Séries d`exercices 3ème sciences trigonometrie
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Séries d’exercices 3ème sciences trigonometrie Maths au lycee *** Ali AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/ EXERCICE N°1 Sans utiliser une calculatrice, calculer le réel : π π 3π 2π 5π 3π 1°) cos + cos + cos - sin - sin - sin 14 7 14 7 14 7 π 2π π 4π 5π 2π 7π 8π 2°) tan + tan + tan + tan + tan + tan + tan + tan 9 9 3 9 9 3 9 9 π 2π 3π 4π 3°) cos ² + cos ² + sin ² + sin ² 5 5 5 5 π 5π π 4π 4°) tan . tan + cot an . tan 12 12 5 5 π π π 3 5 7π 5°) sin 2 + sin 2 + sin 2 + sin 2 8 8 8 8 π π π 2 4 6 8π 6°) cos 2 + cos 2 + cos 2 + cos 2 8 8 8 8 9π 11π 2 π 2 3π 2 5π 2 7π 7°) sin + sin + sin + sin + sin 2 + sin 2 12 12 12 12 12 12 EXERCICE N°2 π π π π π π = − , calculer cos , sin et tan 12 3 4 12 12 12 5π π 2°)Démontrer que l’on a : tan ² + tan ² = 14 12 12 π π π 5π 3°) Calculer cos , sin , tan et tan 8 8 8 8 1°)On remarquant que l’on a : EXERCICE N°3 Soit ACDE un carré direct de côté a = 2 et soit ABC un triangle équilatéral indirect . ( ) 1°)Montrer que ABE est un triangle isocèle et calculer ses angles et en déduire que EB , ED ≡ π [2 π ] 12 2°)Soit H le projeté orthogonale de B sur [ED]. Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos π . 12 EXERCICE N°4 Soit ℘ = cos x cos 2 x cos 4 x 1°)Montrer que : 8 sin x .℘ = sin 8 x π 2π 4π 2°)En déduire la valeur de cos cos cos 7 7 7 EXERCICE N°5 Soit ℓ = 2 sin x (cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x ) 1°)Montrer que : pour tout a,b ∈ R : 2 sin a cos b = sin( a + b ) + sin( a − b ) 2°)Montrer que ℓ = sin7 x − sin x 2π 4π 6π 3°)En déduire la valeur de S = sin ² + sin ² + sin ² 7 7 7 EXERCICE N°6 1°)Montrer que pour tout x de R : π 2 cos x − = cos x + sin x 4 2°)Montrer que pour tout x de R : π 2 cos x + = cos x − sin x 4 cos 2 x sin x + cos x π = 3°) Montrer que pour tout x de R − + kπ ,, k ∈ Z : sin 2 x − 1 sin x − cos x 4 cos 2 x π π = cot an x − 4°) En déduire que pour tout x de R − + kπ ,, k ∈ Z : 4 sin 2 x − 1 4 1 EXERCICE N°7 2π 2π 1°)Montrer que pour tout x de R : cos x + cos x + + cos x − =0 3 3 11π 17 π π 2°)Calculer alors cos + cos + cos =0 7 7 7 3°) Montrer que : pour tout a,b ∈ R : cos( a + b ) + cos( a − b ) = 2 cos a cos b 2π 2π 3 4°)En déduire que cos ² x + cos ² x + + cos ² x − = 3 3 2 EXERCICE N°8 1°)Montrer que pour tous réels a et b différents de π sin( a + b ) + kπ , (k ∈ Z ) , on a : tan a + tan b = 2 cos a. cos b π π 2°)Soit x un réel de − , . 6 6 π π 4 sin 2 x a) Montrer que : tan x − + tan x + = 3 3 2 cos 2 x − 1 b) Montrer que : cos x .(2 cos 2 x − 1 ) = cos 3 x c) π π En déduire que tan x − + tan x + tan x + = 3 tan 3 x 3 3 EXERCICE N°9 ( ) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O , i , j . Déterminer le cordonnées polaire des points A( 1, 3 ) , B( 1,− 3 ) , C ( −1, 3 ) et D( −1,− 3 ) EXERCICE N°10 ( ) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O , i , j . On considère le carré OABC de centre S tel que les cordonnées cartésiennes respectives de A et C sont ( 1, 3 ) et ( − 3 ,1 ) . 1°)Faire une figure. 2°)Déterminer les cordonnées polaires de chacun des points A , C , B et S . 7π π π 3°)En déduire le valeur de cos , sin et cos 12 12 12 EXERCICE N°11 ( ) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O , i , j . On considère les points A(2,0) , B( 3 ,1 ) et le point C vérifiant OC = OA + OB 1°)Déterminer les cordonnées polaires du point B. ( ) 2°)Placer les points A , B et C dans le repère O , i , j 3°)a-Donner la nature du quadrilatère OACB. b-Déterminer les cordonnées cartésiennes et les cordonnées polaires de C. π π c-En déduire les valeurs de cos et sin . 12 12 4°)Construire chacun des ensembles suivants : π π 4π E = M ( r ,θ )/ θ = et r ∈ [1,3 ] et F = M ( r , θ ) / θ ∈ , et r = 2 6 6 3 EXERCICE N°12 Partie I. Résoudre les équations suivants dans R puis dans [0 ,2 π ] et représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions : π 2 sin x = 3 ; 2 cos x = −1 , 2 cos x − = −1 , sin x = cos x , tan x = − 3 , cos x − sin ² x − 1 = 0 . 6 Partie II. Résoudre les inéquations suivants dans [0 ,2 π ] 2 sin x ≤ 3 2 π , 2 cos x + 1 ≥ 0 , 2 cos x − ≤ −1 , tan x > − 3 . 6 EXERCICE N°13 π π 1°) Résoudre dans R : sin x − − 3 cos x − = 0 3 3 2°)Résoudre dans R : sin x − 3 cos x = 2 3°) Résoudre dans [− π, π ] : sin x − 3 cos x ≥ 2 4°) Résoudre dans [− π, π ] : 3 cos x − 2 sin ² x + 3 = 0 5°) Résoudre dans [− π, π ] : 3 cos x − 2 sin ² x + 3 ≥ 0 2 cos 2 x − 1 6°)Résoudre dans [0 ,2 π ] : ≤0 1 + 2 cos 2 x EXERCICE N°14 π Pour tout réel x, on pose u( x ) = 2 cos ² x + 3 sin 2 x + 4 sin ² x − 1 et v( x ) = 3 sin x − 4 sin 3 x + cos x + 6 1°)Transformer u(x) en [c − r cos( 2 x + φ ) ] où c , r et φ sont des réels avec r >0 et 0 < φ < π . 2°)Resoudre dans [0 , π ] l'équation : u(x) = 1 . π 3°)Montrer que, pour tout réel x, on a : u( x ) = 4 sin ² x + 6 π 4°)Montrer que, pour tout réel x , on a : v( x ) = sin 3 x + cos x + 6 π π 5°) Montrer que, pour tout réel x , on a : v( x ) = 2 sin 2 x + sin x + 3 6 u( x ) 6°)Soit la fonction f : x ֏ v( x ) a) Déterminer le domaine de définition D de f . 1 b)Montrer que pour tout x de D : f ( x ) = π cos x + 6 c)Résoudre dans [0 , π ] , l'inéquation : f ( x ) < 2 3 3
