37. a) Le champ magnétique en un point de la cavité cylindrique est

37. a) Le champ magnétique en un point de la cavité cylindrique est égal à la somme des champs produits par deux
distributions de courant. La première distribution est celle d’un cylindre plein (sans le trou) portant une densité
de courant identique à celle du vrai cylindre. La seconde distribution consiste en une densité de courant de
même grandeur mais de sens opposé au courant du vrai cylindre, mais qui existerait uniquement dans le trou.
En superposant ces deux densités de courant, le courant net est effectivement nul dans la région de la cavité.
D’autre part, un cylindre plein parcouru par un courant i uniformément distribué dans la section transversale
produit un champ magnétique dont la grandeur est
µ0 ir
B=
2πR2
à une distance r de son axe, à l’intérieur du cylindre. Dans ce cas, R est le rayon du cylindre, et la densité de
courant est
i
i
J=
=
,
A
π(a2 − b2 )
où A π(a2 b2) est l’aire de la section transversale du cylindre, en tenant compte de la cavité. Dans le
cylindre sans la cavité, le courant est
ia2
i1 = JA = πJa2 = 2
a − b2
et le champ magnétique qu’il produit en un point situé à une distance r1 de son axe a une grandeur
µ0 i1 r1
µ0 ir1 a2
µ0 ir1
=
=
.
B1 =
2
2πa
2πa2 (a2 − b2 )
2π(a2 − b2 )
Le courant dans le cylindre correspondant à la cavité cylindrique est
ib2
i2 = πJb2 = 2
a − b2
et le champ qu’il produit en un point situé à une distance r2 de son axe vaut
µ0 i2 r2
µ0 ir2 b2
µ0 ir2
=
=
.
B2 =
2
2πb
2πb2 (a2 − b2 )
2π(a2 − b2 )
Au centre de la cavité, ce champ est nul et exactement le même que si la cavité était remplie. On pose r1 d
dans l’expression de B1, et on obtient
µ0 id
B=
2π(a2 − b2 )
pour le champ au centre de la cavité. Si le courant sort du plan de la page, ce champ est orienté vers le haut dans
le schéma.
b) Si b 0, la formule du champ devient
B=
µ0 id
.
2πa2
Cette expression exprime correctement le champ d’un cylindre plein parcouru par un courant i, en un point situé
à l’intérieur du cylindre à une distance d de son axe. Si d 0, la formule donne B 0. C’est le bon résultat pour
le champ produit sur l’axe d’un cylindre creux de densité de courant uniforme.
c) Considérez un parcours rectangulaire comportant deux grands côtés (côtés 1 et 2, chacun de longueur L) et deux
petits côtés (chacun plus court que b). Si le côté 1 est directement sur l’axe de la cavité, le côté 2 doit aussi être
parallèle à l’axe et à l’intérieur de la cavité. Afin de s’assurer que les petits côtés ne contribuent pas de façon
significative à l’intégrale dans le théorème d’Ampère, on peut faire en sorte que L soit très long (peut-être plus
long que la longueur du cylindre), ou encore faire appel à un argument en rapport avec l’angle entre le champ
et les deux côtés courts (qui vaut 90° sur l’axe de la cavité). Finalement, l’intégrale dans le
magnétique B
théorème d’Ampère se réduit à
· ds = µ0 iint
B
rectangle
· ds +
B
côté 1
· ds = µ0 icavité
B
côté 2
(Bcôté 1 − Bcôté 2 ) L = 0
où Bcôté 1 est la grandeur du champ le long de l’axe trouvé dans la partie a). Cela démontre que la grandeur du
champ des points situés hors de l’axe (comme le champ Bcôté 2) est la même que celle au centre de la cavité.
Donc, le champ est uniforme dans la cavité.