Z , anneaux de polynômes, MP*: Algèbre linéaire, anneau nZ algèbre Coralie Renault 8 janvier 2015 Exercice Soit A une sous algèbre de R[X] engendrée par X 2 et X 3 . Montrer que A n’est pas isomorphe à R[X]. Exercice a) Pour (a, n) ∈ Z × N? avec a ∧ n = 1, montrer que aϕ(n) = 1 [n]. ! p b) Pour p premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}, montrer que p divise . k c) Soit (a, n) ∈ (N? )2 . On suppose que an−1 = 1 [n]. On suppose que pour tout x divisant n − 1 et différent de n − 1, on a ax 6= 1 [n]. Montrer que n est premier. Exercice Soit K une algèbre intègre sur R de dimension finie n > 2. On assimile R à R.1 où 1 est l’élément de K neutre pour le produit. a) Montrer que tout élément non nul de K est inversible. b) Soit a un élément de K non situé dans R. Montrer que la famille (1, a) est libre tandis que le famille (1, a, a2 ) est liée. c) Montrer l’existence de i ∈ K tel que i2 = −1. d) Montrer que si K est commutative alors K est isomorphisme à C. Exercice Déterminer les morphismes de groupes entre (Z/nZ, +) et (Z/mZ, +). Exercice — Trouver les polynomes P ∈ C[X] tels qu’existent p,q dans N∗ tels que (P 0 )q diviseP q . Exercice Soit p un nombre premier supérieur à 3. a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ ? b) On suppose p = 1 [4]. En calculant de deux façons (p − 1)!, justifier que −1 est un carré dans Z/pZ. c) On suppose p = 3 [4]. Montrer que −1 n’est pas un carré dans Z/pZ. 1 Exercice Soient A et B ∈ Mn (R) deux matrices semblables sur C. Montrer que A et B sont semblables sur R. Exercice (Matrices de permutation) Soit n ∈ N\ {0, 1}. Pour σ ∈ Sn , on note P (σ) = δi,σ(j) 16i,j6n ∈ Mn (R) appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ 0 ) ∈ S2n , P (σ ◦ σ 0 ) = P (σ)P (σ 0 ) b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ −1 ) Exercice — Soit A = (aij ) ∈ Mn (R) avec aii = 0 pour tout i et aij ∈ ±1 pour i 6= j. Si n est pair, montrer que A est inversible. — On dispose de 2n + 1 cailloux, n ≥ 1. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n caillouxpeut se partager en deux paquets de n cailloux de meme masse totale.Montrer que tout les cailloux ont la meme masse. Exercice Soient n ∈ N? et M ∈ Mn (R) définie par 1 1 0 0 1 1 . . . M = .. . . . . ... 0 1 0 ··· ··· .. . .. . ... 0 0 .. . 0 1 1 a) Donner le rang de M et la dimension de son noyau. b) Préciser noyau et image de M . c) Calculer M n . Exercice Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que : P ≡ 1( mod (X − 1)3 ) et P ≡ −1( 2 mod (X + 1)3 ) Exercice Soient a0 , a1 , . . . , an des réels non nuls deux à deux distincts. On note Fj l’application de Rn [X] dans R définie par Z aj Fj (P ) = P 0 Montrer que (F0 , F1 , . . . , Fn ) est une base de (Rn [X])? . Exercice Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E tel que ∀x ∈ E0 , on a (x, u(x)) qui est une famille liée. Que dire de u ? 3