MP*: Algèbre linéaire, anneau Z , anneaux de polynômes, algèbre

MP*: Algèbre linéaire, anneau Z
nZ, anneaux de polynômes,
algèbre
Coralie Renault
8 janvier 2015
Exercice
Soit Aune sous algèbre de R[X]engendrée par X2et X3. Montrer que An’est pas isomorphe
àR[X].
Exercice
a) Pour (a, n)∈Z×N?avec a∧n= 1, montrer que aϕ(n)= 1 [n].
b) Pour ppremier et k∈ {1, . . . , p −1}, montrer que pdivise p
k!.
c) Soit (a, n)∈(N?)2. On suppose que an−1= 1 [n]. On suppose que pour tout xdivisant
n−1et différent de n−1, on a ax6= 1 [n]. Montrer que nest premier.
Exercice
Soit Kune algèbre intègre sur Rde dimension finie n>2. On assimile RàR.1où 1est
l’élément de Kneutre pour le produit.
a) Montrer que tout élément non nul de Kest inversible.
b) Soit aun élément de Knon situé dans R. Montrer que la famille (1, a)est libre tandis que
le famille (1, a, a2)est liée.
c) Montrer l’existence de i∈Ktel que i2=−1.
d) Montrer que si Kest commutative alors Kest isomorphisme à C.
Exercice
Déterminer les morphismes de groupes entre (Z/nZ,+) et (Z/mZ,+).
Exercice
— Trouver les polynomes P∈C[X]tels qu’existent p,qdans N∗tels que (P0)qdivisePq.
Exercice
Soit pun nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ?
b) On suppose p= 1 [4]. En calculant de deux façons (p−1)!, justifier que −1est un carré
dans Z/pZ.
c) On suppose p= 3 [4]. Montrer que −1n’est pas un carré dans Z/pZ.
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Exercice
Soient Aet B∈ Mn(R)deux matrices semblables sur C. Montrer que Aet Bsont semblables
sur R.
Exercice (Matrices de permutation)
Soit n∈N\ {0,1}. Pour σ∈Sn, on note
P(σ) = δi,σ(j)16i,j6n∈ Mn(R)
appelée matrice de permutation associée à σ.
a) Montrer que
∀(σ, σ0)∈S2
n, P (σ◦σ0) = P(σ)P(σ0)
b) En déduire que E={P(σ)/σ ∈Sn}est un sous-groupe de GLn(R)isomorphe à Sn.
c) Vérifier que
t(P(σ)) = P(σ−1)
Exercice
— Soit A= (aij )∈ Mn(R)avec aii = 0 pour tout i et aij ∈ ±1pour i6=j. Si n est pair,
montrer que A est inversible.
— On dispose de 2n+ 1 cailloux, n≥1. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n
caillouxpeut se partager en deux paquets de n cailloux de meme masse totale.Montrer
que tout les cailloux ont la meme masse.
Exercice
Soient n∈N?et M∈ Mn(R)définie par
M=
1 1 0 · · · 0
0 1 1 ....
.
.
.
.
..........0
0......1
1 0 · · · 0 1
a) Donner le rang de Met la dimension de son noyau.
b) Préciser noyau et image de M.
c) Calculer Mn.
Exercice
Déterminer l’ensemble des polynômes P∈R[X]tels que :
P≡1( mod (X−1)3)et P≡ −1( mod (X+ 1)3)
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Exercice
Soient a0, a1, . . . , andes réels non nuls deux à deux distincts.
On note Fjl’application de Rn[X]dans Rdéfinie par
Fj(P) = Zaj
0
P
Montrer que (F0, F1, . . . , Fn)est une base de (Rn[X])?.
Exercice
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Etel que ∀x∈E0, on a (x, u(x)) qui est
une famille liée.
Que dire de u ?
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