Chapitre II. Indépendance linéaire, bases (version uplet). Marc de

Chapitre II. Ind´ependance lin´eaire, bases (version uplet).
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
D´ef. 1. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soit (x1, . . . , xn)∈En.
On dit que (x1, . . . , xn) est libre si ∀(λ1, . . . , λn)∈Kn n
X
i=1
λixi= 0E=⇒ ∀i∈ {1, . . . , n}λi= 0K!.
Rq. 2. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E. Alors les assertions suiv-
antes sont ´equivalentes:
i) (x1, . . . , xn) est libre,
ii) ∀(α1, . . . , αn),(β1, . . . , βn)∈Kn n
X
i=1
αixi=
n
X
i=1
βixi=⇒ ∀i∈ {1, . . . , n}αi=βi!.
D´ef. 3. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soit (x1, . . . , xn)∈En. On dit que (x1, . . . , xn)
est li´e s’il n’est pas libre.
Rq. 4. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
Alors (x1, . . . , xn) est li´e ssi il existe (λ1, . . . , λn)∈Kn\ {(0K,...,0K)}tel que
n
X
i=1
λixi= 0E.
Rq. 5. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
a) Soit σune permutation de {1, . . . , n}. Alors:
i) (xσ(1), . . . , xσ(n)) est libre ssi (x1, . . . , xn) est libre.
ii) (xσ(1), . . . , xσ(n)) est li´e ssi (x1, . . . , xn) est li´e.
b) On suppose que (x1, . . . , xn) est li´e. Soit k∈N∗. Soient xn+1, . . . , xn+k∈E. Alors
(x1, . . . , xn+k) est li´e.
c) On suppose que (x1, . . . , xn) est libre. Soit m∈N∗.
i) On suppose que m≤n. Alors (x1, . . . , xm) est libre. Plus g´en´eralement:
ii) Soient i1, . . . , im∈ {1, . . . , n}deux `a deux distincts (cela implique que m≤n). Alors
(xi1, . . . , xim) est libre.
Rq. 6. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
a)i) S’il existe i∈ {1, . . . , n}tel que xi= 0E, alors (x1, . . . , xn) est li´e.
ii) Si (x1, . . . , xn) est libre, alors ∀i∈ {1, . . . , n}xi6= 0E.
b)i) S’il existe i, j ∈ {1, . . . , n}distincts tels que xi=xj, alors (x1, . . . , xn) est li´e.
ii) Si (x1, . . . , xn) est libre, alors x1, . . . , xnsont deux `a deux distincts (c’est `a dire, plus formelle-
ment: ∀i, j ∈ {1, . . . , n}(i6=j=⇒xi6=xj)).
Rq. 7. Soit Eun K-ev. Soit x∈E. Alors:
a) (x) est li´e ssi x= 0E, b) (x) est libre ssi x6= 0E.
Exo. 8. Soit Eun K-ev. Soient x, y ∈E. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) (x, y) est li´e, ii) x= 0Eou (∃α∈Ky=αx), iii) y= 0Eou (∃β∈Kx=βy).
D´ef. et notation. 9. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soit (x1, . . . , xn)∈En.
On appelle sev engendr´e par (x1, . . . , xn) le sev engendr´e par {x1, . . . , xn}. On le note Vect(x1, . . . , xn).
Si ce sev est E, alors on dit que (x1, . . . , xn) engendre E(ou est g´en´erateur de E).
1

Th´eo. 10. (Rappel). Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
Alors Vect(x1, . . . , xn) = {x∈E| ∃(λ1,...λn)∈Knx=λ1x1+. . . +λnxn}.
Rq. 11. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
On suppose que (x1, . . . , xn) engendre E. Soit k∈N. Soient xn+1, . . . , xn+k∈E. Alors
(x1, . . . , xn+k) engendre E.
D´ef. 12. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soit (x1, . . . , xn)∈En. On dit que (x1, . . . , xn)
est une base de Es’il est libre et g´en´erateur de E.
Prop. 13. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
Alors (x1, . . . , xn) est une base de Essi ∀x∈E∃!(λ1, . . . , λn)∈Knx=λ1x1+. . . +λnxn.
Prop. 14. Soit Eun K-ev. Soient F, G des sev de E. On suppose que Fet Gsont en
somme directe.
Soit m∈N∗. Soient f1, . . . , fm∈F. On suppose que (f1, . . . , fm) est une base de F.
Soit n∈N∗. Soient g1, . . . , gn∈G. On suppose que (g1, . . . , gn) est une base de G.
Alors (f1, . . . , fm, g1, . . . , gn) est une base de F⊕G.
Plus g´en´eralement:
Prop. 15. Soit Eun K-ev. Soit p∈N∗. Soient E1, . . . , Epdes sev de E.
On suppose que E1, . . . , Epsont en somme directe.
On suppose que pour tout j∈ {1, . . . , p}il existe nj∈N∗et e(j)
1, . . . , e(j)
nj∈Ejtels que
e(j)
1, . . . , e(j)
njsoit une base de Ej.
Alors e(1)
1, . . . , e(1)
n1, . . . , e(p)
1, . . . , e(p)
npest une base de E1⊕. . . ⊕Ep.
Ex. 16. Soit Eun K-ev. Soient F, G, H des sev de E. On suppose que F, G, H sont en
somme directe. On suppose que (f1, f2) est une base de F, que (g) est une base de Get que
(h1, h2, h3) est une base de H. Alors (f1, f2, g, h1, h2, h3) est une base de F⊕G⊕H.
Prop. 17. Soient Eet Fdeux K-ev.
Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) est une base de E.
Soit m∈N∗. Soient f1, . . . , fm∈F. On suppose que (f1, . . . , fm) est une base de F.
Alors ((e1,0F),...,(en,0F),(0E, f1),...,(0E, fm)) est une base de E×F.
§Compl´ements.
Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire. Soit n∈N∗.
Soient e1, . . . , en∈E.
a) On suppose que (e1, . . . , en) est li´e. Alors (u(e1), . . . , u(en)) est li´e.
b) On suppose que uest injective et que (e1, . . . , en) est libre. Alors (u(e1), . . . , u(en)) est libre.
c) On suppose que uest surjective et que (e1, . . . , en) engendre E. Alors (u(e1), . . . , u(en))
engendre F.
d) On suppose que (u(e1), . . . , u(en)) engendre F. Alors uest surjective.
Prop. 19. Soient E, F des K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire. Soit n∈N∗.
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Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que uest un isomorphisme et que (e1, . . . , en) est une base
de E. Alors (u(e1), . . . , u(en)) est une base de F.
Prop. 20. Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E.
On consid`ere l’application ϕ:Kn→Ed´efinie par ϕ(λ1, . . . , λn) =
n
X
i=1
λiei. Alors:
1) ϕest lin´eaire.
2)a) (e1, . . . , en) est libre ssi ϕest injective.
b) (e1, . . . , en) engendre Essi ϕest surjective.
c) (e1, . . . , en) est une base de Essi ϕest un isomorphisme.
Th´eo. 21. Soient E, F des K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que
(e1, . . . , en) est une base de E. Soient f1, . . . , fn∈F.
Alors il existe une et une seule application lin´eaire u:E→Ftelle que ∀i∈ {1, . . . , n}u(ei) = fi.
Indications.
a) Soient v, w :E→Flin´eaires. On suppose que ∀i∈ {1, . . . , n}v(ei) = w(ei). Montrer que
v=w.
b) On consid`ere l’application ϕ:Kn→Ed´efinie par ϕ(λ1, . . . , λn) =
n
X
i=1
λiei.
On consid`ere l’application ψ:Kn→Fd´efinie par ψ(λ1, . . . , λn) =
n
X
i=1
λifi.
On pose u=ψ◦φ−1. V´erifier que uest lin´eaire et que ∀i∈ {1, . . . , n}u(ei) = fi.
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