TABLE DES MATIÈRES – page -1 Chapitre 13 – Probabilités Chapitre 13 – Probabilités Table des matières I Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . 10 Algorithmique, simulation, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . probabilité II Cours 1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . 2 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . 3 Intersection et réunion d’évènement . 4 Diagrammes, tableaux, arbres . . . . 5 Modèles définis à partir de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . observées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Préparation de cours 1 Déroulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1a Équiprobabilité, calculs élémentaires . . . . 1b Évènement, intersection et réunion . . . . . 1c Utilisation de tableau et d’arbre . . . . . . . 1d Divers exercices d’application . . . . . . . . 1e Exercice de synthèse avec algorithmique . . 2 Activités et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2a Activités et exercices du Pixel Bordas . . . . 2b Activités et exercices du Indice Bordas . . . 2c Activités et exercices du Hyperbole Nathan 2d Activités et exercices du Repère Hachette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1 I-1 I-1 I-2 I-2 I-3 I-3 I-3 I-3 I-3 I-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1 . II-1 . II-1 . II-2 . II-2 . II-2 . . . . . . . . . . . III-1 . III-1 . III-1 . III-1 . III-2 . III-2 . III-2 . III-3 . III-3 . III-3 . III-3 . III-4 IV Prép. annexe IV-1 1 NOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV-1 2 Note : utiliser des modèles définis à partir de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . IV-2 3 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV-2 V Programme 2009 2de – Mathématiques V-1 TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-1 Chapitre 13 – Probabilités I Exercices Calculs de probabilité, une propriété, des techniques Les objectif de cette première partie sont – d’effectuer des calculs simples de probabilité ; – de rappeler l’idée d’équiprobabilité. – de préciser l’idée d’évènement, d’évènement contraire, d’intersection et de réunion d’évènement – d’apprendre une formule avec les probabilités de réunion et intersection de deux événements – d’apprendre à utiliser des diagrammes, des tableaux et des arbres 1 1. On lance une pièce. Quelle est la probabilité d’obtenir face ? Répondre sous forme de fraction ou d’un nombre décimal. 2. On lance un dé. Donner les réponses aux trois questions suivantes sous forme de fraction. (a) Quelle est la probabilité d’obtenir le 4 ? (b) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir le 4 ? (c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? 3. Parmi 200 appareils, 4 ont un défaut. On en prend un au hasard. Donner les réponses aux deux questions suivantes sous forme de nombres décimaux. (a) Quelle est la probabilité qu’il ait un défaut ? (b) Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas de défaut ? 2 On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 10. On appelle : • A l’évènement « le nombre choisi est pair » ; • B l’évènement « le nombre choisi est inférieur ou égal à 7 ». 1. (a) Donner P (A) c’est à dire la probabilité que le nombre choisi soit pair. (b) Donner P (B). 2. Évènement contraire : par exemple l’évènement contraire de B est « le nombre choisi n’est pas inférieur ou égal à 7 » et il s’écrit B (a) Donner P (B) (b) Décrire l’évènement A (c) Donner P (A) (d) Quel est le lien entre la probabilité d’un évènement et la probabilité de l’évènement contraire ? 3. Évènement A ∩ B : cet évènement signifie que les évènements A et B se produisent simultanément (a) Décrire l’évènement A ∩ B. (b) Donner P (A ∩ B). 4. Évènement A ∪ B : cet évènement signifie que l’évènement A se produit, ou B se produit ou les deux se produisent simultanément (a) Décrire l’évènement A ∪ B. (b) Donner P (A ∪ B). 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-2 Chapitre 13 – Probabilités 5. Diagramme de Venn Le diagramme ci-dessous s’appelle un diagramme de Venn. Les évènements A et B sont représentés par des disques et Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire, c’est à dire {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}. Placer dans ce schéma les nombres de 1 à 10. A B Ω 6. Une égalité importante en probabilité Écrire une égalité (une formule) qui donne le lien entre P (A ∪ B), P (A ∩ B), P (A) et P (B). 3 Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol, et 8 étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard dans cette classe. On appelle • A l’évènement « l’élève choisi étudie l’allemand » • B l’évènement « l’élève choisi étudie l’espagnol » 1. Tracer un diagramme de Venn (voir exercice sur fiche no 2), et le compléter avec des effectifs ou des probabilités. 2. Décrire l’évènement A ∪ B par une phrase. 3. Calculer P (A ∪ B). 4 Dans une classe de 31 élèves, il y a 16 filles, et parmi elles 4 filles font de l’allemand. Dans cette classe, 11 élèves font de l’allemand. Les autres font de l’espagnol. On choisit un élève au hasard. Écrire les probabilités demandées sous forme de fraction. On appelle • A l’évènement « l’élève choisi étudie l’allemand » • F l’évènement « l’élève choisi est une fille » 1. 2. 3. 4. 5. Décrire l’évènement A et calculer sa probabilité. Décrire l’évènement F et calculer sa probabilité. Décrire l’évènement P (A ∩ F ) et calculer sa probabilité. Compléter le tableau ci-dessous par des probabilités sous forme de fractions. Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit un garçon qui fait de l’espagnol ? A A Total F F Total 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-3 Chapitre 13 – Probabilités 5 On lance une pièce de monnaie deux fois de suite. 1. Tracer un arbre pour indiquer toutes les possibilités. 2. Toutes ces possibilités ont la même probabilité. (a) Déterminer la probabilité d’obtenir deux fois pile. (b) Déterminer la probabilité d’obtenir une seule fois pile. Exercices d’application Les exercices qui suivent ont pour but d’appliquer ce qui a été étudié à l’occasion des exercices précédents, c’est à dire – la propriété de probabilité concernant la réunion et l’intersection d’évènement – les diagrammes de Venn, les tableaux ou les arbres. À vous de trouver ce qui est le plus utile pour chaque exercice. 6 Dans une assemblée, 30 % des personnes boivent du thé, 80 % du café, et 95 % boivent du thé ou du café (ou les deux). On choisit une personne au hasard. Calculer la probabilité que cette personne boive du thé et du café. 7 Dans un garage, on classe les voitures vendues en catégorie A : de 0 à 4 ans et catégorie B : plus de 4 ans. Il y a – 78 Clio dont 32 sont de catégorie A ; – 60 Renault 5, toutes de catégorie B ; – 38 Mégane de catégorie A et 8 Méganes de catégorie B. On choisit une voiture au hasard. 1. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit une Clio de plus de 4 ans. 2. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit une voiture qui a entre 0 et 4 ans. 8 Au restaurant, deux amis choisissent chacun un plat du jour et un dessert. Ils ont le choix parmi trois plats du jour et deux desserts. Quelle est la probabilité que les deux choisissent le même menu ? 9 Dans un groupe, il a 60 % d’hommes. On sait aussi que 9 % des personnes du groupe sont des hommes qui parlent espagnol et que 8 % des personnes du groupe sont des femmes qui parlent espagnol On choisit une personne au hasard dans ce groupe. 1. Calculer la probabilité que la personne choisie soit un homme ne parlant pas espagnol. 2. Calculer la probabilité que la personne choisie ne parle pas espagnol. 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-4 Chapitre 13 – Probabilités 10 Algorithmique, simulation, probabilité Algorithme Entrée : n Traitement : c prend la valeur 0 (initialisation) Pour des valeurs de k de 1 à n de 1 en 1 a prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 1 et 3 b prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 1 et 3 s prend la valeur a + b Si s = 4, le nombre c prend la valeur c + 1 Fin du Pour c f prend la valeur n Sortie : f 1. Exécuter l’algorithme ci-dessus avec n = 10 en complétant ci-dessous. a 3 2 3 3 3 3 3 1 1 2 b 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 f = ... s s = 4? c 0 2. Cet algorithme calcule la fréquence d’apparition d’un évènement après une expérience aléatoire répétée n fois. (a) Décrire cette expérience aléatoire. (b) Décrire l’évènement. 3. Calculer la probabilité de cet évènement. Indication : tracer un arbre. 4. Si on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence d’apparition de l’évènement est proche de la probabilité. (a) Programmer cet algorithme à la calculatrice. (b) Exécuter cet algorithme avec n = 100. (c) Comparer avec la probabilité. 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr II COURS – page II-1 Chapitre 13 – Probabilités II Cours 1 Vocabulaire Exemple 1 On lance un dé et on note le numéro obtenu. Les issues possibles sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. 1 Il y a 1 chance sur 6 d’obtenir le 4, autrement dit la probabilité d’obtenir le 4 est . 6 Vocabulaire Lancer un dé et noter le numéro obtenu est une expérience aléatoire. L’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire s’appelle l’univers et on le note souvent Ω. Dans le cas du lancer du dé, l’univers Ω est donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. « Obtenir le numéro 4 » est un évènement que l’on écrit par exemple A. La probabilité p est une fonction qui associe à un évènement un nombre entre 0 et 1. 1 Dans notre exemple, on écrit : p(A) = . 6 2 Équiprobabilité Le programme de athématiques de seconde indique qu’un élève doit savoir déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité. 1 Dans notre exemple précédent (lancer de dé), la probabilité d’obtenir 4 est égale à mais la proba6 1 bilité d’obtenir le 1 ou d’obtenir le 2, le 3, le 5, le 6 est aussi égale à parce que les six numéros ont 6 la même probabilité d’être obtenu. On dit que c’est une situation d’équiprobabilité. Exemple 2 On lance un dé et on note le numéro obtenu, et on appelle B l’évènement : « le numéro obtenu est pair », autrement dit B = {2 ; 4 ; 6}. 3 1 1 1 p(B) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = + + = . 3 3 3 6 On définit en fait une probabilité de la façon indiquée ci-dessous. Définition La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Le calcul de probabilité de l’exemple 2 s’écrit plus simplement : 1 3 p(B) = = . 6 2 Cela nous donne un exemple de la propriété ci-dessous. Propriété Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement est égale à 2de – Mathématiques nombre de cas favorables . nombre de cas possibles TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr II COURS – page II-2 Chapitre 13 – Probabilités 3 Intersection et réunion d’évènement Définitions • l’intersection de deux évènements A et B qui s’écrit A ∩ B est l’évènement tel que les évènements A et B se produisent simultanément. • la réunion de deux évènements A et B qui s’écrit A ∪ B est l’évènement tel que les évènements A ou B se produisent (l’un ou l’autre ou les deux). Propriété Pour deux évènement A et B, on a la propriété suivante : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). Le programme de mathématiques de seconde indique qu’un élève doit connaître et exploiter la formule p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). 4 Diagrammes, tableaux, arbres Le programme de mathématiques de seconde indique que pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux. Diagramme de Venn : voir l’exercice sur fiche no 2. Tableau de probabilité : voir l’exercice sur fiche no 4. Arbre : voir l’exercice sur fiche no 5. 5 Modèles définis à partir de fréquences observées. Le programme de mathématiques de seconde indique qu’un élève doit savoir utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. Voir les exercices sur fiche no 6 et 9. 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr Chapitre 13 – Probabilités III III PRÉPARATION DE COURS – page III-1 Préparation de cours 1 Déroulement 1a Équiprobabilité, calculs élémentaires Exercice sur fiche no 1 Capacité : déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité. Synthèse – – – – expérience aléatoire passer de « il y tant de chances sur tant » à « la probabilité est égale à » une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 idée d’évènement contraire, sans insister sur la notion d’évènement, mais en faisant remarquer que P (A) = 1 − P (A) 1 – équiprobabilité, par exemple la probabilité du 4 au lancer de dé est parce que les six issues sont 6 équiprobables – La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le 3 1 1 1 constituent, par exemple la probabilité de « pair » est + + = 6 6 6 6 Exercices d’application du livre ex. 3 p 150 : le manuel indique que dans cette situation les événements élémentaires ne sont pas équiprobables, mais il y a bien équiprobabilité pour chacun des petits secteurs. L’intérêt est d’insister sur le fait que la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent ex. 5, 7, 8 p 151 1b Évènement, intersection et réunion Exercice sur fiche no 2 Synthèse – – – – Notion d’évènement et sa probabilité évènement contraire, P (A) = 1 − P (A) Réunion et intersection de deux événements, et formule : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). diagramme de Venn Exercice sur fiche no 3 : exercice d’application (capacité : connaître et exploiter la formule p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)). Exercices d’application du livre ex. 18 p 155 : intersection et réunion, mais ne nécessite pas la formule ex. 19, 20, 21, 22 : font utiliser la formule et les probas d’évènements contraires, mais sont décontextualisés ex. 24 p 155 : intersections seulement, préciser que « énoncer » veut dire « décrire par une phrase » ex. 26 p 155 : nécessite une schématisation pour comprendre la répartition des effectifs ex. 52, 53, 54, 56, 57 p 162 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr III PRÉPARATION DE COURS – page III-2 Chapitre 13 – Probabilités 1c Utilisation de tableau et d’arbre Exercice sur fiche no 4 – Tableau Objectifs – réutiliser les notions d’évènement, évènement contraire, intersection – utiliser un tableau de probabilité Exercices d’application du livre ex 51 p 161 : le tableau est donné, contient des fréquences en % ex. 55 p 162 : le tableau vierge est donné, à compléter, puis calculer des probas, exerice long À FAIRE : exercices nécessitant l’utilisation de tableaux par exemple : manuel Indice ex. 15 p 167, 16 à 20 p 168 Exercice sur fiche no 5 – Arbre Objectifs – utiliser un arbre pour visualiser toutes les possibilités – Commentaire du programme : la probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Ici : p(1 seul pile) = p(P − F ) + p(F − 1 P) = 2 Exercices d’application du livre ex. 11, 12, 13, p 153 1d Divers exercices d’application Exercice sur fiche no 6 – Intersection-réunion – capacité : utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées ; – capacité : connaître et exploiter la formule p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)). Exercice sur fiche no 7 – Tableau Exercice sur fiche no 8 – Arbre Exercice sur fiche no 9 – Tableau Exercices du livre « Prendre toutes les initiatives » ex. 59 p 163 : réunion, intersection, diagramme de Venn ex. 60, 61 p 163 : arbre 1e Exercice de synthèse avec algorithmique Exercice sur fiche no 10 Objectifs – – – – comprendre un algorithme « complexe » utilisation d’un arbre calcul de proba par addition de probas d’évènements élémentaire (commentaire du programme) simulation par algorithme, loi des grands nombres 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr III PRÉPARATION DE COURS – page III-3 Chapitre 13 – Probabilités 2 Activités et exercices 2a Activités et exercices du Pixel Bordas ex 2 p 300 pisciculture ex 38 p 302 patissier ex 39 p 302 clémentines et oranges ex 40 p 302 lycée L ES S STG et F G ex 80 p 306 population languedoc roussillon ex 83 p 307 cohabitation jeunes 2b Activités et exercices du Indice Bordas ex 1 p 166 fréquence enfants famille ex 4 p 166 sexe enfants nés à Londres ex 5 p 166 répartition élèves Anglais/Espagnol et Externe/DP ex 6 p 166 anglais/esp dans une classe ex 10 p 166 assemblée personnes boivent thé/café ex 11 p 167 filles/garçons en seconde ou non ex 12 p 167 club natation crawl on non / compétition ou non ex 15 p 167 atelier 3 machines A, B, C et défaut ou non ex 16 p 167 Anglais All Esp / Externe ou DP ex 17 p 168 Réveillon enquête G/F et lieu (parents, amis, restau) ex 18 p 168 garage auto ancienneté A, B, C et marque ex 19 p 168 ménage ayant chien ou chat oules 2 ou aucun ex 20 p 168 hommes/femmes parlent esp ou non ex 21 p 169 lot 5000 vis deuxtypes de défaut ex 26 p 169 deux options basket ou natation ex 27 p 169 librairie ventes de différents types de livres ex 30 p 172 G/F et Externe/DP ex 31 p 172 fleurs de différent types etde différentes couleurs ex 36 p 172 combinaisons entrée-plat proba me ccombinaison ex 38 p 172 course 4 personnes, ordres d’arrivée ex 41 p 173 surréservation et simulation par algorithme 2c Activités et exercices du Hyperbole Nathan ex 11 p 249 groupes sanguins et résus ex 23 p 250 personnes s’intéressent à pêche / lecture ex 38 p 253 population France 2009 âge / sexe ex 40 p 254 insécurité ex 54 p 258 loi du temps d’attente famille enfants des deux sexes algorithme de simulation ex 57 p 258 trois personnes descendent ascenseur, 5 étages desservis, proba 3 personnes desendent au même étage 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr III PRÉPARATION DE COURS – page III-4 Chapitre 13 – Probabilités 2d Activités et exercices du Repère Hachette ex 40 p 171 élèves musique / échecs ex 41 p 191 habitudes alimentaires ex 42 p 192 équipements des foyers ordi portables et tél portables ex 43 p 192 absentéisemes, ensembles emboîtés ex 44 p 192 agence voyages trois formules A, B, C. Combinaisons de ces trois formules ex 50 p 194 messages indésirables et leur élimination ou non ex 51 p 194 auto-école conduite acc ou filière traditionnelle ex 52 p 195 deux types de sacs et différents âges ex 55 p 196 combinaisons menus ex 56 p 196 QCM trois question V/F ex 57 p 196 combinaisons d’habillement ex 77 p 202 enquête lecture 3 livres : 3 ensembles E, H, F leurs intersections etc. ex 78 p 202 couple trois enfants, différentes possibilités, probabilités ex 79 p 202 élevage 3 races et sexe 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr IV PRÉP. ANNEXE – page IV-1 Chapitre 13 – Probabilités IV 1 Prép. annexe NOTES 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr IV PRÉP. ANNEXE – page IV-2 Chapitre 13 – Probabilités 2 Note : utiliser des modèles définis à partir de fréquences Le programme indique « utiliser des modèles définis à partir de fréquences » Je pensais qu’il s’agissait de situations où des fréquences sont données, puis qu’elles sont interprétées comme des probas, en définissant des expériences aléatoires comme dans le sexercices sur fiche no 6 et 9. En fait il s’agit d’approche fréquentiste : des probas sont induites à partir d’un grand nombre de répétitions d’une expérience aléatoire. Voir par exemple – Indice Bordas, ex 3 p 166 – Repère Hachette, ex 73 p 200 (long !) 3 Références Programme de mathématiques de 2de, BO n◦ 30 du 23 juillet 2009 Manuel des élèves : Transmath, 2de, 2010 Maths 2de, Indice Bordas 2009 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr V PROGRAMME 2009 – page V-1 Chapitre 13 – Probabilités V Programme 2009 BO n◦ 30 du 23 juillet 2009 Probabilité sur un ensemble fini Contenus Probabilité sur un ensemble fini Probabilité d’un événement. Réunion et intersection de deux événements, formule : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). Capacités attendues - Déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité. - Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. - Connaître et exploiter la formule p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). Commentaires La probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux. 2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr