M1 MFMI. Algorithmique : feuille d`exercices no7. Exercice 1

M1 MFMI. Algorithmique : feuille d’exercices no7.
Exercice 1.´ Evaluer la complexit´e du calcul du d´eterminant d’une matrice Mcarr´ee d’ordre
ddont les modules des coefficients ne d´epassent pas B, en utilisant la m´ethode du pivot de Gauss
appliqu´ee `a Mr´eduite modulo p,p´etant un nombre premier dans l’intervalle ]2dd/2Bd,4dd/2Bd].
(Un tel nombre premier existe d’apr`es le postulat de Bertrand, dont la d´emonstration est l’objet
de l’Exercice 4 ci-dessous.
Exercice 2. On d´efinit une suite de matrices carr´ees (An)n≥0par A0= (1) et
An=An−1−An−1
An−1An−1(une matrice en blocs)
lorsque n≥1.
V´erifier que Anest carr´ee d’ordre 2n, que AntAn= 2nI2n(Id´etant la matrice identit´e d’ordre
d) et que les lignes et Ansont orthogonales deux-`a-deux. Montrer que |det An|atteint la borne
dd/2Bdde l’in´egalit´e de Hadamard.
Exercice 3. Soit m≥1 un entier. On pose
M=2m+ 1
m.
(i) En consid´erant le d´eveloppement de (1 + 1)2m+1 `a l’aide de la formule du binˆome, montrer
que M < 22m.
(ii ) Montrer que Y
m+1<p≤2m+1
pdivise M,
o`u le produit parcourt l’ensemble des nombres premiers pv´erifiant m+1 < p ≤2m+1. En d´eduire
que
X
m+1<p≤2m+1
log p≤2mlog 2.
(iii ) Montrer que Pp≤nlog p≤2nlog 2 quelque soit l’entier n≥1. (Raisonner par r´ecurrence
sur nen distinguant les cas npair et nimpair en appliquant la question (ii ).)
Exercice 4. Soit N6= 0 un entier. Si pest un nombre premier, on note vp(N) l’exposant de
pdans N(c’est-`a-dire le plus grand entier v≥0 tel que pvdivise N).
(i) Soient M,N∈Zavec MN 6= 0. Montrer que vp(MN ) = vp(M)+vp(N) et que vp(M+N)≥
min (vp(M), vp(N)) lorsque MN (M+N)6= 0. Montrer que cette in´egalit´e devient une ´egalit´e
lorsque vp(M)6=vp(N).
(ii ) Montrer que si n≥1 est un entier, alors
vp(n!) = X
k≥1jn
pkk.
On pose alors
N=2n
net δp(k, n) = j2n pkk−2jn pkk.

(iii ) Montrer que δp(k, n)∈ {0,1}, et en d´eduire que vp(N)≤log (2n)
log pquelque soit le nombre
premier p.
(iv ) Montrer que si vp(N)≥2, alors p≤√2net donc que
X
ppremier
vp(N)≥2
vp(N) log p≤√2nlog (2n).
(v) On suppose n≥5, de sorte que 2
3n > √2n. Soit pun nombre premier divisant N. Montrer
que si p≤n, alors p≤2
3n. (Montrer que si n≥p > 2 3n, alors δp(1, n) = 0.)
(vi ) En d´eduire des questions (iv ) et (v) que si n≥5, alors
X
p≤n
vp(N) log p≤√2nlog(2n) + X
p≤2
3n
log p≤√2nlog(2n) + 4n
3log 2,
o`u la derni`ere in´egalit´e utilise la question (iii ) de l’Exercice 2.
(vii ) En utilisant le d´eveloppement de (1 + 1)2npar la formule du binˆome, montrer que
N≥22n
(2n+ 1),et donc que log N≥2nlog 2 −log (2n+ 1).
(viii ) Montrer que si nest assez grand, alors il existe un nombre premier pv´erifiant n<p≤2n.
(Soit nun entier tel que l’intervalle ]n, 2n] ne contienne aucun nombre premier. Alors tous les
nombres premiers divisant Nsont inf´erieurs ou ´egaux `a n. Obtenir alors une contradiction `a
partir des r´esultats des questions (vi ) et (vii ).)
On peut expliciter le «assez grand »de la question (viii ) et trouver un entier explicite n0
ayant la propri´et´e que l’intervalle ]n, 2n] contient un nombre premier lorsque n≥n0. Pour en
d´eduire le postulat de Bertrand, il suffit d’exhiber une suite croissante de nombres premiers (pk)
telle que p1= 2 et pk+1 <2pkpour tout k≥1.
(ix ) En d´eduire des arguments pr´ec´edents qu’il existe α > 0 tel que
X
n<p≤2n
log p≥αn
pour tout nassez grand et donc qu’il existe une seconde constante β > 0 telle que Pp≤xlog p≥βx
pour tout xassez grand. (En fasiant attention aux d´etails, on voit qu’on peut prendre n’importe
quel β < 2
3convient.)