Extraits Examens EqD1

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................
Classe: ......... – Section:................
Extraits de sujets d'examens
Thème:
Équations différentielles du 1er ordre
Table des matières
Descriptif des sujets d'examens............................................................................................................2
EXERCICE n°.....: Résolution d'une équation différentielle du 1er ordre.......................................3
EXERCICE 2013_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2013)....................................4
EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2012)....................................5
EXERCICE 2008_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2008)....................................6
EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2007)....................................7
EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2005)....................................8
EXERCICE 2013_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2013)....................................9
EXERCICE 2012_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2012)..................................10
EXERCICE 2010_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2010)..................................11
EXERCICE 2008_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2008)..................................12
EXERCICE 2007_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2007)..................................13
EXERCICE 2005_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2005)..................................14
EXERCICE 2004_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2004)..................................15
EXERCICE 2003_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2003)..................................16
EXERCICE 2009_CPI: (Extrait du sujet CPI – Session 2009)......................................................17
EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet CPI – Session 2005)......................................................18
EXERCICE 2001: (Extrait du sujet CPI Groupement B – Session 2001).....................................19
M. Basnary S.
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Descriptif des sujets d'examens
Solution y0
Solution particulière yp
g(x) = b(x) ÷ a(x)
Par vérification
Lien avec
Par identification
Partie B.
EXERCICE
Cte
2013_Gr_C
X
2012_Gr_C
X
k
Oui
2008_Gr_C
X
c
Oui
2007_Gr_C
X
ax+b
Oui
2005_Gr_C
X
ax+b
Oui
2013_Gr_B
Poly
e ou ln Polynôme
U×V
X
Polynôme
U×V
Lien
a ×t ×e – t
Oui
1
2012_Gr_B
X
X
Oui
2010_Gr_B
X
X
Oui
2008_Gr_B
X
X
Oui
2007_Gr_B
X
1
2005_Gr_B
X
2004_Gr_B
2003_Gr_B
X
U÷V
1
X
2009_CPI
Oui
Non
X
X
1
Oui
Oui
2005_CPI
X
X
2001
X
X
M. Basnary S.
Oui
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Oui
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EXERCICE n°.....:
Résolution d'une équation différentielle du 1er ordre
On considère l'équation différentielle (E) qui vous est donnée, dans laquelle y est une fonction de la
variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ et y' sa fonction dérivée.
1. Donner l'équation différentielle homogène (E0) associée à (E) puis déterminer la solution y0 de
(E0).
2. Solution particulière yp(x).
a) A l'aide des informations qui vous sont données, re-écrire l'expression de la solution
particulière yp de (E) puis déterminer l'expression de sa fonction dérivée.
Aide: On fera attention à la forme de yp pour le calcul de sa dérivée.
b) Donner et appliquer la méthode qui permet de déterminer que la fonction yp soit une solution
particulière de (E).
c) Donner ou redonner l'expression complète de yp.
3. Déduire des questions 1. et 2. l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. A l'aide de la condition initiale (CI) qui vous est donnée, déterminer l'expression complète de la
fonction f, solution sur ℝ de l'équation différentielle (E) et qui vérifie cette condition initiale.
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
ℝ
Trivial
k × e – G (x)
2. La solution particulière yp est :
yp (x) = (...)
yp' (x) = (...)
La méthode est par vérification ou bien par identification des coefficients.
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x) = (...)
La condition initiale est: (...)
Solution: f (x) =
Remarque:
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EXERCICE 2013_Gr_C:
(Extrait du sujet Groupement C – Session 2013)
Partie A. Taux d'alcool, deux exemples (...)
Partie B. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle, notée (E) : y' + y = 2 e – t , où y désigne une fonction de la
variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0,025 ; + ∞ [.
1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0.
2. Déterminer la valeur du réel a telle que la fonction g, définie sur [ 0,025 ; + ∞ [ par :
g(t) = a × t × e – t
soit une solution particulière de l'équation (E).
3. En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction f solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie f (0,025) = 0.
Partie C. Lectures graphiques
(…) la fonction f définie sur [ 0,025 ; + ∞ [ par : f (t) = ( 2 t – 0,05 ) × e – t (...)
CORRECTION
1. (E0) : y' + y = 0. C'est une équation du premier ordre du type (E0) : a(t) y' + b(t) y = 0.
Variable : t, fonction : y(t)
Identification de a et b : a(t) = 1 ; b(t) = 1.
Hypothèse n°1 : a(t) ≠ 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n°2 : a' (t) = 0 et b' (t) = 0.
Théorème : g(t) = b(t) / a(t) donc g(t) = 1.
Soit G la primitive de g alors G(t) = t.
Les solutions de s'écrivent y0(t) = k e – G(t) soit :
y0(t) = k e – t .
2. La solution particulière yp est ici notée g avec
g(x) = a × t × e – t
g est une fonction de type U × V avec :
U(t) = a × t → U ' (x) = a
V(t) = e – t → V ' (x) = – e – t donc
g' = U ' × V + U × V '
g' (x) = a e – t + a × t × ( – 1 ) e – t soit
g' (x) = ( – a t + a ) e – t .
La méthode à utiliser est la méthode par identification
(E) : y' + y = 2 e – t
⇔
g' + g = 2 e – t
⇔
( – a t + a ) e–t + a × t × e–t = 2 e–t
⇔
– a t × e–t + a × e–t + a × t × e–t = 2 e–t
⇔
+ a × e–t = 2 e–t
Par identification on obtient :
a=2
soit
g(t) = 2 × t × e – t
3. Les solutions de (E) s'écrivent : yg = y0 + yp
soit
yg (x) = k e – t + 2 t × e – t .
4. f (0,025) = 0 ⇔ yg (0,025) = 0 ⇔ k e – 0,025 + 0,05 × e – 0,025 = 0 ⇔
k = – 0,05.
La solution f est donc :
f (x) = – 0,05 e – t + 2 t × e – t.
Remarque(s) : On retrouve la fonction f de la Partie C.
M. Basnary S.
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EXERCICE 2012_Gr_C:
(Extrait du sujet Groupement C – Session 2012)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos
rempli d'un liquide dans lequel on a placé des petites boules de même
volume et de masses différentes. Lorsque la température du liquide varie,
les boules vont monter ou descendre, indiquant ainsi la température
ambiante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
Lors de la construction d'un tel thermomètre, l'étude de la chute d'une boule dans un fluide
conduit à l'équation différentielle (E) : y' + ½ y = 13/2
où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et où y' est la
fonction dérivée de y.
1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + ½ y = 0.
2. Déterminer le réel k tel que la fonction g, définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g(t) = k, soit une solution
particulière de l'équation (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction f, définie sur [ 0 ; + ∞ [, solution de l'équation différentielle (E) qui
vérifie la condition f (0) = 0.
Partie B. Étude de fonction
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f (t) = 13 × ( 1 – e – ½ t ). (...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (t)
b (t)
I
a (t) ≠ 0
a' (t)
b' (t)
g (t)
G (t)
y0(t)
1
½
ℝ+
Trivial
0
0
½
2. La solution particulière yp est la fonction g telle que
g' (t) = 0
La méthode est par identification de coefficients:
(E) : g' + ½ g = 13/2 ⇔
½ k = 13/2 ⇔
3. Solution: yg(t) = y0(t) + yp(t)
⇔
½t
k × e–½t
g (t) = k (constante).
k = 13 ⇔ g (t) = 13
yg(x) = k × e – ½ t + 13
4. La condition initiale porte sur y . L'équation1 et sa solution sont:
y (0) = 0
⇔
k + 13 = 0 ⇔
k = – 13
Solution: f (x) = – 13 × e – ½ t + 13 ou encore f (x) = 13 × ( 1 – e – ½ t )
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
1 Rappels: e0 = 1
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EXERCICE 2008_Gr_C:
(Extrait du sujet Groupement C – Session 2008)
A. Résolution d'une équation différentielle
L'étude d'un mouvement a montré que la vitesse en mètres par seconde est une fonction dérivable y
de la variable réelle positive t vérifiant l'équation différentielle:
(E) : y' + 2 y = 50.
1. Résoudre sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ l'équation différentielle (E0) : y' + 2 y = 0
2. Déterminer une fonction constante solution de l'équation (E) sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
Aide: Quelle est la forme de yp(t)? Quelle est la méthode à adopter ?
3. En déduire la solution générale de (E) sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
4. Sachant que la vitesse initiale à l'instant t = 0 est nulle, déterminer la vitesse y en fonction de t.
Aide: Comment peut-on traduire mathématiquement cette dernière information pour permettre
la détermination de la constante k qui intervient dans l'expression de yg(t).
B. Étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ par f (t) = 25 × (1 – e – 2 t ).
(...)
CORRECTION:
5. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (t)
b (t)
I
a (t) ≠ 0
a' (t)
b' (t)
g (t)
G (t)
y0(t)
1
2
ℝ+
Trivial
0
0
2
6. La solution particulière yp est la fonction g telle que
g' (t) = 0
La méthode est par identification de coefficients:
(E) : g' + 2 g = 50
⇔
2 a = 50
⇔
7. Solution: yg(t) = y0(t) + yp(t)
⇔
2t
k × e – 2t
g (t) = a (constante).
a = 25 ⇔ g (t) = 25
yg(x) = k × e – 2t + 25
8. La condition initiale porte sur y . L'équation2 et sa solution sont:
y (0) = 0
⇔
k + 25 = 0 ⇔
k = – 25
Solution: f (x) = – 25 × e – 2t + 25 ou encore f (x) = 25 × ( 1 – e – 2t )
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
2 Rappels: e0 = 1
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EXERCICE 2007_Gr_C:
(Extrait du sujet Groupement C – Session 2007)
A. Étude de la demande
On considère l'équation différentielle (E) : y' + 0,4 y = 0,4 × x – 1.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ
et y' sa fonction dérivée.
1. Résoudre sur l'ensemble des nombres réels, l'équation différentielle (E0) : y' + 0,4 y = 0.
2. Solution particulière et solution générale.
a) Déterminer les réels a et b pour que la fonction g, définie pour tout x réel par:
g (x) = a × x + b , soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ?
b) Résoudre l'équation différentielle (E)
3. Déterminer la fonction f solution sur l'ensemble des nombres réels de l'équation différentielle
(E), telle que f (0) = 10.
Aide: Quelles sont les conditions vérifiées par la fonction f ?
4. On appelle d la fonction demande, (...) On admet que pour tout x (...) d (x) = 15 e – 0,4 x + x – 5 .
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
0,4
ℝ
Trivial
0
0
0,4
0,4x
k × e – 0,4x
2. La solution particulière yp est la fonction g soit g (x) = a × x + b et g' (x) = a
a) La méthode est par identification des coefficients:
(E) : g' + 0,4 g = 0,4 × x – 1
⇔
a + 0,4 a x + 0,4 b = 0,4 x – 1
On ordonne les termes
⇔
0,4 a x + 0,4 b + a = 0,4 x – 1
On identifie les termes en x et les termes constants:
0,4 a x = 0,4 x
⇔
a=1
⇔
a=1
0,4 b + a = – 1
⇔
0,4 b + 1 = – 1 ⇔
b=–5
⇔ g (x) = x – 5
b)Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e – 0,4x + x – 5
3. La condition initiale porte sur f . L'équation3 et sa solution sont:
f (0) = 10
⇔
k – 5 = 10 ⇔
k = 15
Solution: f (x) = 15 × e – 0,4x + x – 5
Remarque: On retrouve bien la fonction d à étudier dans la question 4. de l'exercice.
3 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
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EXERCICE 2005_Gr_C:
(Extrait du sujet Groupement C – Session 2005)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' – 2 y = 4x.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ
et y' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' – 2 y = 0
2. Déterminer la valeurs des réels a et b tels que la fonction g , définie pour tout x réel par:
g (x) = a × x + b , soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ?
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) (i.e. La solution générale)
4. Déterminer la fonction f solution sur ℝ de l'équation différentielle (E), qui satisfait la condition
initiale suivante f (0) = 0
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur l'ensemble des réels ℝ par f (x) = e 2x – 2x – 1.
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
–2
ℝ
Trivial
0
0
–2
– 2x
k × e + 2x
2. La solution particulière yp est la fonction g soit g (x) = a × x + b avec g' (x) = a.
La méthode est par identification des coefficients:
(E) : y' – 2 y = 4x
⇔
a – 2 ( a × x + b ) = 4x
On développe et on ordonne
⇔
– 2 a x + a – 2 b = 4x
On identifie termes à termes
–2ax=4x
⇔
a=–2
⇔
a=–2
a–2b=0
⇔
– 2 – 2b = 0 ⇔
b = – 1 ⇔ g (x) = – 2x – 1
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e + 2x – 2x – 1
4. La condition initiale porte sur f.
f (0) = 0
⇔
k–1=0
⇔
k=1
Solution: f (x) = e + 2x – 2x – 1
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
M. Basnary S.
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EXERCICE 2013_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2013)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans cet exercice, on étudie des fonctions intervenant dans les prévisions sur la vitesse moyenne
du vent pour l'implantation d'éoliennes.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + ( 0,25 x ) y = 0,25 x.
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et y' la
fonction dérivée de y.
1. Déterminer les solutions définies sur [ 0 ; + ∞ [de l'équation différentielle (E0) :
y' + ( 0,25 x ) y = 0.
2. Vérifier que la fonction h, définie sur [ 0 ; + ∞ [ par h(x) = 1, est une solution de l'équation
différentielle (E).
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution F de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F (0) = 0.
Remarque : la fonction F intervient dans la partie C de cet exercice.
CORRECTION
1. (E0) : y' + ( 0,25 x ) y = 0.
C'est une équation du premier ordre du type (E0) : a(x) y' + b(x) y = 0.
Variable : x, fonction : y(x)
Identification de a et b : a(x) = 1 ; b(x) = 0,25 x.
Hypothèse n°1 : a(x) ≠ 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n°2 : a'(x) = 0 et b'(x) = 0,25.
Théorème : g(x) = b(x) / a(x) donc g(x) = 0,25 x.
Soit G la primitive de g alors G(x) = 0,125 x 2 .
Les solutions de s'écrivent y0(x) = k e – G(x) soit :
y0(x) = k e – 0,125 x².
2. La solution particulière yp est ici notée h avec
h' (x) = 0
Méthode par vérification :
(E) : y' + ( 0,25 x ) y = h' + ( 0,25 x ) h
= ( 0,25 x )
= 2nd membre de (E)
La fonction h est bien solution particulière de (E).
h(x) = 1.
3. Les solutions de (E) s'écrivent : yg = y0 + yp
yg (x) = k e – 0,125 x² + 1.
4. F (0) = 0 ⇔ yg (0) = 0
La solution F est donc :
⇔
k e 0 + 1= 0
soit
⇔
k = – 1.
F (x) = 1 – e – 0,125 x² .
Remarque(s) : On retrouve la fonction F de la Partie C.
M. Basnary S.
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EXERCICE 2012_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2012)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + 2 y = – 5 e – 2 x.
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ, et y' la fonction
dérivée de y.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' + 2 y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = – 5 x × e – 2 x. Démontrer que la fonction g est une
solution de (E).
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1.
Partie B. Étude locale d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x.
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
2
ℝ
Trivial
0
0
2
2x
k × e–2x
2. La solution particulière yp est la fonction g
g(x) = – 5 x × e – 2 x
g est de la forme U × V donc
g' (x) = – 5 e – 2 x – 5 x × (– 2) e – 2 x ⇔
g' (x) = ( 10 x – 5 ) × e – 2 x
La méthode est par vérification:
(E) : g' + 2 g = ( 10 x – 5 ) × e – 2 x + 2 × ( – 5 x × e – 2 x ) = – 5 × e – 2 x = 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e – 2 x – 5 x × e – 2 x
4. La condition initiale porte sur f . L'équation4 et sa solution sont:
f (0) = 1
⇔
k–0=1
⇔
k=1
Solution: f (x) = 1 × e – 2 x – 5 x × e – 2 x ou bien f (x) = ( 1 – 5 x)) e – 2 x
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
4 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
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EXERCICE 2010_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2010)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E ) : y' – y = e x – 2x
où la fonction inconnue y, de la variable réelle x, est définie et dérivable sur ℝ et y' désigne sa
fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions définies sur ℝ de l'équation différentielle (E0) :
y' – y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = x × e x + 2x + 2.
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 3.
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( x + 1 ) e x + 2x + 2 .
(...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
–1
ℝ
Trivial
0
0
–1
–x
k × ex
2. La solution particulière yp est la fonction g
g(x) = x × e x + 2x + 2
g est de la forme U × V donc
g' (x) = 1 × e x + x × e x + 2
⇔
g' (x) = e x + x × e x + 2
La méthode est par vérification:
(E) : g' – g = e x + x × e x + 2 – ( x × e x + 2x + 2 ) = e x – 2x = 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e x + x × e x + 2x + 2
4. La condition initiale porte sur f . L'équation5 et sa solution sont:
f (0) = 3
⇔
k+2=3
⇔
k=1
Solution: f (x) = 1 × e x + x × e x + 2x + 2 ou bien f (x) = ( x + 1 ) e x + 2x + 2
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
5 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
Maths – Équations différentielles – Sujets d'examens
Page n°11/19
EXERCICE 2008_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2008)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' – 2 y = x × e x.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ
et y' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions définies sur ℝ de l'équation différentielle (E0) : y' – 2 y = 0
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = ( – x – 1) × e x .
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E)
Aide: La fonction g (x) est de la forme U (x) × V (x). Attention donc pour calculer la dérivée de
la fonction g. Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ?
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E), qui vérifie la condition initiale:
f (0) = 0.
B. Étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = e 2x – ( x + 1 ) × e x.
(...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
–2
ℝ
Trivial
0
0
–2
– 2x
k × e 2x
2. La solution particulière yp est la fonction g soit
g (x) = ( – x – 1) × e x .
g est de la forme U × V donc
g' (x) = ( – 1) × e x + ( – x – 1) × e x
⇔
g' (x) = ( – x – 2) × e x
La méthode est par vérification:
(E) : g' – 2 g = ( – x – 2) × e x – 2 ( – x – 1) × e x = ( 1 x + 0) × e x = 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e 2x + ( – x – 1) × e x
4. La condition initiale porte sur f . L'équation6 et sa solution sont:
f (0) = 0
⇔
k–1=0
⇔
k=1
Solution: f (x) = e 2x + ( – x – 1) × e x .
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
6 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
Maths – Équations différentielles – Sujets d'examens
Page n°12/19
EXERCICE 2007_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2007)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + 710 y = 710.
où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et y' sa fonction
dérivée.
1. Déterminer les solutions définies sur [ 0 ; + ∞ [ de l'équation différentielle (E0) :
y' + 710 y = 0
2. Soit h la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par h (t) = 1. Démontrer que la fonction h est une
solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ?
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction φ solution sur [ 0 ; + ∞ [ de l'équation différentielle (E), qui satisfait la
condition initiale suivante φ (0) = 0
B. Étude d'une fonction
Soit φ la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par φ (t) = 1 – e – 710 t .
(...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (t)
b (t)
I
a (t) ≠ 0
a' (t)
b' (t)
g (t)
G (t)
y0(t)
1
710
ℝ+
Trivial
0
0
710
2. La solution particulière yp est la fonction h.
h' (t) = 0
La méthode est par vérification:
(E) : h' + 710 h = 710 = 2nd membre de (E)
h est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(t) = y0(t) + yp(t)
⇔
710t
k × e – 710t
h (t) = 1.
yg(x) = k × e – 710t + 1
4. La condition initiale porte sur φ . L'équation7 et sa solution sont:
φ (0) = 0
⇔
k+1=0
⇔
k=–1
Solution: φ (t) = – 1 × e – 710t + 1 ou encore φ (t) = 1 – e – 710t
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
7 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
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EXERCICE 2005_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2005)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : ( 1 + x ) y ' + y = 1 ÷ ( 1 + x ) où y est une fonction de la
variable réelle x, définie et dérivable sur ] – 1 ; + ∞[ et y' sa fonction dérivée.
1. Démontrer que les solutions sur l'intervalle ] – 1 ; + ∞[ de l'équation différentielle (E 0) sont les
k
fonctions définies par h  x=
, où k est une constante réelle quelconque.
1 x
Aide: Chercher la solution y0(x) et utiliser les propriétés des fonctions ex et ln(x) pour montrer
que les fonctions y0 et h sont identiques.
2. Soit g la fonction sur ] – 1 ; + ∞[ par g(x) = U(x) ÷ V(x) = ln( 1 + x ) ÷ ( 1 + x ).
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ? La fonction g (x) est de la
forme U (x) / V (x). Attention donc pour calculer la dérivée de la fonction g.
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) (i.e. La solution générale)
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E), qui vérifie la condition initiale f (0) = 2.
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ] – 1 ; + ∞[ par
f  x =
2ln 1x 
(...)
1 x
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1+x
1
Oui car...
1
0
1 / (1 + x ) ln( 1 + x )
k × e – ln( 1 + x )
2. La solution particulière yp est la fonction g soit g (x) = U (x) ÷ V (x) avec
U (x) = ln( 1 + x ) donc U ' (x) = 1 ÷ ( 1 + x ) et V (x) = 1 + x donc V ' (x) = 1
g est de la forme U ÷ V donc g' = ( U ' V – U V ' ) ÷ V 2 soit g' (x) = ( 1 – ln( 1 + x ) ) ÷ ( 1 + x ) 2
La méthode est par vérification:
(E) : ( 1 + x ) g' + g
= ( 1 – ln ( 1 + x ) ) ÷ ( 1 + x )+ ln ( 1 + x ) ) ÷ ( 1 + x )
Le dénominateur est commun
= 1 ÷ ( 1 + x )= 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
4. La condition initiale porte sur f.
f (0) = 2
⇔
k + ln 1 = 2 ⇔
yg(x) = k ÷ ( 1 + x ) + ln( 1 + x ) ÷ ( 1 + x ).
k=2
Solution: f (x) = 2 ÷ ( 1 + x ) + ln( 1 + x ) ÷ ( 1 + x ).
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
M. Basnary S.
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EXERCICE 2004_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2004)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + (0,4 × x) × y = 0,4 x.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞[ et y' sa fonction
dérivée.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' + (0,4 × x) × y = 0
2. Montrer que la fonction constante h, définie sur [ 0 ; + ∞[ par h (x) = 1, est une solution
particulière de l'équation différentielle (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) (i.e. La solution générale)
4. Déterminer la solution de (E), que l'on nommera f (x), qui possède la condition initiale suivante:
f (0) = 0
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞[ par f (x) = 0,4 x × e – 0,2 x
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
0,4x
ℝ+
Trivial
0
0,4
0,4x
0,2x 2
k × exp ( – 0,2x 2 )
2. La solution particulière yp est la fonction h soit h (x) = 1 avec h' (x) = 0.
La méthode est par vérification:
(E) : h' + (0,4 × x) × h = 0 + (0,4 × x) × 1 = 0,4 x = 2nd membre de (E).
h est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × exp ( – 0,2x 2 ) + 1
4. La condition initiale porte sur f.
f (0) = 0
⇔
k+1=0
⇔
k=–1
Solution: f (x) = – exp ( – 0,2x 2 ) + 1
Remarque: Il n'y pas de lien entre les deux parties de cet exercice.
M. Basnary S.
Maths – Équations différentielles – Sujets d'examens
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EXERCICE 2003_Gr_B:
(Extrait du sujet Groupement B – Session 2003)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = 2 × e – x .
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ et y' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions sur ℝ de l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0
2. Soit h (x) la fonction définie sur ℝ par h(x) = 2 x × e – x .
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: la fonction h (x) est de la forme U (x) × V (x). Attention donc pour calculer la dérivée de la
fonction h.
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) (i.e. La solution générale)
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative, dans un
repère orthonormal, passe par le point de coordonnées (0 ; 3).
Aide: Comment peut-on traduire mathématiquement cette dernière information pour permettre
la détermination de la constante k qui intervient dans l'expression de yg(x).
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( 2x + 3 ) × e – x .
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
1
ℝ
Trivial
0
0
1
x
k × e–x
2. La solution particulière yp est la fonction h
h (x) = 2 x × e – x .
h est de la forme U × V donc
h' (x) = 2 × e – x + 2 x × ( – e – x )
⇔
h' (x) = ( – 2 x + 2 ) × e – x .
La méthode est par vérification:
(E) : h' + h
= ( – 2 x + 2 ) × e–x + 2 x × e–x
= ( – 2 x + 2 + 2 x ) × e–x
= 2 × e – x = 2nd membre de (E).
h est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
4. La condition initiale porte sur f.
f (0) = 3
⇔
k=3
yg(x) = k × e – x + 2 x × e – x
Solution: f (x) = 3 e – x + 2 x × e – x ou bien f (x) = ( 2x + 3 ) × e – x .
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
M. Basnary S.
Maths – Équations différentielles – Sujets d'examens
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EXERCICE 2009_CPI:
(Extrait du sujet CPI – Session 2009)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle
(E ) : y' + x y = x.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble ℝ des nombres réels
et y' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions sur ℝ de l'équation différentielle (E0) :
y' + x y = 0.
2. Démontrer que la fonction constante g, définie sur ℝ par g(x) = 1, est une solution particulière de
l'équation (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition
initiale f (0) = 2.
B. Étude d'une fonction et réalisation d'une figure
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 1 + e – ½ x ² .
(...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
x
ℝ
Trivial
0
1
x
½ x2
k × exp( – ½ x 2 )
2. La solution particulière yp est la fonction g.
g (x) = 1
g' (x) = 0
La méthode est par vérification: (E) : g' + x g = x = 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
⇔
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
yg(x) = k × exp( – ½ x 2 ) + 1
4. La condition initiale porte sur f . L'équation8 et sa solution sont:
f (0) = 2
⇔
k+1=2
⇔
k=1
Solution: f (x) = exp( – ½ x 2 ) + 1 .
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
8 Rappels: e0 = 1
M. Basnary S.
Maths – Équations différentielles – Sujets d'examens
Page n°17/19
EXERCICE 2005_CPI:
(Extrait du sujet CPI – Session 2005)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = – e – x.
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ
et y' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0
2. Montrer que la fonction g définie sur ℝ par g(x) = – x × e – x est une solution particulière de
l'équation différentielle (E)
Aide: La fonction g (x) est de la forme U (x) × V (x). Attention donc pour calculer la dérivée de
la fonction g. Quelle est la forme de yp(x)? Quelle est la méthode à adopter ?
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) (i.e. La solution générale)
4. Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition
initiale:
f ' (0) = 0
Aide: Remarquez que la condition porte sur la fonction f ' et non sur la fonction f.
B. Étude d'une fonction
Soit g la fonction définie sur l'ensemble des réels ℝ par g(x) = – x × e – x
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
1
ℝ
Trivial
0
0
1
x
k × e–x
2. La solution particulière yp est la fonction g soit
g (x) = – x × e – x .
g est de la forme U × V donc
g' (x) = – 1 × e – x + – x × ( – 1 ×e – x )
⇔
g' (x) = ( x – 1) × e – x
La méthode est par vérification:
(E) : g' +g = ( x – 1) × e – x + – x × e – x = ( 0 x – 1 ) × e – x = – e – x = 2nd membre de (E)
g est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
yg(x) = k × e – x + – x × e – x
4. La condition initiale porte sur f ' . Il faut donc calculer la dérivée de yg
y'g(x) = y0' (x) + yp' (x) = – k × e – x ( x – 1) × e – x
f ' (0) = 0
⇔
–k–1=0 ⇔
k=–1
Solution: f (x) = – 1 × e – x + – x × e – x ou bien f (x) = – ( x + 1 ) × e – x
Remarque: La fonction à étudier dans la partie B. est la fonction g de la partie A.
M. Basnary S.
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Page n°18/19
EXERCICE 2001:
(Extrait du sujet CPI Groupement B – Session 2001)
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' – 2 y = e 2x .
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ et y' sa fonction dérivée.
1. Résoudre sur ℝ l'équation différentielle (E0) : y' – 2 y = 0
2. Soit h la fonction définie sur ℝ par h (x) = x × e 2x .
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
Aide: la fonction h (x) est de la forme U (x) × V (x). Attention donc pour calculer la dérivée de la
fonction h.
3. Donner la solution générale de l'équation (E).
4. Déterminer la solution de (E), que l'on nommera f (x), qui possède la condition initiale suivante:
f (0) = – 1
B. Étude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( x – 1 ) × e 2x .
(…)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)
b (x)
I
a (x) ≠ 0 a' (x) b' (x)
g (x)
G (x)
y0(x)
1
–2
ℝ
Trivial
0
0
–2
– 2x
k × e 2x
2. La solution particulière yp est la fonction h
h (x) = x × e 2x .
h est de la forme U × V donc
h' (x) = 1 × e – x + x × ( 2 e 2x )
⇔
h' (x) = ( 2x + 1 ) × e 2x .
La méthode est par vérification:
(E) : h' – 2 h
= ( 2x + 1 ) × e 2x – 2 x × e 2x
= ( 2x + 1 – 2 x ) × e 2x
= e 2x = 2nd membre de (E).
h est bien une solution particulière de (E)
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x)
⇔
4. La condition initiale porte sur f.
f (0) = – 1
⇔
k=–1
yg(x) = k × e 2x + x × e 2x
Solution: f (x) = – e 2x + x × e 2x ou bien f (x) = ( x – 1 ) × e 2x .
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
M. Basnary S.
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