Extraits Examens EqD1

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................ Classe: ......... – Section:................
Extraits de sujets d'examens
Thème:
Équations différentielles du 1er ordre
Table des matières
Descriptif des sujets d'examens............................................................................................................2
EXERCICE n°.....: Résolution d'une équation différentielle du 1er ordre.......................................3
EXERCICE 2013_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2013)....................................4
EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2012)....................................5
EXERCICE 2008_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2008)....................................6
EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2007)....................................7
EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2005)....................................8
EXERCICE 2013_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2013)....................................9
EXERCICE 2012_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2012)..................................10
EXERCICE 2010_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2010)..................................11
EXERCICE 2008_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2008)..................................12
EXERCICE 2007_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2007)..................................13
EXERCICE 2005_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2005)..................................14
EXERCICE 2004_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2004)..................................15
EXERCICE 2003_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B – Session 2003)..................................16
EXERCICE 2009_CPI: (Extrait du sujet CPI – Session 2009)......................................................17
EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet CPI – Session 2005)......................................................18
EXERCICE 2001: (Extrait du sujet CPI Groupement B – Session 2001).....................................19
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Descriptif des sujets d'examens
Solution y0 Solution particulière yp Lien avec
g(x) = b(x) ÷ a(x) Par vérification Par identification Partie B.
EXERCICE Cte Poly e ou ln Polynôme U × VPolynôme U × VLien
2013_Gr_C X a ×t ×e – t Oui
2012_Gr_C X kOui
2008_Gr_C X cOui
2007_Gr_C X a x + bOui
2005_Gr_C X a x + bOui
2013_Gr_B X 1
2012_Gr_B X X Oui
2010_Gr_B X X Oui
2008_Gr_B X X Oui
2007_Gr_B X 1 Oui
2005_Gr_B X U ÷ VOui
2004_Gr_B X 1 Non
2003_Gr_B X X Oui
2009_CPI X 1 Oui
2005_CPI X X
2001 X X Oui
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EXERCICE n°.....: Résolution d'une équation différentielle du 1er ordre
On considère l'équation différentielle (E) qui vous est donnée, dans laquelle y est une fonction de la
variable réelle x, définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ et y' sa fonction dérivée.
1. Donner l'équation différentielle homogène (E0) associée à (E) puis déterminer la solution y0 de
(E0).
2. Solution particulière yp(x).
a) A l'aide des informations qui vous sont données, re-écrire l'expression de la solution
particulière yp de (E) puis déterminer l'expression de sa fonction dérivée.
Aide: On fera attention à la forme de yp pour le calcul de sa dérivée.
b) Donner et appliquer la méthode qui permet de déterminer que la fonction yp soit une solution
particulière de (E).
c) Donner ou redonner l'expression complète de yp.
3. Déduire des questions 1. et 2. l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. A l'aide de la condition initiale (CI) qui vous est donnée, déterminer l'expression complète de la
fonction f, solution sur ℝ de l'équation différentielle (E) et qui vérifie cette condition initiale.
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (x)b (x)I a (x) ≠ 0 a' (x)b' (x)g (x)G (x)y0(x)
ℝTrivial k × e – G (x)
2. La solution particulière yp est :
yp (x) = (...)
yp' (x) = (...)
La méthode est par vérification ou bien par identification des coefficients.
3. Solution: yg(x) = y0(x) + yp(x) = (...)
La condition initiale est: (...)
Solution: f (x) =
Remarque:
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EXERCICE 2013_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2013)
Partie A. Taux d'alcool, deux exemples (...)
Partie B. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle, notée (E) : y' + y = 2 e – t , où y désigne une fonction de la
variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0,025 ; + ∞ [.
1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + y = 0.
2. Déterminer la valeur du réel a telle que la fonction g, définie sur [ 0,025 ; + ∞ [ par :
g(t) = a × t × e – t
soit une solution particulière de l'équation (E).
3. En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction f solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie f (0,025) = 0.
Partie C. Lectures graphiques
(…) la fonction f définie sur [ 0,025 ; + ∞ [ par : f (t) = ( 2 t – 0,05 ) × e – t (...)
CORRECTION
1. (E0) : y' + y = 0. C'est une équation du premier ordre du type (E0) : a(t) y' + b(t) y = 0.
Variable : t, fonction : y(t)
Identification de a et b : a(t) = 1 ; b(t) = 1.
Hypothèse n°1 : a(t) ≠ 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n°2 : a' (t) = 0 et b' (t) = 0.
Théorème : g(t) = b(t) / a(t) donc g(t) = 1.
Soit G la primitive de g alors G(t) = t.
Les solutions de s'écrivent y0(t) = k e – G(t) soit : y0(t) = k e – t .
2. La solution particulière yp est ici notée g avec g(x) = a × t × e – t
g est une fonction de type U × V avec :
U(t) = a × t → U ' (x) = a
V(t) = e – t → V ' (x) = – e – t donc
g' = U ' × V + U × V '
g' (x) = a e – t + a × t × ( – 1 ) e – t soit g' (x) = ( – a t + a ) e – t .
La méthode à utiliser est la méthode par identification
(E) : y' + y = 2 e – t ⇔g' + g = 2 e – t
⇔( – a t + a ) e – t + a × t × e – t = 2 e – t
⇔– a t × e – t + a × e – t + a × t × e – t = 2 e – t
⇔+ a × e – t = 2 e – t
Par identification on obtient : a = 2 soit g(t) = 2 × t × e – t
3. Les solutions de (E) s'écrivent : yg = y0 + yp soit yg (x) = k e – t + 2 t × e – t .
4. f (0,025) = 0 ⇔ yg (0,025) = 0 ⇔ k e – 0,025 + 0,05 × e – 0,025 = 0 ⇔ k = – 0,05.
La solution f est donc :
f (x) = – 0,05 e – t + 2 t × e – t.
Remarque(s) : On retrouve la fonction f de la Partie C.
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EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2012)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos
rempli d'un liquide dans lequel on a placé des petites boules de même
volume et de masses différentes. Lorsque la température du liquide varie,
les boules vont monter ou descendre, indiquant ainsi la température
ambiante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
Lors de la construction d'un tel thermomètre, l'étude de la chute d'une boule dans un fluide
conduit à l'équation différentielle (E) : y' + ½ y = 13/2
où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ et où y' est la
fonction dérivée de y.
1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y' + ½ y = 0.
2. Déterminer le réel k tel que la fonction g, définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g(t) = k, soit une solution
particulière de l'équation (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la fonction f, définie sur [ 0 ; + ∞ [, solution de l'équation différentielle (E) qui
vérifie la condition f (0) = 0.
Partie B. Étude de fonction
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f (t) = 13 × ( 1 – e – ½ t ). (...)
CORRECTION:
1. C'est une EqD homogène du 1er ordre. Rappel: G est une primitive de g et y0(x) = k × e – G(x) .
a (t)b (t)I a (t) ≠ 0 a' (t)b' (t)g (t)G (t)y0(t)
1 ½ ℝ+Trivial 0 0 ½ ½ tk × e – ½ t
2. La solution particulière yp est la fonction g telle que g (t) = k (constante).
g' (t) = 0
La méthode est par identification de coefficients:
(E) : g' + ½ g = 13/2 ⇔ ½ k = 13/2 ⇔ k = 13 ⇔ g (t) = 13
3. Solution: yg(t) = y0(t) + yp(t) ⇔ yg(x) = k × e – ½ t + 13
4. La condition initiale porte sur y . L'équation1 et sa solution sont:
y (0) = 0 ⇔ k + 13 = 0 ⇔ k = – 13
Solution: f (x) = – 13 × e – ½ t + 13 ou encore f (x) = 13 × ( 1 – e – ½ t )
Remarque: On retrouve bien la fonction à étudier dans la partie B. de l'exercice.
1Rappels: e0 = 1
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