Chapitre II. Indépendance linéaire, bases (version uplet). Marc de

Chapitre II. Indépendance linéaire, bases (version uplet).
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, K désigne un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C).
Déf. 1. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ E n .
!
n
X
On dit que (x1 , . . . , xn ) est libre si ∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn
λi xi = 0E =⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} λi = 0K .
i=1
∗
Rq. 2. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N . Soient x1 , . . . , xn ∈ E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) (x1 , . . . , xn ) est libre,
!
n
n
X
X
ii) ∀(α1 , . . . , αn ), (β1 , . . . , βn ) ∈ Kn
α i xi =
βi xi =⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} αi = βi .
i=1
i=1
∗
Déf. 3. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N . Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ E n . On dit que (x1 , . . . , xn )
est lié s’il n’est pas libre.
Rq. 4. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
n
Alors (x1 , . . . , xn ) est lié ssi il existe (λ1 , . . . , λn ) ∈ K \ {(0K , . . . , 0K )} tel que
n
X
λi xi = 0E .
i=1
∗
Rq. 5. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
a) Soit σ une permutation de {1, . . . , n}. Alors:
i) (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) est libre ssi (x1 , . . . , xn ) est libre.
ii) (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) est lié ssi (x1 , . . . , xn ) est lié.
b) On suppose que (x1 , . . . , xn ) est lié. Soit k ∈ N∗ . Soient xn+1 , . . . , xn+k ∈ E. Alors
(x1 , . . . , xn+k ) est lié.
c) On suppose que (x1 , . . . , xn ) est libre. Soit m ∈ N∗ .
i) On suppose que m ≤ n. Alors (x1 , . . . , xm ) est libre. Plus généralement:
ii) Soient i1 , . . . , im ∈ {1, . . . , n} deux à deux distincts (cela implique que m ≤ n). Alors
(xi1 , . . . , xim ) est libre.
Rq. 6. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
a)i) S’il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que xi = 0E , alors (x1 , . . . , xn ) est lié.
ii) Si (x1 , . . . , xn ) est libre, alors ∀i ∈ {1, . . . , n} xi 6= 0E .
b)i) S’il existe i, j ∈ {1, . . . , n} distincts tels que xi = xj , alors (x1 , . . . , xn ) est lié.
ii) Si (x1 , . . . , xn ) est libre, alors x1 , . . . , xn sont deux à deux distincts (c’est à dire, plus formellement: ∀i, j ∈ {1, . . . , n} (i 6= j =⇒ xi 6= xj )).
Rq. 7. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E. Alors:
a) (x) est lié ssi x = 0E , b) (x) est libre ssi x 6= 0E .
Exo. 8. Soit E un K-ev. Soient x, y ∈ E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) (x, y) est lié, ii) x = 0E ou (∃α ∈ K y = αx), iii) y = 0E ou (∃β ∈ K x = βy).
Déf. et notation. 9. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ E n .
On appelle sev engendré par (x1 , . . . , xn ) le sev engendré par {x1 , . . . , xn }. On le note Vect(x1 , . . . , xn ).
Si ce sev est E, alors on dit que (x1 , . . . , xn ) engendre E (ou est générateur de E).
1
Théo. 10. (Rappel). Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
Alors Vect(x1 , . . . , xn ) = {x ∈ E | ∃(λ1 , . . . λn ) ∈ Kn x = λ1 x1 + . . . + λn xn }.
Rq. 11. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
On suppose que (x1 , . . . , xn ) engendre E. Soit k ∈ N. Soient xn+1 , . . . , xn+k ∈ E. Alors
(x1 , . . . , xn+k ) engendre E.
Déf. 12. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ E n . On dit que (x1 , . . . , xn )
est une base de E s’il est libre et générateur de E.
Prop. 13. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn ∈ E.
Alors (x1 , . . . , xn ) est une base de E ssi ∀x ∈ E ∃!(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn x = λ1 x1 + . . . + λn xn .
Prop. 14. Soit E un K-ev. Soient F, G des sev de E. On suppose que F et G sont en
somme directe.
Soit m ∈ N∗ . Soient f1 , . . . , fm ∈ F . On suppose que (f1 , . . . , fm ) est une base de F .
Soit n ∈ N∗ . Soient g1 , . . . , gn ∈ G. On suppose que (g1 , . . . , gn ) est une base de G.
Alors (f1 , . . . , fm , g1 , . . . , gn ) est une base de F ⊕ G.
Plus généralement:
Prop. 15. Soit E un K-ev. Soit p ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Ep des sev de E.
On suppose que E1 , . . . , Ep sont en somme directe.
(j)
(j)
On
que pour tout j ∈ {1, . . . , p} il existe nj ∈ N∗ et e1 , . . . , enj ∈ Ej tels que
suppose (j)
(j)
e1 , . . . , enj soit une base de Ej .
(1)
(1)
(p)
(p)
Alors e1 , . . . , en1 , . . . , e1 , . . . , enp est une base de E1 ⊕ . . . ⊕ Ep .
Ex. 16. Soit E un K-ev. Soient F, G, H des sev de E. On suppose que F, G, H sont en
somme directe. On suppose que (f1 , f2 ) est une base de F , que (g) est une base de G et que
(h1 , h2 , h3 ) est une base de H. Alors (f1 , f2 , g, h1 , h2 , h3 ) est une base de F ⊕ G ⊕ H.
Prop. 17. Soient E et F deux K-ev.
Soit n ∈ N∗ . Soient e1 , . . . , en ∈ E. On suppose que (e1 , . . . , en ) est une base de E.
Soit m ∈ N∗ . Soient f1 , . . . , fm ∈ F . On suppose que (f1 , . . . , fm ) est une base de F .
Alors ((e1 , 0F ), . . . , (en , 0F ), (0E , f1 ), . . . , (0E , fm )) est une base de E × F .
§ Compléments.
Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit u : E → F une application linéaire. Soit n ∈ N∗ .
Soient e1 , . . . , en ∈ E.
a) On suppose que (e1 , . . . , en ) est lié. Alors (u(e1 ), . . . , u(en )) est lié.
b) On suppose que u est injective et que (e1 , . . . , en ) est libre. Alors (u(e1 ), . . . , u(en )) est libre.
c) On suppose que u est surjective et que (e1 , . . . , en ) engendre E. Alors (u(e1 ), . . . , u(en ))
engendre F .
d) On suppose que (u(e1 ), . . . , u(en )) engendre F . Alors u est surjective.
Prop. 19. Soient E, F des K-ev. Soit u : E → F une application linéaire. Soit n ∈ N∗ .
2
Soient e1 , . . . , en ∈ E. On suppose que u est un isomorphisme et que (e1 , . . . , en ) est une base
de E. Alors (u(e1 ), . . . , u(en )) est une base de F .
Prop. 20. Soit E un K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient e1 , . . . , en ∈ E.
n
On considère l’application ϕ : K → E définie par ϕ(λ1 , . . . , λn ) =
n
X
λi ei . Alors:
i=1
1) ϕ est linéaire.
2)a) (e1 , . . . , en ) est libre ssi ϕ est injective.
b) (e1 , . . . , en ) engendre E ssi ϕ est surjective.
c) (e1 , . . . , en ) est une base de E ssi ϕ est un isomorphisme.
Théo. 21. Soient E, F des K-ev. Soit n ∈ N∗ . Soient e1 , . . . , en ∈ E. On suppose que
(e1 , . . . , en ) est une base de E. Soient f1 , . . . , fn ∈ F .
Alors il existe une et une seule application linéaire u : E → F telle que ∀i ∈ {1, . . . , n} u(ei ) = fi .
Indications.
a) Soient v, w : E → F linéaires. On suppose que ∀i ∈ {1, . . . , n} v(ei ) = w(ei ). Montrer que
v = w.
n
X
n
b) On considère l’application ϕ : K → E définie par ϕ(λ1 , . . . , λn ) =
λi ei .
i=1
On considère l’application ψ : Kn → F définie par ψ(λ1 , . . . , λn ) =
n
X
i=1
λi f i .
On pose u = ψ ◦ φ−1 . Vérifier que u est linéaire et que ∀i ∈ {1, . . . , n} u(ei ) = fi .
3