Moyenne de fonctions arithmétiques — Une introduction

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Moyenne de fonctions
arithm´ etiques
—
Une introduction
agr´ ement´ ee d’exercices et
d’applications au crible
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Cours donn´es `a l’universit´e de
Nouakchott
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Nouakchott
25 Novembre / 6 D´ecembre 2012
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Olivier Ramar´e
25 novembre 2012

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25 novembre 2012 Version 2

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Introduction
Ce cours portera surtout sur les valeurs moyennes de fonctions arithm´etiques
et se poursuivra par une introduction au crible de Montgomery et des applica-
tions.
Les fonctions arithm´etiques sont tr`es souvent mal connues, et poss`edent un
comportement qui semble irr´egulier et sans coh´erence. Regardons par exemple
la fonction
f0(n) = Y
p|n
(p−2).
Si la suite de ses valeurs semble tr`es erratique, r´egularit´e apparaˆıt lorsque l’on
consid`ere (1/X)Pn≤Xf0(n). Nous allons en effet d´emontrer que
Th´eor`eme Soit Xun r´eel positif. Nous avons
(1/X)X
n≤X
f0(n) = CX+O(X3/4)
o`u la constante Cest donn´ee par
C=1
2Y
p≥21−3
p(p+ 1)= 0.14630 ···
Remarquons que dans cet ´enonc´e et de fa¸con syst´ematique dans la suite, la
lettre pd´esigne un nombre premier.
L’ordre moyen a pour effet de dissimuler certaines valeurs aberrantes prises
par la fonction consid´er´ee.
Nous continuerons ce cours par des applications au crible et nous ´etablirons
par exemple le th´eor`eme de Brun-Titchmarsh (sous une forme l´eg`erement plus
faible) :
Th´eor`eme Pour Met Ndeux entiers ≥1, le nombre de nombres premiers
dans l’intervalle [M+ 1, M +N]est au plus 2N/ log N.
D’autres applications concerneront les nombres premiers jumeaux, la conjec-
ture de Goldbach et bien d’autres probl`emes concernant les nombres premiers.
Le lecteur pourra consulter les livres (Apostol, 1976) ou (Ellison, 1975).
Les livres (Bombieri, 1987/1974a) et (Halberstam & Richert, 1974) sont deux
autres r´ef´erences incontournables. D’autres tr`es bons livres : (Vinogradov, 1954),
(Davenport, 2000), (Montgomery & Vaughan, 2006) et (Bordell`es, 2012).

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Un calendrier :
Dimanche 25/11 – 2h Introduction, bestiaire, produit de convolution et multiplicativit´e.
(a) Introduction : r´egularit´e en moyenne. Fonctions multiplicatives. Bestiaire.
(b) Multiplicativit´e de la fonction de diviseurs
(c) Convolution de fonctions multiplicatives
Apr`es midi, 2h : fonction ζde Riemann, abscisse de convergence absolue, unicit´e
des coefficients de Dirichlet, convolution arithm´etique.
Lundi 26/11 – 2h (a) Sommer des fonctions lisses
(b) Le principe de l’hyperbole de Dirichlet
(c) Valeur moyenne de µ2(n).
Apr`es midi, 2h : Valeur moyenne du pgcd, suite des s´eries de Dirichlet : multi-
plicativit´e.
Mardi 27/11 – 2h Estimations de Mertens
(a) Nombres premiers,
(b) Estimation de Mertens, sommation par parties,
(c) Th´eor`eme de Tchebysheff.
Apr`es midi, 2h : taille de la fonction de diviseurs. Exercices sur les applications
et le th´eor`eme de Hall en majoration.
Mercredi 28/11 Jour f´eri´e.
Jeudi 29/11 – 2h M´ethode de convolution
(a) Via un exemple,
(b) Le lemme usuel. Des applications.
Apr`es midi, 2h : Questions, corrections.
Vendredi 28/11 Jour f´eri´e.
Samedi 1/11 – 2h Th´eor`eme de Levin Fainleib
(a) Le th´eor`eme,
(b) Des applications.
Pas d’exercice l’apr`es midi
Dimanche 2/11 – 2h Introduction au crible, Le th´eor`eme de Brun Titchmarsh via l’in´egalit´e de Sel-
berg.
Apr`es midi, 2h : l’in´egalit´e du grand crible.
Lundi 3/12 – 2h Le crible de Montgomery, applications.
Apr`es midi, 1h30 : Applications.
Mardi 4/12 – 2h Le groupe multiplicatif de /q
(a) Les notions. Les caract`eres modulo 3 et 4, χ3(−1) = −1 = χ4(−1). Non-
annulation de L(1, χ3) et L(1, χ4).
(b) Nombres premiers en progressions arithm´etiques par la m´ethode de Mer-
tens.
Apr`es midi, 1h30 : equation fonctionnelle de la fonction θ, et celle de ζ. Exercice
sur le groupe multiplicatif modulo 5.
Mercredi 5/12 – 2h – Selon ce qui a ´et´e fait.
Apr`es midi, 1h.
Jeudi 6/12 – 2h Devoir surveill´e.
Au total : 32 heures
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Table des mati`eres
Table des mati`eres 1
Introduction 1
1 Convolution arithm´etique 5
1.1 Bestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 La fonction nombre de diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Convolution et fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Initiation aux s´eries de Dirichlet 13
2.1 Abscisse de convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 S´eries de Dirichlet et produit de convolution . . . . . . . . . . . . 14
2.3 La fonction ζde Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 S´erie de Dirichlet et multiplicativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Quelques digressions sans preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Sommer des fonctions lisses 23
4 Le principe de l’hyperbole 27
4.1 Un premier terme d’erreur pour la moyenne de la fonction de
nombre de diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Le principe de l’hyperbole de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Un meilleur terme d’erreur pour le nombre de diviseurs . . . . . 28
5 Les estimations de Mertens 33
5.1 La fonction de von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 De la fonction log `a la fonction Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.1 Une majoration `a la Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 Un th´eor`eme `a la Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Un r´esultat de type postulat de Bertrand . . . . . . . . . . . . . 37
5.4 Le th´eor`eme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Nombre de diviseurs 43
7 La m´ethode de convolution 47
7.1 Preuve du th´eor`eme 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2 Un exercice de sommations par parties . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3 ˆ Etre sans facteurs carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52