6
2
3
1
6
Indépendance
Moments
Lois discrètes
5
10
La distribution de la variable aléatoire X est dite uniforme
puisque P fX = 0g = P fX = 5g = P fX = 10g = 13 .
Les variables aléatoires Y et W ont la même distribution
bien qu’elles ne soient pas égales. En e¤et,
Y
1
= 0 6= 5 = W
1
.
10
Discret
Exemple III
Impact d’un changement de mesure sur la
distribution
Dé…nitions
Distribution
Changement de
mesure
Égalités forte
et faible
Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous
la mesure de probabilité Q
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
x
0
5
10
Q fX = x g Q fY = x g Q fZ = x g Q fW = x g
5
12
2
12
5
12
1
3
1
3
1
3
1
2
1
12
5
12
1
12
7
12
1
3
Notons que les distributions des variables aléatoires ont
changé. De plus, sous la mesure de probabilité Q, les
variables aléatoires Y et W n’ont plus la même
distribution.
11
Discret
Égalités forte et faible I
Variables aléatoires discrètes
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
De…nition
Deux variables aléatoires X et Y sont dites égales (égalité
forte) si et seulement si 8ω 2 Ω, X (ω ) = Y (ω ). Elles sont
dites égales en distribution (ou en loi ou égalité faible)
lorsqu’elles ont la même distribution.
Lois discrètes
Le concept d’égalité entre deux variables aléatoires est
plus fort que celui d’égalité en distribution.
En e¤et, si deux variables aléatoires sont égales, alors elles
sont égales en distribution.
Par contre, il est possible que deux variables aléatoires
soient égales en distribution mais qu’elles ne soient pas
égales.
12
Discret
Égalités forte et faible II
Dé…nitions
Variables aléatoires discrètes
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
De plus, deux variables aléatoires peuvent être égales en
distribution selon une certaine mesure de probabilité et ne
pas l’être selon une autre mesure de probabilité.
Dans l’exemple précédent, lorsque c’est la mesure P qui
prévaut sur Ω, Y et W sont égales en distribution mais
elles ne sont pas égales.
13
Discret
Fonction de masse conjointe
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
De…nition
La fonction de masse conjointe de deux variables aléatoires
discrètes X et Y est dé…nie par
Lois discrètes
fX ,Y : R
R ! [0, 1]
(x, y ) ! P fX = x et Y = y g .
14
Discret
Exemple I
Distribution conjointe
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
ω
X (ω ) Y (ω )
P (ω )
1
0
0
1
6
2
0
5
1
6
3
5
5
1
6
4
5
5
1
6
5
10
5
1
6
6
10
10
1
6
Lois discrètes
15
Discret
Exemple II
Dé…nitions
Distribution conjointe
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
La fonction de masse conjointe de X et Y est
8
si x = 0 et y 2 f0, 5g
>
1
>
>
>
6
ou si x = 10 et y 2 f5, 10g
<
fX ,Y (x, y ) =
1
si x = 5 et y = 5
>
>
3
>
>
:
0
sinon.
16
Discret
Exemple III
Distribution conjointe
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
fX,Y(x,y)
Indépendance
Moments
Lois discrètes
x
y
17
Discret
Fonction de répartition conjointe
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
De…nition
La fonction de répartion conjointe de deux variables
aléatoires discrètes X et Y est dé…nie par
Lois discrètes
fX ,Y : R
R ! [0, 1]
(x, y ) ! P fX
x et Y
yg .
18
Discret
Exemple I
Fonction de répartition
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
ω
X (ω ) Y (ω )
P (ω )
1
0
0
1
6
2
0
5
1
6
3
5
5
1
6
4
5
5
1
6
5
10
5
1
6
6
10
10
1
6
Lois discrètes
19
Discret
Exemple II
Dé…nitions
Fonction de répartition
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
La fonction de répartition conjointe de X et Y est
8
0
si x < 0 ou y < 0
>
>
>
>
>
1
>
>
> 6 si 0 x < 5 et 0 y < 5
>
>
>
2
>
si 0 x < 5 et y 5
>
>
6
>
>
>
1
<
x < 10 et 0 y < 5
6 si 5
FX ,Y (x, y ) =
4
>
si 5 x < 10 et y 5
>
6
>
>
>
>
1
>
si x 10 et 0 y < 5
>
6
>
>
>
>
5
>
si x 10 et 5 y < 10
>
6
>
>
>
:
1
sinon
20
Discret
Exemple III
Fonction de répartition
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Fonction de répartition conjointe de X et de Y
Loi
conditionnelle
1
Indépendance
Moments
0,8
Lois discrètes
0,6
0,4
0,2
0
21
Discret
Fonctions de masse marginales
Variables aléatoires discrètes
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
De…nition
Indépendance
Nous pouvons retrouver la fonction de masse (marginale) de
chacune des deux variables aléatoires à partir de la fonction de
masse conjointe. En e¤et,
Moments
Lois discrètes
fX ( x ) =
∑
y 2SY
fX ,Y (x, y ) et fY (y ) =
∑
fX ,Y (x, y ) .
x 2SX
22
Discret
I
Fonctions de masse marginales
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
ω
X (ω ) Y (ω )
P (ω )
1
0
0
1
6
2
0
5
1
6
3
5
5
1
6
4
5
5
1
6
5
10
5
1
6
6
10
10
1
6
Lois discrètes
23
Discret
II
Fonctions de masse marginales
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
f X (0 )
Indépendance
Moments
=
∑
fX ,Y (0, y ) = fX ,Y (0, 0 ) + fX ,Y (0, 5 ) + fX ,Y (0, 10 )
y 2SY
Loi
conditionnelle
=
f X (5 )
=
1
2
1
+ +0 = ,
6
6
6
∑ fX ,Y (5, y ) = fX ,Y (5, 0 ) + fX ,Y (5, 5 ) + fX ,Y (5, 10 )
y 2SY
Lois discrètes
=
fX (10 )
=
0+
∑
2
2
+0 = ,
6
6
fX ,Y (10, y ) = fX ,Y (10, 0 ) + fX ,Y (10, 5 ) + fX ,Y (10, 10 )
y 2SY
=
et pour x
f X (x )
2
/
=
1
1
2
+ =
6
6
6
f0, 5, 10 g ,
0+
∑
fX ,Y (x , y ) = fX ,Y (x , 0 ) + fX ,Y (x , 5 ) + fX ,Y (x , 10 ) = 0.
y 2SY
24
Discret
III
Fonctions de masse marginales
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
f Y (0 )
=
=
Indépendance
Moments
∑
fX ,Y (x , 0 ) = fX ,Y (0, 0 ) + fX ,Y (5, 0 ) + fX ,Y (10, 0 )
x 2SX
Loi
conditionnelle
f Y (5 )
=
1
1
+0+0 = ,
6
6
x
,
5
f
(
) = fX ,Y (0, 5 ) + fX ,Y (5, 5 ) + fX ,Y (10, 5 )
∑ X ,Y
x 2SX
Lois discrètes
=
fY (10 )
=
1
2
1
4
+ + = ,
6
6
6
6
∑ fX ,Y (x , 10 ) = fX ,Y (0, 10 ) + fX ,Y (5, 10 ) + fX ,Y (10, 10 )
x 2SX
=
et pour x
f Y (y )
2
/
=
1
1
=
6
6
f0, 5, 10 g ,
0+0+
∑
fX ,Y (x , y ) = fX ,Y (0, y ) + fX ,Y (5, y ) + fX ,Y (10, y ) = 0
x 2SX
25
Discret
Fonction de masse conjointe
Vecteurs aléatoires discrets
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
De…nition
Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de
masse conjointe de n variables aléatoires X1 , ..., Xn .
fX 1 ,..., X n : R
n
! [0, 1]
(x1 , ..., xn ) ! P fX1 = x1 et X2 = x2 et ... et Xn = xn g .
26
Discret
Fonction de masse conditionnelle I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
De…nition
Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. La fonction
de masse conditionnelle de X étant donné Y est
Lois discrètes
fX j Y : R
SY ! [0, 1]
(x, y ) ! P [fX = x g jfY = y g ] .
27
Discret
Fonction de masse conditionnelle II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Ainsi, pour tout y 2 SY ,
fX jY (x, y )
= P [fX = x g jfY = y g ]
P [fX = x g \ fY = y g]
=
P [fY = y g]
par la dé…nition de la probabilité conditionnelle.
P [fX = x et Y = y g]
=
P [fY = y g]
f
(x, y )
= X ,Y
fY ( y )
28
Discret
Dé…nitions
Fonction de masse conditionnelle
III
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
fX jY (x, y ) =
fX ,Y (x, y )
fY ( y )
Nous voyons maintenant pourquoi nous restreignons la
variable Y à son support alors que la variable X n’est pas
contrainte de cette même façon : nous ne pouvons nous
permettre de diviser par zéro!
De façon symétrique, nous dé…nissons la fonction de
masse conditionnelle de Y étant donné X :
8x 2 SX et 8y 2 R, fY jX (y , x ) =
fX ,Y (x, y )
.
fX ( x )
29
Discret
Fonction de masse conditionnelle
IV
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
De…nition
Indépendance
Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de
masse conditionnelle de n variables aléatoires X1 , ..., Xn étant
donné m variables aléatoires Y1 , ..., Ym :
Moments
Lois discrètes
fX 1 ,..., X n jY 1 ,...,Y m : R
n
SY 1
SY m
!
(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )
!
...
[0, 1 ]
fX 1 ,..., X n ,Y 1 ,...,Y m (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )
.
fY 1 ,...,Y m (y1 , ..., ym )
30
Discret
Exemple I
Fonction de masse conditionnelle
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Supposons que l’ensemble fondamental est
Ω = fω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 g et que T = f0, 1, 2, 3g. Le processus
stochastique X = fXt : t 2 f0, 1, 2, 3gg représente l’évolution
du prix d’une action, Xt = le prix de l’action à la fermeture de
la Bourse au t ième jour, l’instant t = 0 représentant
aujourd’hui.
Lois discrètes
ω
X0 (ω ) X1 (ω ) X2 (ω ) X3 (ω )
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
ω3
1
2
1
1
ω4
1
2
2
2
ω1
1
ω2
P (ω )
2
8
1
8
3
8
2
8
31
Discret
Exemple II
Dé…nitions
Fonction de masse conditionnelle
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
La fonction de masse de X2 est
8 6
>
< 8 si x = 1
2
fX 2 ( x ) =
8 si x = 2 ,
>
:
0 sinon.
La fonction de masse conjointe
8 3
>
>
8
>
>
>
< 3
8
fX 2 ,X 3 (x, y ) =
2
>
>
8
>
>
>
:
0
de X2 et X3 est
si x = 1 et y =
1
2
si x = 1 et y = 1
si x = 2 et y = 2
sinon.
32
Discret
Exemple III
Dé…nitions
Fonction de masse conditionnelle
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
La fonction de masse conditionnelle de X3 étant donné X2 est
8
1
3 6
>
= 21 si x = 12 et y = 1
>
8
8
>
>
>
1
>
3 6
>
= 21 si x = 1 et y = 1
>
8 8
>
<
fX 3 jX 2 (x, y ) =
1
>
2 2
>
= 1 si x = 2 et y = 2
>
8 8
>
>
>
>
>
>
:
0
sinon.
33
Discret
Exemple IV
Fonction de masse conditionnelle
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
X2 =1
1
0,9
Loi
conditionnelle
0,8
0,7
0,6
0,5
Indépendance
0,4
0,3
Moments
0,2
0,1
Lois discrètes
0
0
1
2
3
X2 =2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
34
Discret
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
De…nition
Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si
8x, y 2 R, fX ,Y (x, y ) = fX (x ) fY (y ),
c’est-à-dire si 8x, y 2 R, les événements fX = x g et fY = y g
sont indépendants.
Intuitivement, X et Y sont indépendantes lorsque le fait
de détenir de l’information concernant l’une d’entre elles
ne nous en fournit pas à propos de l’autre.
35
Discret
Exemple I
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
ω
X
Y
1
1
1
2
1
3
P (ω ) P (ω )
0
0
1
6
1
6
1
0
1
6
1
5
4
0
1
1
6
1
5
5
0
0
1
6
1
5
6
0
0
1
6
1
5
1
5
36
Discret
Exemple II
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si c’est la
mesure de probabilité P qui prévaut sur Ω car
P (X = 1 ) P (Y = 1 )
P (X = 0 ) P (Y = 1 )
=
=
Indépendance
Moments
Lois discrètes
P (X = 1 ) P (Y = 0 )
=
P (X = 0 ) P (Y = 0 )
=
11
23
11
23
12
23
12
23
1
6
1
=
6
1
=
3
1
=
3
=
=P
=P
n
n
1
o
= P (X = 1 et Y = 1) ,
o
= P (X = 0 et Y = 1) ,
o
= P 2 , 3 = P (X = 1 et Y = 0) ,
n
o
= P 5 , 6 = P (X = 0 et Y = 0) .
n
4
Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé; quelle est
la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 1?” est la
même que la réponse à la question ”un dé a été lancé et la variable
aléatoire Y prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable
aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Cette réponse est une demie.
Nous pouvons refaire le même type de raisonnement pour n’importe
quelles valeurs de X et de Y .
37
Discret
Exemple III
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
ω
X
Y
P (ω )
P (ω )
1
1
1
1
6
0
1
5
Loi conjointe
2
1
0
1
6
3
1
0
1
6
1
5
Moments
4
0
1
1
6
1
5
Lois discrètes
5
0
0
1
6
1
5
6
0
0
1
6
1
5
Loi
conditionnelle
Indépendance
Par contre, les mêmes variables aléatoires X et Y sont
dépendantes si c’est P qui gouverne Ω puisque
2 1
2
=
5 n 5 o 25
P (X = 1 et Y = 1) = P
1 = 0.
P (X = 1) P (Y = 1) =
38
Discret
Exemple IV
Dé…nitions
Indépendance
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé;
quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne
la valeur 1?” n’est pas la même que la réponse à la
question ”un dé a été lancé et la variable aléatoire Y
prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable
aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Dans le premier
2
tandis que dans le second, la
cas, la réponse est 25
réponse est 0.
39
Discret
Exemple V
Dé…nitions
Indépendance
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bien que les variables aléatoires n’aient nul besoin d’une
mesure de probabilité pour exister, il est nécessaire de
connaître la mesure de probabilité qui prévaut sur l’espace
probabilisable pour parler d’indépendance, comme l’illustre
l’exemple précédent.
40
Discret
Exemple I
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
ω
X
Y
Z
P (ω )
ω
X
Y
Z
P (ω )
Moments
ω1
1
1
0
1
8
ω5
0
1
1
1
8
Lois discrètes
ω2
1
0
0
1
8
ω6
0
0
0
1
8
ω3
1
0
1
1
8
ω7
0
0
0
1
8
ω4
1
0
1
1
8
ω8
0
0
1
1
8
Indépendance
Ces variables aléatoires sont deux à deux indépendantes puisque
41
Discret
Exemple II
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
P fX = 0 g P fY = 0 g
=
=
0, 375
P fX = 1 g P fY = 0 g
=
=
0, 375
P fX = 0 g P fY = 1 g
=
=
0, 125
P fX = 1 g P fY = 1 g
=
=
0, 125
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
P fω 6 , ω 7 , ω 8 g = P (fX = 0g \ fY = 0g) ,
P fω 2 , ω 3 , ω 4 g = P (fX = 1g \ fY = 0g) ,
P fω 5 g = P (fX = 0g \ fY = 1g) ,
P fω 1 g = P (fX = 1g \ fY = 1g) .
42
Discret
Exemple III
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
P fX = 0 g P fZ = 0 g
=
=
0, 25
P fX = 1 g P fZ = 0 g
=
=
0, 25
P fX = 0 g P fZ = 1 g
=
=
0, 25
P fX = 1 g P fZ = 1 g
=
=
0, 25
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
P fω 6 , ω 7 g = P (fX = 0g \ fZ = 0g) ,
P fω 1 , ω 2 g = P (fX = 1g \ fZ = 0g) ,
P fω 5 , ω 8 g = P (fX = 0g \ fZ = 1g) ,
P fω 3 , ω 4 g = P (fX = 1g \ fZ = 1g) .
43
Discret
Exemple IV
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
P fZ = 0 g P fY = 0 g
=
=
0, 375
P fZ = 1 g P fY = 0 g
=
=
0, 375
P fZ = 0 g P fY = 1 g
=
=
0, 125
P fZ = 1 g P fY = 1 g
=
=
0, 125
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
P fω 2 , ω 6 , ω 7 g = P (fZ = 0g \ fY = 0g) ,
P fω 3 , ω 4 , ω 8 g = P (fZ = 1g \ fY = 0g) ,
P fω 1 g = P (fZ = 0g \ fY = 1g) ,
P fω 5 g = P (fZ = 1g \ fY = 1g) .
44
Discret
Exemple V
Indépendance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Mais ces variables ne sont pas mutuellement indépendantes
puisque
Indépendance
Moments
Lois discrètes
=
6=
=
=
P fX = 1g P fY = 1g P fZ = 1g
0, 0625
0
P f?g
P (fX = 1g \ fY = 1g \ fZ = 1g) .
45
Discret
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
De…nition
L’espérance d’une variable aléatoire discrète X , notée E [X ],
est
E [ X ] = ∑ x fX ( x ) .
x 2SX
46
Discret
Exemple I
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Reprenons la variable aléatoire W ainsi que les deux mesures
de probabilité P et Q :
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
ω
W (ω )
P (ω ) Q (ω )
1
5
1
6
4
12
2
5
1
6
1
12
3
5
1
6
1
12
4
5
1
6
1
12
5
0
1
6
1
12
6
10
1
6
4
12
47
Discret
Exemple II
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
x
0
5
10
P fW = x g Q fW = x g
1
6
4
6
1
6
1
12
7
12
4
12
48
Discret
Exemple III
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
EP [ W ] =
i =1
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
n
∑ xi fX (xi )
= 0
EQ [ W ] =
1
+5
6
4
+ 10
6
1
30
=
= 5;
6
6
n
∑ xi fX (xi )
i =1
= 0
1
+5
12
7
+ 10
12
4
75
=
= 6, 25.
12
12
49
Discret
Exemple IV
Dé…nitions
Espérance
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
L’espérance d’une variable aléatoire est un nombre réel.
Ce n’est pas une quantité aléatoire.
Dans l’exemple précédent, nous pouvons noter que
l’espérance d’une variable aléatoire dépend de la mesure
de probabilité utilisée.
50
Discret
Moments
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
De…nition
Plus généralement, si g : R ! R est une fonction à valeurs
réelles alors l’espérance de g (X ) où X est une variable
aléatoire discrète est
E [g (X )] =
∑
g ( x ) fX ( x ) .
x 2SX
51
Discret
Propriétés
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. Si a et b
représentent des nombres réels alors
(E1) E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] .
(E2) Si 8ω 2 Ω, X (ω )
Y (ω ) alors E [X ]
E [Y ] .
(E3) De façon générale, E [XY ] 6= E [X ] E [Y ] .
(E4) Si X et Y sont indépendantes alors E [XY ] = E [X ] E [Y ] .
52
Discret
Preuve de (E3)
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Voici un contre-exemple :
ω
X (ω ) Y (ω )
P (ω )
X (ω ) Y (ω )
1
4
1
4
1
4
1
4
0
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
ω1
0
1
ω2
0
1
ω3
1
0
ω4
1
0
Nous trouvons E [X ] E [Y ] =
1
2
1
2
=
0
0
0
1
4
6= 0 = E [XY ] .
53
Discret
Preuve de (E4)
Espérance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
E [XY ] =
∑ ∑
xy fX ,Y (x, y )
∑ ∑
xy fX (x ) fY (y )
x 2SX y 2SY
=
Moments
x 2SX y 2SY
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
=
car X et Y sont indépendantes.
!
!
∑
x 2SX
x fX ( x )
= E [X ] E [Y ]
∑
y fY ( y )
y 2SY
Exercice. Démontrez les propriétés (E1) et (E2).
54
Discret
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
De…nition
La variance d’une variable aléatoire discrète X , notée Var [X ],
est dé…nie comme suit :
i
h
Var [X ] = E (X E [X ])2
=
∑
(x
E [X ])2 fX (x ) .
x 2SX
La variance est une mesure de la dispersion des valeurs prises par X
autour de son espérance E [X ].
Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées.
Tout comme l’espérance, la variance est un nombre réel.
De plus, quelle que soit la variable aléatoire, la variance n’est jamais
négative.
L’écart-type, fort utilisé en statistique, est la racine carrée de la
variance.
55
Discret
Propriétés
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
(V1) Var [X ]
0.
(E [X ])2 .
(V3) 8a 2 R, Var [aX + b ] = a2 Var [X ] .
(V4) Si X et Y sont indépendantes alors
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] .
(V2) Var [X ] = E X 2
56
Discret
Preuve de (V1)
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
Var [X ] =
∑
x 2SX
(x
|
E [X ])2 fX (x )
{z
} | {z }
0
0.
0
57
Discret
Preuve de (V2)
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Var [X ]
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
∑
=
E [X ])2 fX (x )
(x
x 2SX
∑
=
x 2SX
∑
=
x 2SX
|
2xE [X ] + (E [X ])2
x2
x 2 fX ( x )
{z
=E[X 2 ]
h i
= E X2
h i
= E X2
∑
2E [X ]
}
∑
x fX (x ) + (E [X ])2
x 2SX
|
fX ( x )
{z
=E[X ]
}
x 2SX
|
fX ( x )
{z
}
=1
par la dé…nition de
fonction de masse
2 (E [X ])2 + (E [X ])2
(E [X ])2 .
58
Discret
Preuve de (V3)
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Var [aX + b ] =
Lois discrètes
(ax + b
E [aX + b ])2 fX (x )
∑
(ax + b
aE [X ]
x 2SX
Moments
Espérance
Variance
Covariance
∑
=
x 2SX
= a2
2
∑
(x
b )2 fX (x ) par (E1).
E [X ])2 fX (x )
x 2SX
= a Var [X ] .
59
Discret
Preuve de (V4)
Variance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
=
Indépendance
=
Moments
Espérance
Variance
Covariance
=
Lois discrètes
=
=
Var [X + Y ]
h
i
E (X + Y )2
(E [X + Y ])2 par (V2)
i
h
E X 2 + 2XY + Y 2
(E [X ] + E [Y ])2 par (E1)
h i
h i
E X 2 + 2E [XY ] + E Y 2
(E [X ])2 2E [X ] E [Y ] (E [Y ])2
h i
h i
E X 2 + 2E [X ] E [Y ] + E Y 2
(E [X ])2 2E [X ] E [Y ] (E [Y ])2 par (E4)
h i
h i
E X2
(E [X ])2 + E Y 2
(E [Y ])2
= Var [X ] + Var [Y ] par (V2).
60
Discret
Covariance I
Dé…nitions
Distribution
De…nition
Égalités forte
et faible
La covariance des variables aléatoires discrètes X et Y , notée
Cov [X , Y ] est l’espérance de la variable aléatoire
(X E [X ]) (Y E [Y ]) :
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
Cov [X , Y ] =
∑ ∑
(x
E [X ]) (y
E [Y ]) fX ,Y (x, y )
x 2SX y 2SY
Si la covariance est positive, c’est que dans la somme
∑ ∑
(x
E [X ]) (y
E [Y ]) fX ,Y (x, y ) ,
x 2SX y 2SY
ce sont les x et les y rendant le terme
(x E [X ]) (y E [Y ]) positif qui dominent, ce qui
signi…e que les variables aléatoires X et Y ont tendance à
61
Discret
Covariance II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
être soit supérieures, soit inférieures à leur espérance pour
les mêmes états du monde ω.
Si la covariance est négative, alors ce sont les ω rendant le
terme (x E [X ]) (y E [Y ]) négatif qui dominent, ce
qui signi…e que lorsqu’une des variables aléatoires X ou Y
est supérieure à son espérance, l’autre a tendance à être
inférieure à son espérance.
62
Discret
Propriétés I
Covariance
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Espérance
Variance
Covariance
Lois discrètes
(C1) Cov [X , Y ] = E [XY ]
E [X ] E [Y ] .
(C2) Si X et Y sont indépendantes, alors Cov [X , Y ] = 0.
(C3) 8a1 , a2 2 R,
Cov [aX1 + bX2 ; Y ] = aCov [X1 ; Y ] + bCov [X2 ; Y ] .
(C4) Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov [X , Y ]
63
Discret
Principales lois discrètes
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Les cinq premières lois présentées (Bernoulli, binomiale,
géométrique, binomiale négative et hypergéométrique)
servent à modéliser di¤érentes quantités concernant la
situation suivante : une expérience aléatoire est tentée
pour laquelle deux résultats seulement sont possibles : un
succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un
échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un
nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement.
64
Discret
Loi de Bernoulli I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Une expérience aléatoire est tentée.
Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être
obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient
avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris
entre 0 et 1 inclusivement.
La variable aléatoire X , qui vaut 1 si un succès est observé
et 0 sinon, est de loi de Bernoulli de paramètre π.
65
Discret
Loi de Bernoulli II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont
8
< f0, 1g si 0 < π < 1,
0
si π = 0,
SX =
:
1
si π = 1.
Sa fonction de masse est
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
fX ( x ) =
π )1
π x (1
0
x
si x 2 SX
sinon.
En e¤et,
et 1
π
=
P [obtenir un succès] = P [X = 1] = π 1 (1
π
=
P [obtenir un échec] = P [X = 0] = π 0 (1
π )1
π )1
1
0
.
66
Discret
Loi de Bernoulli III
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
E [X ] = 0fX (0) + 1fX (1)
Loi conjointe
= 0 π 0 (1
= π,
Loi
conditionnelle
π )1
0
+ 1 π (1
π )1
1
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
E X2
= 0fX (0) + 12 fX (1)
= π,
Var [X ] = E X 2
(E [X ])2
= π π2
= π (1 π ) .
67
Discret
Binomiale I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Une expérience aléatoire est tentée.
Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être
obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient
avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris
entre 0 et 1 inclusivement.
Cette expérience est répétée n fois, de façon indépendante.
La variable aléatoire X , qui représente le nombre de succès
obtenus au cours de ces n tentatives, est de loi binomiale
de paramètres n et π.
68
Discret
Binomiale II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont
8
< f0, 1, ..., ng si 0 < π < 1,
0
si π = 0,
SX =
:
n
si π = 1.
Sa fonction de masse est
8
n
<
π x (1
x
fX ( x ) =
:
0
π )n
x
si x 2 SX
sinon.
n
= x !(nn! x )! .
x
Rappelons que, par dé…nition, 0! = 1.
où
69
Discret
Binomiale III
Dé…nitions
Justi…cation de la fonction de masse :
Distribution
Égalités forte
et faible
Il y a 10 façon d’obtenir 3 succès lors de 5 tentatives :
Loi conjointe
ÉÉSSS, ÉSÉSS, ÉSSÉS, ÉSSSÉ
Loi
conditionnelle
SÉÉSS, SÉSÉS, SÉSSÉ,
Indépendance
SSÉÉS, SSÉSÉ, SSSÉÉ.
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
P [X = x ]
= P [obtenir x succès et n x échec]
n!
πx
=
(1 π )n x .
|{z}
| {z }
x ! (n x ) !
| {z }
probabilité d’obtenir probabilité d’obtenir
nombre de façons
de disposer les x succès
parmi les n essais
x succès
n x échecs
70
Discret
Binomiale IV
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Si
Xi =
1 si nous obtenons un succès au i ième essai
0
sinon
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
alors X1 , ..., Xn est un ensemble de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées, toutes de loi
Bernoulli(π).
Nous pouvons constater que X = ∑ni=1 Xi .
71
Discret
Binomiale V
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Pour cette raison,
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
E [X ] = E
Indépendance
Moments
n
∑ Xi
i =1
#
n
=
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
"
∑ E [Xi ]
par la propriété (E1)
i =1
n
=
∑π
i =1
= nπ.
72
Discret
Binomiale VI
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Var [X ] = Var
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
"
n
∑ Xi
i =1
#
n
=
∑ Var [Xi ]
par la propriété (V4)
i =1
n
=
∑ π (1
π)
i =1
= nπ (1
π) .
73
Discret
Exemple I
Loi binomiale
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Le nombre X de 6 obtenus en 15 lancers de dé est de loi
binomiale 15, 16 .
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
x
fX ( x )
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
0
1
2
3
4
5
6, 491
1, 947
2, 726
2, 363
1, 418
6, 237
...
10
10
10
10
10
10
Fonction de masse de X
2
0,3
0,25
1
1
1
1
0,2
0,15
0,1
0,05
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
E [X ] = 2, 5 et Var [X ] =
25
= 2, 0833.
12
74
Discret
Exemple II
Dé…nitions
Loi binomiale
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Le nombre de personnes ayant les yeux bleus dans un
échantillon aléatoire simple avec remise de taille 540 tiré
dans une population donnée est de loi binomiale(540, π )
où π est la proportion d’individus ayant les yeux bleus
dans la population.
75
Discret
Propriété
Dé…nitions
Loi binomiale
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes de
loi binomiale(n1 , π ) et binomiale(n2 , π ) respectivement,
alors X1 + X2 est de loi binomiale(n1 + n2 , π ).
76
Discret
Géométrique I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Une expérience aléatoire est tentée.
Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être
obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient
avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris
entre 0 exclusivement et 1 inclusivement.
Cette expérience est répétée de façon indépendante
jusqu’à l’obtention d’un premier succès. Soit X le nombre
d’essais requis.
77
Discret
Géométrique II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont
SX =
f1, 2, 3, ...g si 0 < π < 1
1
si π = 1
Sa fonction de masse est
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
fX ( x ) =
π (1
π )x
0
1
Justi…cation de la fonction de masse:
2
si x 2 SX
sinon.
3
P [X = x ] = P 4Le résultat des n essais est É
É ...É}S 5
| É {z
= (1
π)
x 1
x 1 fois
π.
78
Discret
Les séries géométriques I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Theorem
Soit Sn = 1 + a + a2 + ... + an . Si jaj < 1 alors
Loi
conditionnelle
lim Sn =
n !∞
Indépendance
Moments
1
1
a
.
Preuve.
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Sn = 1 + a + a2 + ... + an
) aSn = a + a2 + ... + an +1
) Sn aSn = 1 an +1
1 an +1
) Sn =
.
1 a
79
Discret
Les séries géométriques II
Dé…nitions
Distribution
Theorem
Égalités forte
et faible
Posons Tn = 1 + 2a + 3a2 + ... + nan
Loi conjointe
lim Tn =
Loi
conditionnelle
n !∞
Indépendance
Moments
1.
1
(1
a )2
Si jaj < 1 alors
.
Preuve. Rappelons que Sn = 1 + a + a2 + ... + an .
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Tn
=
=
=
d
Sn
da
d 1 an +1
da 1 a
1 (n + 1) an + nan +1
(1
a )2
.
80
Discret
Les séries géométriques III
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Theorem
Posons Un = 1 + 22 a + 32 a2 + ... + n2 an
lim Un =
Indépendance
n !∞
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
1+a
(1
a )3
1.
Si jaj < 1 alors
.
Preuve. Rappelons que
Un
Tn
et aTn
= 1 + 22 a + 32 a2 + ... + n2 an
= 1 + 2a + 3a2 + ... + nan 1 .
= a + 2a2 + 3a3 + ... + nan
1
81
Discret
Les séries géométriques IV
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Un
d
=
(aTn )
da
d
= Tn + a Tn
da
1 (n + 1) an + nan +1
d
=
+a
2
da
(1 a )
=
1+a
1
(n + 1) an + nan +1
(1 a )2
n2 + 2n + 1 an + 2n2 + 2n
(1
1 an +1
!
an +2 n 2
a )3
82
.
Discret
Les moments I
loi géométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Rappel : Tn = 1 + 2a + ... + nan
Si 0 < π < 1 alors
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
et limn !∞ Tn =
1
.
(1 a )2
∞
E [X ] =
∑ xfX (x )
x =1
∞
Indépendance
Moments
1
=
∑ x π (1
π )x
1
∑ x (1
π )x
1
x =1
∞
= π
x =1
= π 1 + 2 (1
= π
π ) + 3 (1
1
(1
(1
π ))
2
=
π )2 + ...
1
.
π
83
Discret
Les moments II
loi géométrique
Dé…nitions
Distribution
Rappel : Un =
1 + 22 a + ... + n2 an 1
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
E X2
1 +a
.
(1 a )3
∞
=
∑ x 2 fX ( x )
x =1
∞
=
∑ x 2 π (1
π )x
1
∑ x 2 (1
π )x
1
x =1
∞
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
et limn !∞ Un =
= π
x =1
= π 1 + 22 (1
= π
=
2
1 + (1
(1
(1
π
π2
π ) + 32 (1
π )2 + ...
π)
π ))3
.
84
Discret
Les moments III
loi géométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Var [X ] = E X 2
2 π
=
π2
1 π
=
.
π2
(E [X ])2
1
π2
85
Discret
Exemple
Loi géométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Le nombre X de lancers de dé nécessaires à l’obtention de la
face 6 suit une loi géométrique de paramètre π = 16 .
x
Fonction de masse de X
fX ( x )
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
0,2
1
2
3
4
5
1, 667
1, 389
1, 157
9, 645
8, 038
...
10
10
10
10
10
1
0,15
1
0,1
1
2
0,05
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
E [X ] = 6 et Var [X ] = 30.
86
Discret
Binomiale négative I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Une expérience aléatoire est tentée.
Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être
obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient
avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris
entre 0 exclusivement et 1 inclusivement.
Cette expérience est répétée de façon indépendante jusqu’à
l’obtention de n succès. Soit X le nombre d’essais requis.
87
Discret
Binomiale négative II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
SX =
fn, n + 1, ...g si 0 < π < 1
n
si π = 1
Sa fonction de masse est
8
x 1
<
n 1
fX ( x ) =
:
π n (1
0
π )x
n
si x 2 SX
sinon.
88
Discret
Binomiale négative III
Dé…nitions
Distribution
Justi…cation de la fonction de masse
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
P [X = x ]
2
3
il y a eu exactement x essais,
6 le résultat du dernier essais est un succès 7
7
= P6
4 et parmi les x 1 premières tentaitves, 5
il y a eu n 1 succès.
=
(x 1) !
(n 1) ! (x n ) !
{z
}
|
Nombre de façons d’obtenir
n 1 succès en x 1 essais
πn
|{z}
(1 π )x n .
| {z }
probabilité d’obtenir probabilité d’ontenir
n succès
x n échecs
89
Discret
Binomiale négative IV
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Si Xi représente le nombre d’essais e¤ectués après le i 1
ième succès a…n d’obtenir le i ième succès alors X1 , ..., Xn
est un ensemble de variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées, toutes de loi Géométrique(π).
Nous pouvons constater que
n
X =
∑ Xi .
i =1
90
Discret
Binomiale négative V
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Pour cette raison,
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
E [X ] = E
Indépendance
Moments
n
∑ Xi
i =1
#
n
=
∑ E [Xi ]
i =1
n
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
"
=
par la propriété (E1)
1
∑π
i =1
=
n
π
91
Discret
Binomiale négative VI
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
En utilisant la propriété (V 4), nous établissons une
expression pour la variance d’une variable aléatoire de loi
binomiale négative :
"
#
n
∑ Xi
Var [X ] = Var
i =1
n
=
∑ Var [Xi ]
i =1
n
=
∑
i =1
= n
1
1
par la propriété (V4)
π
π2
π
.
π2
92
Discret
Exemple I
Binomiale négative
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Le nombre X de lancers de dé nécessaires à l’obtention de deux
fois la face 6 suit une loi binomiale négative de paramètres
n = 2 et π = 61 .
Loi
conditionnelle
Indépendance
x
Fonction de masse de X
fX ( x )
0,08
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
2
3
4
5
6
2, 778
4, 630
5, 787
6, 430
6, 698
...
10
10
10
10
10
2
0,07
0,06
2
2
2
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
E [X ] = 12 et Var [X ] = 60.
93
Discret
Hypergéométrique I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
La population est composée de N1 éléments de type 1 et
de N2 éléments de type 2.
Nous prélevons un échantillon aléatoire simple sans remise
de taille n de cette population (n étant un entier positif
inférieur ou égal à N1 + N2 ).
La variable aléatoire X est le nombre d’éléments de type 1
dans l’échantillon.
Cette situation ressemble à celle dé…nie lors de la
présentation de la loi binomiale. En e¤et, si nous
dé…nissons un succès comme étant le fait de choisir un
élément de type 1, alors X serait de loi
binomiale n, N 1N+1N 2 si l’échantillonnage était e¤ectué
avec remise.
94
Discret
Hypergéométrique II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Dans le cas d’un échantillonnage sans remise, le support
de la variable X est
SX = fx 2 N [ f0g : max f0, n
N2 g
x
min fn, N1 gg .
En e¤et, s’il y a moins d’éléments de type 1 dans la
population que d’éléments dans l’échantillon (n > N1 ) ,
alors il ne nous est pas possible d’obtenir plus de N1
succès. C’est pourquoi x min fn, N1 g.
S’il y a moins d’éléments de type 2 dans la population que
d’éléments dans l’échantillon (n > N2 ) , alors il ne nous
est pas possible d’obtenir plus de N2 échecs. Comme le
nombre d’échecs est n moins le nombre de succès, alors
x min fn, N2 g
n+x
min fn, N2 g = max f n,
x n + max f n, N2 g = max f0, n
n
,
,
N2 g
N2 g .
95
Discret
Hypergéométrique III
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
La fonction de masse est
8 0
10
>
N1 A @ N2
>
@
>
>
>
x
n x
<
1
0
fX ( x ) =
N
+
N
1
2
A
@
>
>
>
n
>
>
:
0
(
=
x ! (N 1
1
A
si x 2 SX
sinon
N 1 !N 2 !n!(N 1 +N 2 n )!
x ) ! (n x ) ! (N 2 n +x ) ! (N 1 +N 2 ) !
0
si x 2 SX
sinon.
96
Discret
Hypergéométrique IV
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Il est possible de montrer que
N1
et
N1 + N2
N1
N 2 N1 + N2
Var [X ] = n
N1 + N2 N1 + N 2 N1 + N2
E [X ] = n
n
.
1
97
Discret
Exemple I
Hypergéométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Un échantillon aléatoire simple sans remise de taille 20 est
sélectionné dans une classe composée de 8 …lles et 29
garçons.
Le nombre X de …lles présentes dans l’échantillon suit une
loi hypergéométrique de paramètres n = 20 et N1 = 8 et
N2 = 29.
Pour …ns de comparaison, nous avons aussi représenté la
distribution d’une variable aléatoire Y de loi binomiale de
8
paramètres n = 20 et π = 37
.
x
0
1
2
3
4
5
f X (x )
(blanc)
6, 2966 10
1, 0075 10
6, 0905 10
1, 8272 10
2, 9867 10
2, 7307 10
...
4
2
2
1
1
1
f Y (x )
(noir)
7, 6547 10
4, 2233 10
1, 1068 10
1, 8319 10
2, 1478 10
1, 8960 10
...
Fcts de masse de X et de Y
0,35
3
2
1
0,3
0,25
0,2
0,15
1
1
1
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
98
Discret
Exemple II
Hypergéométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Le nombre X de cartes en • obtenues dans une main de
poker suit une loi Hypergéométrique de paramètres n = 5
et N1 = 13 et N2 = 39.
Par comparaison, le nombre Y de cartes en • obtenues en
tirant cinq fois une carte avec remise dans un jeu de 52
cartes est de loi binomiale de paramètres n = 5 et π = 13
52 .
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
x
0
1
2
3
4
5
f X (x )
(blanc)
2, 2153 10
4, 1142 10
2, 7428 10
8, 1543 10
1, 0729 10
4, 952 10
1
1
1
2
2
4
f Y (x )
(noir)
2, 373 10
3, 9551 10
2, 6367 10
8, 7891 10
1, 4648 10
9, 7656 10
Fonctions de masse de X et de Y
0,5
1
0,4
1
0,3
1
0,2
2
0,1
2
0
4
0
1
2
3
4
5
99
Discret
Remarque I
Hypergéométrique
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
n
Plus le taux de sondage N 1 +
N 2 est petit, plus la loi
hypergéométrique de paramètres (n, N1 , N2 ) ressemble à
la loi binomiale n, N 1N+1N 2 .
100
Discret
Poisson I
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
La loi de Poisson s’applique souvent à la description du
comportement du nombre X d’événements qui se
produisent dans un certain intervalle de temps.
Le support d’une variable aléatoire de loi de Poisson est
l’ensemble des entiers naturels augmenté du zéro.
Sa fonction de masse est
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
fX ( x ) =
e
λ λx
x!
0
si x 2 f0, 1, 2, 3, ...g
sinon.
où λ est une constante positive.
Nous verrons lors de l’étude des processus de Poisson
comment se justi…e cette expression pour la fonction de
masse.
101
Discret
Poisson II
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
∞
E [X ] =
∞
= e
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
= λe
λ
∑
x
x =0
∞
λ
λ
∑
∑
λy
y!
y =0
= λe
λx
=e
x!
λx 1
(x 1) !
x =1
∞
= λe
x
x!
x =0
Moments
Lois discrètes
λλ
∑ xe
∞
λ
∑
x =1
x
λx
x!
λ λ
e =λ
102
Discret
Poisson III
Dé…nitions
∞
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
E X2
=
∑
∞
= λe
λ
= λe
λ
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
∑
x =1
∞
λ
∑
x =1
= λe
= λe
λ
∑
x
x =1
λx 1
(x 1) !
λx
d
= λe
∑
1) !
x =1 d λ ( x
∞
= λe
∞
x
x!
x =0
Indépendance
Moments
λλ
x 2e
λ
∞
x λx 1
∑
1) !
x =1 ( x
!
∞
λx 1
(x 1) λx 1
+
(x 1)! x∑
(x 1) !
=1
!
∞
λx 1
λx 2
+λ ∑
2) !
(x 1) !
x =2 ( x
λ
e λ + λe λ
= λ + λ2
Var [X ] = E X 2
(E [X ])2 = λ + λ2
λ2 = λ.
103
Discret
Exemple
Poisson
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
S’il y a en moyenne trois naissances par jour dans un
certain hôpital, alors le nombre X de naissances qui se
produiront pendant les prochaines trente-six heures (1
journée et demie) à cet hôpital suit une loi de Poisson de
paramètre λ = 4, 5.
x
fX ( x )
Fonction de masse de X
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
0
1
2
3
4
5
6
...
1, 111
4, 999
1, 125
1, 687
1, 898
1, 708
1, 281
...
10
10
10
10
10
10
10
2
0,2
2
0,2
1
0,1
1
1
0,1
1
0,0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
104
Discret
Propriété
Dé…nitions
Poisson
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes,
la première étant de loi de Poisson(λ1 ) et la deuxième
étant distribuée selon une loi de Poisson(λ2 ) , alors
X1 + X2 est de loi de Poisson(λ1 + λ2 ).
105
Discret
Uniforme
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Une variable aléatoire X est dite de loi uniforme discrète
de paramètres a et b si a et b sont des entiers tels que
a < b et que la fonction de masse de X est
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
fX ( x ) =
1
b a +1
0
si x 2 fa, a + 1, a + 2, ...., b g
sinon,
c’est-à-dire que chacune des modalités de la variable a la
même probabilité de survenir.
106
Discret
Série I
La somme des n premiers entiers.
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Theorem
Indépendance
∑ni=1 i =
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
n (n +1 )
,
2
n 2 N.
Preuve par induction. Lorsque n = 1, nous avons
1
∑i =1=
i =1
1 (1 + 1)
.
2
107
Discret
Série II
La somme des n premiers entiers.
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Supposons maintenant qu’il existe un k 2 N tel que
k (k +1 )
∑ki=1 i = 2 . Alors
k +1
∑i
k
=
i =1
∑i
i =1
=
=
!
+ (k + 1)
k (k + 1)
+ (k + 1) par hypothèse d’induction
2
k +1
(k + 2) .
2
108
Discret
Série I
La somme des n premiers entiers au carré.
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Theorem
Indépendance
∑ni=1 i 2 =
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
n (n +1 )(2n +1 )
,
6
n 2 N..
Preuve par induction. Lorsque n = 1, nous avons
1
∑ i2 = 1 =
i =1
1 (1 + 1) (2
6
1 + 1)
.
109
Discret
Série II
La somme des n premiers entiers au carré.
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Supposons maintenant qu’il existe un k 2 N tel que
k (k +1 )(2k +1 )
. Alors
∑ki=1 i =
6
k +1
∑i
2
k
=
i =1
i =1
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
∑i
=
=
=
=
2
!
+ (k + 1)2
k (k + 1) (2k + 1)
+ (k + 1)2 par hyp. d’induction
6
(k + 1)
(k (2k + 1) + 6 (k + 1))
6
(k + 1)
2k 2 + 7k + 6
6
(k + 1)
(k + 2) (2 (k + 1) + 1) .
6
110
Discret
Moments I
Loi uniforme
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Si Y est de loi uniforme(0, c ), c’est-à-dire que a = 0 et
b = c > 0, alors
c
Indépendance
Moments
E [Y ] =
y =0
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
1
∑ yc +1
=
=
=
c
1
y
c + 1 y∑
=0
1 c (c + 1)
c +1
2
c
2
111
Discret
Moments II
Loi uniforme
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
E Y2
c
=
y =0
Indépendance
Moments
=
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
1
∑ y2 c + 1
=
=
Var [Y ] =
c
1
y2
c + 1 y∑
=0
1 c (c + 1) (2c + 1)
c +1
6
c (2c + 1)
6
c (2c + 1)
6
c
2
2
=
c (c + 2)
12
112
Discret
Moments III
Loi uniforme
Dé…nitions
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Il su¢ t de constater que X = Y + a, c = b a pour
obtenir les premiers moments d’une variable aléatoire de
loi uniforme discrète de paramètres a et b :
E [X ] = E [Y ] + a
b a
=
+a
2
a+b
=
2
Var [X ] = Var [Y + a]
= Var [Y ]
(b a ) (b a + 2)
.
=
12
113
Discret
Exemple
Dé…nitions
Uniforme
Distribution
Égalités forte
et faible
Loi conjointe
Loi
conditionnelle
Indépendance
Moments
Lois discrètes
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Binomiale
négative
Hypergéométrique
Poisson
Uniforme
Le nombre X de points observés sur la face supérieure
d’un dé suit une loi uniforme de paramètres a = 1 et
b = 6. E [X ] = 27 = 3, 5 et Var [X ] = 35
12 = 2, 9167.
114