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Principes et Méthodes de la Biostatistique
Loi normale et lois dérivées 21
Un premier résultat concernant la distribution normale est que si X est N(μ;σ2) (ce
symbole se comprend de lui-même), la variable Y=aX+b, où a et b sont des nombres est aussi
normale, de moyenne aμ+b et de variance a2σ2.
Ce résultat, toute fonction linéaire d’une variable normale est elle-même normale, est
très utile, notamment pour les calculs, car il montre qu’on peut toujours se ramener à la
variable normale centrée réduite. En effet, soit X=N(μ ;σ2) et cherchons la probabilité que X
soit inférieure ou égale à un nombre donné x0 (c’est, rappelons-le, la fonction de répartition de
X). Pr{X≤x0}= Pr{
≤
0−
}. Mais Y=
a pour moyenne 0 et pour variance 1,
c’est une normale centrée réduite ; la probabilité cherchée est donc Pr{Y<y0} où Y=N(0,1)
et y0=
0−
.
Calculs numériques sur les lois normales
On peut les effectuer soit à partir de tables numériques, soit, et de façon beaucoup plus
commode, à partir de logiciels.
On trouvera deux tables en annexe : la première fait correspondre la valeur u et la
probabilité π telles que Pr{X<u}=π. On y lit par exemple que Pr{X<1.96}=0.975 = 97.5 %,
ou Pr{X<1}=84.13%, etc… . On a bien sûr, Pr{X> u}=1-π=α; on a coutume de désigner par
le symbole zα la valeur telle que Pr{X>zα}=α. Ainsi, z0.05=1.645, z0.025 =1.96, etc… A cause
de la symétrie de la densité de X autour de 0, la table ne considère que des z positifs.
Supposons que nous cherchions le z correspondant à α=80%. De Pr{X>z0.8}=0.8, on tire
Pr{X<z0.8}=0.2 et on voit que z0.8=-z0.2=-0.841. .De façon générale, zα=-z1−α.
La deuxième table, qui se déduit de la précédente, associe les valeurs ε et α, telles que
Pr{ X>
α
}= α. Par exemple ε0.05=1.96. ε α est toujours positif. On vérifie immédiatement
que, pour α ≤ 0.5, zα=ε2α. Ainsi si X est normale de moyenne μ et de variance σ2, la
probabilité qu’elle tombe dans l’intervalle [μ-1.96σ, μ+1.96σ] est 0.95. Très souvent, on
remplace 1.96 par la valeur approchée 2, et on a alors la règle des 2 écarts-types : une variable
N(μ,σ2) a une probabilité de 95% de tomber dans l’intervalle
2
.
Pour ce qui est des logiciels, il existe dans EXCEL plusieurs fonctions permettant
d’effectuer tous les calculs portant sur les lois normales.
La convergence vers la loi normale : le théorème limite central
C’est sans doute le théorème le plus étonnant et le plus utilisé du calcul des probabilités.
Soit X1, X2,…, Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi, de moyenne μ et de
variance σ2. Comme la moyenne M des Xi M=
1
...
n
n a pour moyenne μ et pour
variance
2
n, la variable
−
σ
2
n
a une moyenne nulle et une variance unité. Le théorème